1、2015年安徽省宿州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1设集合A=x|x22x=0，B=x|y=，xN，则AB=（） A 0，1，2 B 0，1，2 C 0，2 D 02设复数z满足（2i）z=3+i则z=（） A 1+i B 1i C 1+i D 1i3下列函数中，周期为且为偶函数的是（） A y=cos（2x） B y=sin（2x+） C y=sin（x+） D y=cos（x+）4在同一坐标系下，下列曲线中，右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合的是（） A B C D 5某同学设计的算法流程图用以计算和式12+22+32+20152的值，则在判断框
2、中应填写（） A i2015 B i2016 C 2015 D i20166将函数y=3sin（2x）的图象向左平移单位得到函数的图象y=f（x），则函数y=f（x）图象的一条对称轴是（） A x= B x= C x= D x=7定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（x）且周期是4，若f（1）=5，则f（2015）（） A 5 B 5 C 0 D 38若直线y=kx+1（k0）与圆x2+（y1）2=1相交于A，B两点，C点坐标（3，0），若点M（a，b）满足+=，则a+b=（） A 1 B C D 9已知数列an是公差不等于零的等差数列，若a1，ak，a2k（kN*且k2）是公比为q的等比
3、数列，则公比q的最大值为（） A B C D 210如图所示，xoy=60，分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量，若=x+y，记=（x，y），设=（p，q），若的模长为1，则p+q的最大值是（） A 1 B C C D 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11命题“对任意实数x，都有x22x+20”的否定是12已知实数x，y满足，则z=2x+y的最小值为13一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为14某场生产某种产品x件的总成本：C（x）=x2+1000（元），且产品单价的平方与产品件数x成反比，已知生产100件这样的产品的单价为50元，则当总利润最大时，产量应定为件15定义
4、：若mxm+（其中m是整数），则m叫做距实数x最近的整数，记作（x），即（x）=m，对于函数f（x）=|x（x）|的五个命题，其中正确的有（写出所有正确命题的序号）函数y=f（x）的值域是0，+）；函数y=f（x）是偶函数；函数y=f（x）是周期函数且最小正周期是1；函数y=f（x）的递增区间是k，k+，kz；函数y=f（x）lgx有4个零点三、解答题（共6小题，满分75分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16设函数f（x）=cos（x）+2cos21，xR（1）求函数f（x）的值域；（2）设ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c若f（B）=，b=1，c=求a的值17某网站
5、针对2014年中国好声音歌手A，B，C三人进行网上投票，结果如下：观众年龄支持A支持B支持C20岁以下20040080020岁以上（含20岁）100100400（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取n人，其中有6人支持A，求n的值（2）在支持C的人中，用分层抽样的方法抽取6人作为一个总体，从这6人中任意选取2人，求恰有1人在20岁以下的概率18设数列an为等比数列，且a1+a2=3，a4+a5=24（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=log2an+1，设的前n项和为Sn，若Sn=，求n19在如图所示的几何体中，四边形ABCD和ABEF均为矩形，M为AF的中点，BNCE与N（1
6、）求证：CF平面MBD；（2）求证：平面EFC平面BDN20如图，点P（0，1）是椭圆C1：+=1（ab0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D（1）求椭圆C1的方程；（2）求ABD面积的最大值时直线l1的方程21已知函数f（x）=lnxkx+1（kR）（）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（）若f（x）0恒成立，试确定实数k的取值范围；（）证明：+（nN*且n1）2015年安徽省宿州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1设
7、集合A=x|x22x=0，B=x|y=，xN，则AB=（） A 0，1，2 B 0，1，2 C 0，2 D 0考点： 交集及其运算专题： 集合分析： 求出A中方程的解确定出A，求出B中x的范围，由x为N，确定出B，找出A与B的交集即可解答： 解：由A中方程变形得：x（x2）=0，解得：x=0或x=2，即A=0，2，由B中y=，得到x+10，即x1，且xN，B=x|x1，且xN，则AB=0，2，故选：C点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2设复数z满足（2i）z=3+i则z=（） A 1+i B 1i C 1+i D 1i考点： 复数代数形式的乘除运算专题： 数系的扩
8、充和复数分析： 利用复数的运算法则即可得出解答： 解：（2i）z=3+i，（2i）（2+i）z=（3+i）（2+i），z=1+i，故选：A点评： 本题考查了复数的运算法则，属于基础题3下列函数中，周期为且为偶函数的是（） A y=cos（2x） B y=sin（2x+） C y=sin（x+） D y=cos（x+）考点： 正弦函数的图象；余弦函数的图象专题： 三角函数的图像与性质分析： 根据周期为=求得=2，故排除C、D再利用诱导公式化简A、B中的函数，判断其奇偶性，从而得出结论解答： 解：根据周期为=，=2，故排除C、D再根据函数为偶函数，而y=cos（2x）=sin2x，故函数是奇函数，
9、故A不满足条件而y=sin（2x+）=sin（2x+）=cos2x，为偶函数，满足条件，故选：B点评： 本题主要考查三角函数的单调性和周期性，诱导公式，属于基础题4在同一坐标系下，下列曲线中，右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合的是（） A B C D 考点： 圆锥曲线的共同特征专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 根据椭圆、双曲线的标准方程，分别确定焦点坐标，即可求得结论解答： 解：与抛物线y2=4x的焦点坐标是（1，0）A中，c=，右焦点为（，0）；B中，a2=9，b2=5，c2=a2b2=4，c=2，右焦点为（2，0）；C中，a2=3，b2=2，c2=a2+b2=5，c=，右焦
10、点为（，0）；D中，c2=a2+b2=1，c=1，右焦点为（1，0）；综上知，D满足题意故选D点评： 本题考查抛物线、椭圆、双曲线的标准方程，考查焦点坐标的求法，属于中档题5某同学设计的算法流程图用以计算和式12+22+32+20152的值，则在判断框中应填写（） A i2015 B i2016 C 2015 D i2016考点： 程序框图专题： 算法和程序框图分析： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件S=12+22+32+20152时S的值，分析计算可得答案解答： 解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的
11、作用是输出满足条件S=12+22+32+20152时S的值程序框图用以计算和式12+22+32+20152故最后一次进行循环时i的值为2015，故判断框中的条件应为i2015故选：A点评： 算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视，本题属于基本知识的考查6将函数y=3sin（2x）的图象向左平移单位得到函数的图象y=f（x），则函数y=f（x）图象的一条对称轴是（） A x= B x= C x= D x=考点： 函数y=Asin（x+）的图象变换专题： 三角函数的图像与性质分析： 由条件利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律可得f（x）=3sin（2x+），再根
12、据正弦函数的图象的对称性，求得函数y=f（x）图象的一条对称轴解答： 解：将函数y=3sin（2x）的图象向左平移单位得到函数y=f（x）=3sin2（x+）=3sin（2x+）的图象，令2x+=k+，kz，求得x=+，故函数y=f（x）图象的对称轴方程为x=+，kz，故选：A点评： 本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题7定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（x）且周期是4，若f（1）=5，则f（2015）（） A 5 B 5 C 0 D 3考点： 函数的周期性；函数的值专题： 函数的性质及应用分析： 首先根据函数的关系式求出函数是奇函数，
13、进一步利用函数的周期求出函数的值解答： 解：在R上的函数f（x）满足f（x）+f（x）=0则：f（x）=f（x）所以函数是奇函数由于函数周期是4，所以f（2015）=f（50441）=f（1）=f（1）=5故选：B点评： 本题考查的知识要点：函数的奇偶性的应用和周期性的应用，属于基础题型8若直线y=kx+1（k0）与圆x2+（y1）2=1相交于A，B两点，C点坐标（3，0），若点M（a，b）满足+=，则a+b=（） A 1 B C D 考点： 直线和圆的方程的应用；向量的加法及其几何意义；直线与圆相交的性质专题： 直线与圆分析： 画出图形判断M的特征为三角形的重心，求出M的坐标，即可求出a，b
14、解答： 解：如图：直线y=kx+1（k0）与圆x2+（y1）2=1相交于A，B两点，C点坐标（3，0），若点M（a，b）满足+=，所以M是三角形ABC的重心，仔细恒过圆的圆心，所以M三等分NC，N（0，1），C（3，0），所以M（1，），又点M（a，b），即a=1，b=，a+b=故选：C点评： 本题考查仔细与圆的位置关系，的方程的综合应用，向量的应用，考查分析问题解决问题的能力9已知数列an是公差不等于零的等差数列，若a1，ak，a2k（kN*且k2）是公比为q的等比数列，则公比q的最大值为（） A B C D 2考点： 等比数列的性质专题： 计算题；等差数列与等比数列分析： 利用a1，ak，
15、a2k（kN*且k2）是公比为q的等比数列，可得=，结合q=1+（k1），即可得出结论解答： 解：由题意，设公差为d，则q=1+（k1），a1，ak，a2k（kN*且k2）是公比为q的等比数列，ak2=a1a2k，=，q=1+2，公比q的最大值为2，故选：D点评： 本题考查等比数列的性质，考查学生的计算能力，比较基础10如图所示，xoy=60，分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量，若=x+y，记=（x，y），设=（p，q），若的模长为1，则p+q的最大值是（） A 1 B C C D 考点： 平面向量的基本定理及其意义专题： 不等式的解法及应用；平面向量及应用分析： 根据=（p，q），且的模
16、长为1，进而（p+q）2pq=1，再利用ab，即可得答案解答： 解：=（p，q），的模长为1，=|p+q|=1，1=p2+2pqcos60+q2=p2+pq+q2（p+q）2pq=1，即（p+q）2=1+pq，则故p+q所以p+q的最大值为故选：B点评： 本题主要考查平面向量的坐标表示和运算，属中档题二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11命题“对任意实数x，都有x22x+20”的否定是存在实数x，使x22x+20考点： 命题的否定专题： 简易逻辑分析： 直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可解答： 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对任意实数x，都有x22x+20
17、”的否定是：存在实数x，使x22x+20故答案为：存在实数x，使x22x+20点评： 本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查12已知实数x，y满足，则z=2x+y的最小值为3考点： 简单线性规划专题： 不等式的解法及应用分析： 先画出可行域；将目标函数变形；画出目标函数对应的直线；将直线平移由图求出函数的范围即可解答： 解：画出的可行域如图，将z=2x+y变形得y=2x+z，画出对应的直线，由图知当直线过A时，z最小；由，可得，即A（1，1）则z=2x+y的最小值是3故答案为：3点评： 本题考查线性规划的应用，画不等式组表示的平面区域、利用图形求二元函数的最值，是解题的
18、一般思路13一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为考点： 由三视图求面积、体积专题： 空间位置关系与距离分析： 由三视图可知，该几何体为一个正三棱柱截去上面一个三棱锥余下的部分，分别求出棱柱和棱锥的体积，相减可得答案解答： 解：由三视图可知，该几何体为一个正三棱柱截去上面一个三棱锥余下的部分，三棱柱的高为2，底面边长为2，截去三棱锥的高为1，所以该几何体和体积V=222sin60221sin60=故答案为：点评： 本题考查由三视图求几何体的体积和表面积，根据已知的三视图分析出几何体的形状是关键14某场生产某种产品x件的总成本：C（x）=x2+1000（元），且产品单价的平方与产品件数x
19、成反比，已知生产100件这样的产品的单价为50元，则当总利润最大时，产量应定为25件考点： 函数模型的选择与应用专题： 函数的性质及应用分析： 分析题目数据建立数学模型，得出总利润函数L=L（x）=p（x）c（x）=x（x2+1000），然后利用导数求其最值，还原为实际问题即可1解答： 解：设产品单价为p，则有p2=，将x=100，p=50代入，得k=250000，所以p=p（x）=设总利润为L，L=L（x）=p（x）c（x）=x（x2+1000）（x0）L（X）=2x令L（X）=0，得x=25，因为x=25是函数L（x）在（0，+）上唯一的极值点，且是极大值点，从而是最大值点故答案为：25点
20、评： 本题考查利用导数解决生活中的优化问题的方法和步骤，属于中档题15定义：若mxm+（其中m是整数），则m叫做距实数x最近的整数，记作（x），即（x）=m，对于函数f（x）=|x（x）|的五个命题，其中正确的有（写出所有正确命题的序号）函数y=f（x）的值域是0，+）；函数y=f（x）是偶函数；函数y=f（x）是周期函数且最小正周期是1；函数y=f（x）的递增区间是k，k+，kz；函数y=f（x）lgx有4个零点考点： 命题的真假判断与应用；函数的图象专题： 函数的性质及应用分析： 根据让函数解析式有意义的原则确定函数的定义域，然后根据解析式易用分析法求出函数的值域判断的正误；通过函数的奇偶
21、性的定义判断的正误；通过判断f（x+1）=f（x）是否成立，可以判断的正误；通过函数的周期性以及函数的图象判断的正误；利用函数的零点通过数形结合来判断的正误解答： 解：中，函数f（x）=|x（x）|=|xm|，令x=m+a，a，）f（x）=|xx|=|m（m+a）|=|a|0，所以不正确；中，mxm+（mZ），mxm+（mZ）f（x）=|x（x）|=|（m）x|=|xm|，f（x）=|x（x）|=|xm|f（x）=f（x）所以正确中，f（x+1）=|x+1（x+1）|=|x（x）|=f（x）所以周期为1，故正确；中，由题意x（x）=xm，f（x）=|x（x）|=|xm|，m=0时，x， f（x
22、）=|x|，m=1时，1x1+，f（x）=|x1|，m=2时，2x2+，f（x）=|x2|，由函数的周期性以及函数的图象可知，函数y=f（x）的递增区间是k，k+，kz；正确中，函数y=f（x）lgx=|xm|lgx，令|xm|lgx=0，可得：y=|xm|，y=lgx当x，lgx，由两个函数的图象可知，两个函数有4个交点，即有4个零点，故正确综上所述，正确故答案为：点评： 本题考查的知识点是利用函数的三要素、性质判断命题的真假，要根据定义中给出的函数，结合求定义域、值域的方法，及对称性、周期性和单调性的证明方法，函数的零点的判断方法，对5个结论进行验证三、解答题（共6小题，满分75分.解答时
23、应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16设函数f（x）=cos（x）+2cos21，xR（1）求函数f（x）的值域；（2）设ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c若f（B）=，b=1，c=求a的值考点： 余弦定理；三角函数中的恒等变换应用专题： 三角函数的图像与性质；解三角形分析： （1）由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得f（x）=sin（x+），由正弦函数的图象和性质可得f（x）的值域（2）由f（B）=，可得sin（B+）=1，由0B，可求B的值，由余弦定理得a23a+2=0，即可解得a的值解答： 解：（1）f（x）=cosx+sinx+cosx=sinx+cosx=sin（
24、x+），故f（x）的值域为，（6分）（2）由f（B）=sin（x+）=，sin（B+）=1 又0B，B=，由余弦定理：b2=a2+c22accosB得a23a+2=0，解得a=1或a=2（12分）（注：第（2）问也可用正弦定理求解）点评： 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基本知识的考查17某网站针对2014年中国好声音歌手A，B，C三人进行网上投票，结果如下：观众年龄支持A支持B支持C20岁以下20040080020岁以上（含20岁）100100400（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取n人，其中有6人支持A，求n的值（2）在支持C的
25、人中，用分层抽样的方法抽取6人作为一个总体，从这6人中任意选取2人，求恰有1人在20岁以下的概率考点： 分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式专题： 计算题；概率与统计分析： （1）根据分层抽样时，各层的抽样比相等，结合已知构造关于n的方程，解方程可得n值（2）计算出这6人中任意选取2人的情况总数，及满足恰有1人在20岁以下的情况数，代入古典概率概率计算公式，可得答案解答： 解：（1）利用层抽样的方法抽取n个人时，从“支持A方案”的人中抽取了6人，=，解得n=40；（2）从“支持C方案”的人中，用分层抽样的方法抽取的6人中，年龄在20岁以下的有4人，分别记为1，2，3，4，年龄在20岁以上（含
26、20岁）的有2人，记为a，b，则这6人中任意选取2人，共有=15种不同情况，分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，a），（1，b），（2，3），（2，4），（2，a），（2，b），（3，4），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b），（a，b），其中恰好有1人在20岁以下的事件有：（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b）共8种故恰有1人在20岁以下的概率P=点评： 本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键18设数列an为等比数列，且a1+a2=3，a4+a5=2
27、4（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=log2an+1，设的前n项和为Sn，若Sn=，求n考点： 数列的求和；等比数列的通项公式专题： 等差数列与等比数列分析： （1）利用等比数列的通项公式及其性质即可得出；（2）bn=log2an+1=n可得=，利用“裂项求和”即可得出解答： 解 （1）设数列an的公比为q，由a1+a2=3，a4+a5=24，24=q3（a1+a2）=3q3，解得q=2代入a1+a2=3，可得a1+2a1=3，解得a1=1，数列数列an的通项公式为an=2n1（2）bn=log2an+1=n=，其前n项和为Sn=+=1=Sn=，解得n=2014点评： 本题考查了等比数
28、列的通项公式及其性质、对数的运算性质、“裂项求和”方法，考查了计算能力，属于基础题19在如图所示的几何体中，四边形ABCD和ABEF均为矩形，M为AF的中点，BNCE与N（1）求证：CF平面MBD；（2）求证：平面EFC平面BDN考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定专题： 空间位置关系与距离分析： （）连接AC交BD于点O，连接OM，由三角形中位线定理得CFOM，由此能证明CF平面MBD（）由四边形ABCD和ABEF均为矩形，得AB平面BCE，从而BN面EFC，由此能证明平面EFC平面BDN解答： 证明：（）连接AC交BD于点O，连接OM因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC的
29、中点因为M为AF的中点，所以CFOM，又OM平面MBD，CF平面MBD，所以CF平面MBD（6分）（）因为四边形ABCD和ABEF均为矩形，所以AB平面BCE，所以ABBN，又ABEF，所以BNEF，又BNEC（已知），所以BN面EFC，又BN平面BDN，所以平面EFC平面BDN（12分）点评： 本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查方程思想、等价转化思想等数学思想方法和学生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力，是中档题20如图，点P（0，1）是椭圆C1：+=1（ab0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C
30、2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D（1）求椭圆C1的方程；（2）求ABD面积的最大值时直线l1的方程考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题分析： （1）由题意可得b=1，2a=4，即可得到椭圆的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx1利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心O到直线l1的距离和弦长|AB|，又l2l1，可得直线l2的方程为x+kx+k=0，与椭圆的方程联立即可得到点D的横坐标，即可得出|PD|，即可得到三角形
31、ABD的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值，即得到k的值解答： 解：（1）由题意可得b=1，2a=4，即a=2椭圆C1的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx1又圆的圆心O（0，0）到直线l1的距离d=|AB|=又l2l1，故直线l2的方程为x+ky+k=0，联立，消去y得到（4+k2）x2+8kx=0，解得，|PD|=三角形ABD的面积S=，令4+k2=t4，则k2=t4，f（t）=，S=，当且仅，即，当时取等号，故所求直线l1的方程为点评： 本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的
32、位置关系等基础知识，同时考查了推理能力和计算能力及分析问题和解决问题的能力21已知函数f（x）=lnxkx+1（kR）（）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（）若f（x）0恒成立，试确定实数k的取值范围；（）证明：+（nN*且n1）考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性专题： 导数的综合应用分析： （）由函数f（x）的定义域为（0，+），f（x）=能求出函数f（x）的单调区间（）由（1）知k0时，f（x）在（0，+）上是增函数，而f（1）=1k0，f（x）0不成立，故k0，又由（1）知f（x）的最大值为f（），由此能确定实数k的取值范围（）由（2）知，当k=1时，有
33、f（x）0在（0，+）恒成立，且f（x）在（1，+）上是减函数，f（1）=0，即lnxx1在x2，+）上恒成立，由此能够证明+（nN*且n1）解答： 解：（）易知f（x）的定义域为（0，+），又f（x）=当0x1时，f（x）0；当x1时，f（x）0f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+）上是减函数（）当k0时，f（1）=1k0，不成立，故只考虑k0的情况又f（x）=当k0时，当0x时，f（x）0；当时，f（x）0在上是增函数，在时减函数，此时要使f（x）0恒成立，只要lnk0 即可解得：k1（）当k=1时，有f（x）0在（0，+）恒成立，且f（x）在（1，+）上是减函数，f（1）=0，即lnxx1在x（1，+）上恒成立，令x=n2，则lnn2n21，即2lnn（n1）（n+1），（nN*且n1）+=即：+（nN*且n1）成立点评： 本题考查函数单调区间的求法，确定实数的取值范围，不等式的证明考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识