1、2016-2017学年广东省韶关市武江区北江中学高三（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1已知集合A=x|x22x30，B=x|y=ln（2x），则AB=（）A（1，3）B（1，3C1，2）D（1，2）2已知函数f（x）满足f（3x）=x，则f（2）=（）Alog32Blog23Cln2Dln33若tan=2，则cos2sin2的值为（）ABCD4已知=（2，1），=（1，k），如果，则实数k的值等于（）A2B2CD5按如图所示的程序框图，在运行后输出的结果为（）A36B45C55D566已知，则
2、a，b，c的大小关系为（）AcbaBcabCbacDbca7在ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，若b=1，c=，A=，则cos5B=（）ABC或1D或08已知实数a，b，则“ab”是“a2b2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件9将函数y=sin（4x+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位，得到的函数的图象的一个对称中心为（）ABC（）D10已知等差数列an的前n项和为Sn，公差为2，且a1，S2，S4成等比数列，则数列an的通项公式an等于（）A2n+1B2n3C2n1D2n11已知A、B、C为直线l上不同的三点，点O直线l，实
3、数x满足关系式x2=，有下列结论中正确的个数有（）0； 0；x的值有且只有一个； x的值有两个；点B是线段AC的中点A1个B2个C3个D4个12已知函数，当x（0，1时，f（x）=x2，若在区间（1，1内，g（x）=f（x）t（x+1）有两个不同的零点，则实数t的取值范围是（）ABCD二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13设z=1+i（i是虚数单位），则=14某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为15在平面直角坐标系xOy中，已知ABC顶点A（4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆上，则=16已知函数f（x）定义域为R，若存在常数M，使|f（x
4、）|M|x|对一切实数均成立，则称f（x）为F函数，给出下列函数：f（x）=0；f（x）=x2；f（x）=sinx+cosx；f（x）=；f（x）是定义域在R上的奇函数，且满足对一切实数均有|f（x1）f（x2）|x1x2|其中是F函数的序号为（少选或多选一律不给分）三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17在ABC中，已知内角A=，边BC=2设内角B=x，面积为y（）求函数y=f（x）的解析式和定义域；（）求y的最大值18已知等比数列an的各项都为正数，其前n项和为S，且S3=42，16a2a6=a3a7（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=，数列bn的前n项和为Tn，求证
5、：Tn19国内某知名大学有男生14000人，女生10000人该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间，如表：（平均每天运动的时间单位：小时，该校学生平均每天运动的时间范围是0，3）男生平均每天运动的时间分布情况：平均每天运动的时间0，0.5）0.5，1）1，1.5）1.5，2）2，2.5）2.5，3人数212231810x女生平均每天运动的时间分布情况：平均每天运动的时间0，0.5）0.5，1）1，1.5）1.5，2）2，2.5）2.5，3人数51218103y（）请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间（结果精确到0
6、.1）；（）若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”请根据样本估算该校“运动达人”的数量；请根据上述表格中的统计数据填写下面22列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为运动达人与性别有关？”运动达人非运动达人总 计男 生女 生总 计参考公式：，其中n=a+b+c+d参考数据：P（K2k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82820如图，四棱锥PABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是ABC=60的菱
7、形，M为PC的中点（1）求证：PCAD； （2）求点D到平面PAM的距离21已知函数f（x）=axlnx4（aR）（）讨论f（x）的单调性；（）当a=2时，若存在区间，使f（x）在m，n上的值域是，求k的取值范围请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.选修4-4：极坐标与参数方程22在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系已知曲线C1：（t为参数），C2：（为参数）（）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求线段PQ的中点M到直线C3：coss
8、in=8+2 距离的最小值选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）=|2x+3|+|x1|（）解不等式f（x）4；（）若存在使不等式a+1f（x）成立，求实数a的取值范围2016-2017学年广东省韶关市武江区北江中学高三（上）第二次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1已知集合A=x|x22x30，B=x|y=ln（2x），则AB=（）A（1，3）B（1，3C1，2）D（1，2）【考点】交集及其运算【分析】化简集合A、B，求出AB即可【解答】解：集合A=x|x22x30=x|1x3=1，3
9、，B=x|y=ln（2x）=x|2x0=x|x2=（，2）；AB=1，2）故选：C2已知函数f（x）满足f（3x）=x，则f（2）=（）Alog32Blog23Cln2Dln3【考点】函数的值【分析】设3x=t，则x=log3t，从而f（t）=log3t，由此能求出f（2）【解答】解：函数f（x）满足f（3x）=x，设3x=t，则x=log3t，f（t）=log3t，f（2）=log32故选：A3若tan=2，则cos2sin2的值为（）ABCD【考点】三角函数的化简求值【分析】利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简所求，即可利用已知条件计算求值【解答】解：tan=2，cos2sin2=故
10、选：C4已知=（2，1），=（1，k），如果，则实数k的值等于（）A2B2CD【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】直接由向量共线的坐标表示列式求解k的值【解答】解：=（2，1），=（1，k），且，2k1（1）=0，解得：k=故选：D5按如图所示的程序框图，在运行后输出的结果为（）A36B45C55D56【考点】循环结构【分析】本题所给的是一个循环结构的框图，由图可以看出，此是一个求正整数前十个数和的算法框图，由公式计算出S的值，选出正确答案【解答】解：由题意，如图此循环程序共运行十次，依次加上1，2，3，10，即S代表的是正整数前十个数的和，故S=1+2+3+10=55故选C6已知，
11、则a，b，c的大小关系为（）AcbaBcabCbacDbca【考点】不等式的基本性质【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解【解答】解：a=21.221=2，b=22.4a=21.2，c=2log52=log54log55=1，cab故选：B7在ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，若b=1，c=，A=，则cos5B=（）ABC或1D或0【考点】余弦定理【分析】由已知及余弦定理可求a，进而利用余弦定理可求cosB=，结合B是三角形的一个内角，可得B=30，利用诱导公式即可计算得解【解答】解：b=1，c=，A=，由余弦定理可得：a=1，由余弦定理可得：cosB=由于B是三角形的一个内角，可
12、得：B=30，cos5B=cos150=cos（30）=cos30=cosB=故选：A8已知实数a，b，则“ab”是“a2b2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由a2b2，解得：|a|b|，与ab，相互无法推出即可判断出关系【解答】解：由a2b2，解得：|a|b|，与ab，相互无法推出因此“ab”是“a2b2”的既不充分也不必要条件故选：D9将函数y=sin（4x+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位，得到的函数的图象的一个对称中心为（）ABC（）D【考点】函数y=Asin（x+）的图象
13、变换【分析】把原函数的图象变换后得到函数 y=sin2x 的图象，故所得函数的对称中心为 （，0），kz，由此可得答案【解答】解：将函数y=sin（4x+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，可得函数y=sin（2x+）的图象，再向右平移个单位，得到函数 y=sin2（x）+=sin2x 的图象令2x=k，可得 x=，kz 故所得函数的对称中心为 （，0），kz故选A10已知等差数列an的前n项和为Sn，公差为2，且a1，S2，S4成等比数列，则数列an的通项公式an等于（）A2n+1B2n3C2n1D2n【考点】数列递推式【分析】根据等比中项的性质列出方程，化简后求出a1的值，由等差数列的
14、通项公式求出an【解答】解：公差为2，且a1，S2，S4成等比数列，则，化简得，a1=1，通项公式an=1+2（n1）=2n1，故选C11已知A、B、C为直线l上不同的三点，点O直线l，实数x满足关系式x2=，有下列结论中正确的个数有（）0； 0；x的值有且只有一个； x的值有两个；点B是线段AC的中点A1个B2个C3个D4个【考点】平面向量数量积的含义与物理意义【分析】由存在实数x满足x2=，0，得出正确、错误；由x2+2x+=，得出=x22x，根据平面向量的基本定理，得出x22x=1，判断正确、错误；由=（+），得出B是线段AC的中点，判断正确【解答】解：对于，存在实数x满足x2=，0，正
15、确，错误；对于，x2+2x+=，变形为=x22x，A、B、C为直线l上不同的三点，点O直线l，x22x=1，解得x=1，正确；对于，由知，错误；对于，由知， =（+），点B是线段AC的中点，正确；综上，正确的命题是故选：C12已知函数，当x（0，1时，f（x）=x2，若在区间（1，1内，g（x）=f（x）t（x+1）有两个不同的零点，则实数t的取值范围是（）ABCD【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】由g（x）=f（x）t（x+1）=0得f（x）=t（x+1），分别求出函数f（x）的解析式以及两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可【解答】解：由题可知函数在x（1，1上的解析式为，由g（x
16、）=f（x）t（x+1）=0得f（x）=t（x+1），可将函数f（x）在x（1，1）上的大致图象呈现如图：根据y=t（x+1）的几何意义，x轴位置和图中直线位置为y=t（x+1）表示直线的临界位置，因此直线的斜率t的取值范围是故选：D二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13设z=1+i（i是虚数单位），则=1+i【考点】复数代数形式的混合运算【分析】将z=1+i代入，利用复数代数形式的乘除运算，乘方运算化简可得【解答】解：将z=1+i代入得，故答案为1+i14某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为12【考点】球的体积和表面积【分析】由三视图知：
17、几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球球心的位置，求出半径，代入求得表面积公式计算【解答】解：由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，高为2，底面为等腰直角三角形，斜边长为2，如图：ABC的外接圆的圆心为斜边AC的中点D，ODAC，且OD平面SAC，SA=AC=2，SC的中点O为外接球的球心，半径R=，外接球表面积S=43=12故答案为：1215在平面直角坐标系xOy中，已知ABC顶点A（4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆上，则=【考点】椭圆的定义；正弦定理【分析】先利用椭圆的定义求得a+c，进而由正弦定理把原式转换成边的问题，进而求得答案【解答
18、】解：利用椭圆定义得a+c=25=10b=24=8由正弦定理得=故答案为16已知函数f（x）定义域为R，若存在常数M，使|f（x）|M|x|对一切实数均成立，则称f（x）为F函数，给出下列函数：f（x）=0；f（x）=x2；f（x）=sinx+cosx；f（x）=；f（x）是定义域在R上的奇函数，且满足对一切实数均有|f（x1）f（x2）|x1x2|其中是F函数的序号为（少选或多选一律不给分）【考点】函数恒成立问题【分析】由存在常数M，使|f（x）|M|x|对一切实数均成立，只要找到M即可判断出正误【解答】解：由题意对于f（x）=0，显然对任意常数m0，均成立，故f（x）为F函数；对于，x时，
19、 =|x|+，因此|f（x）|m|x|，不成立，故其不是F函数；对于，f（x）=sinx+cosx，由于x=0时，|f（x）|m|x|不成立，故不是F函数；对于，f（x）=；|f（x）|=|x|x|，故对任意的m，都有|f（x）|m|x|，故其是F函数；对于f（x）是定义域在R上的奇函数，因此f（x）具有单调性，或f（x）0，因此满足对一切实数均有|f（x1）f（x2）|x1x2|综上可得：正确故答案为：三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17在ABC中，已知内角A=，边BC=2设内角B=x，面积为y（）求函数y=f（x）的解析式和定义域；（）求y的最大值【考点】函数的最值及其
20、几何意义；函数解析式的求解及常用方法【分析】（I）由已知角A及三角形的内角和定理可求x的范围，然后由正弦定理，代入三角形的面积公式，即可求解；（II）利用两角差的正弦公式及辅助角公式对（I）中的函数关系进行化简，结合正弦函数的性质即可求解取得最大值时的x即B及相应的最大值【解答】解：（）ABC的内角和A+B+C=y=ABACsinA=4 sinxsin（x）（0x）（II）y=4sinxsin（x）=4sinx（cosx+sinx）=6sinxcosx+2sin2x=3sin2x+cos2x=2sin（2x）+（2x）当2x=，即x=时，y取得最大值3B=时，ABC的面积最大为318已知等比数
21、列an的各项都为正数，其前n项和为S，且S3=42，16a2a6=a3a7（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）设等比数列an的公比为q（q0），由已知列式求得首项和公比，代入等比数列的通项公式得答案；（2）把（1）中求得的数列an的通项公式代入bn=，由TnT1证明不等式左边，再由裂项相消法证明右边【解答】（1）解：设等比数列an的公比为q（q0），由S3=42，16a2a6=a3a7，得，解得；（2）证明：bn=，数列的各项均为正数，Tn；Tn=b1+b2+bn=Tn19国内某知名大学有男生14000人，
22、女生10000人该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间，如表：（平均每天运动的时间单位：小时，该校学生平均每天运动的时间范围是0，3）男生平均每天运动的时间分布情况：平均每天运动的时间0，0.5）0.5，1）1，1.5）1.5，2）2，2.5）2.5，3人数212231810x女生平均每天运动的时间分布情况：平均每天运动的时间0，0.5）0.5，1）1，1.5）1.5，2）2，2.5）2.5，3人数51218103y（）请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间（结果精确到0.1）；（）若规定平均每天运动的时间不少于2
23、小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”请根据样本估算该校“运动达人”的数量；请根据上述表格中的统计数据填写下面22列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为运动达人与性别有关？”运动达人非运动达人总 计男 生女 生总 计参考公式：，其中n=a+b+c+d参考数据：P（K2k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828【考点】独立性检验的应用【分析】（）由分层抽样求出男生抽取的人数，女生抽取人数，然后求解该校男生平均每天运动的时间（）样本中“运动达人”所占比例是，
24、故估计该校“运动达人”人数；填写表格，求解K2的观测值，推出在犯错误的概率不超过0.05的前提下，运动达人与性别有关”的结果【解答】解：（）由分层抽样得：男生抽取的人数为人，女生抽取人数为12070=50人，故x=5，y=2，则该校男生平均每天运动的时间为：，故该校男生平均每天运动的时间约为1.5小时；（）样本中“运动达人”所占比例是，故估计该校“运动达人”有人； 由表格可知：运动达人非运动达人总 计男 生155570女 生54550总 计20100120故K2的观测值故在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为“是否为运动达人与性别有关”20如图，四棱锥PABCD，侧面PAD是边长为2的正
25、三角形，且与底面垂直，底面ABCD是ABC=60的菱形，M为PC的中点（1）求证：PCAD； （2）求点D到平面PAM的距离【考点】点、线、面间的距离计算；棱锥的结构特征【分析】（1）取AD中点O，由题意可证AD平面POC，可证PCAD；（2）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，可证PO为三棱锥PACD的体高设点D到平面PAC的距离为h，由VDPAC=VPACD可得h的方程，解方程可得【解答】解：（1）取AD中点O，连结OP，OC，AC，依题意可知PAD，ACD均为正三角形，OCAD，OPAD，又OCOP=O，OC平面POC，OP平面POC，AD平面POC，又PC平面POC，PCA
26、D（2）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，由（1）可知POAD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PO平面PAD，PO平面ABCD，即PO为三棱锥PACD的体高在RtPOC中，在PAC中，PA=AC=2，边PC上的高AM=，PAC的面积，设点D到平面PAC的距离为h，由VDPAC=VPACD得，又，解得，点D到平面PAM的距离为21已知函数f（x）=axlnx4（aR）（）讨论f（x）的单调性；（）当a=2时，若存在区间，使f（x）在m，n上的值域是，求k的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）求导数，分类讨论，利
27、用导数的正负讨论f（x）的单调性；（）得出，其中，则在上至少有两个不同的实数根，构造函数，即可求k的取值范围【解答】解：（）函数f（x）的定义域是（0，+），当a0时，f（x）0，所以f（x）在（0，+）上为减函数，当a0时，令f（x）=0，则，当时，f（x）0，f（x）为减函数，当时，f（x）0，f（x）为增函数，当a0时，f（x）在（0，+）上为减函数；当a0时，f（x）在上为减函数，在上为增函数（）当a=2时，f（x）=2xlnx4，由（）知：f（x）在上为增函数，而，f（x）在m，n上为增函数，结合f（x）在m，n上的值域是知：，其中，则在上至少有两个不同的实数根，由得k=2x22x（
28、x+1）lnx4，记（x）=2x22x（x+1）lnx4，则，记，则，F（x）在上为增函数，即（x）在上为增函数，而（1）=0，当时，（x）0，当x（1，+）时，（x）0，（x）在上为减函数，在（1，+）上为增函数，而，（1）=4，当x+时，（x）+，故得：，k的取值范围是请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.选修4-4：极坐标与参数方程22在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系已知曲线C1：（t为参数），C2：（为参数）（）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（）若C1上的点P对应的参数为
29、t=，Q为C2上的动点，求线段PQ的中点M到直线C3：cossin=8+2 距离的最小值【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（）由cos2+sin2=1，能求出曲线C1，C2的普通方程，并能说明它们分别表示什么曲线（）当t=时，P（4，4），设Q（6cos，2sin），则M（2+3cos，2+sin），直线C3的直角坐标方程为：（8+2）=0，由此能求出线段PQ的中点M到直线C3：cos距离的最小值【解答】解：（）曲线C1：（t为参数），曲线C1的普通方程为：（x4）2+（y+3）2=1，曲线C2：（为参数），曲线C2的普通方程为：，曲线C1为圆心是（4，3），半径是1的
30、圆曲线C2为中心在坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是6，短半轴长是2的椭圆（）当t=时，P（4，4），设Q（6cos，2sin），则M（2+3cos，2+sin），直线C3：cos，直线C3的直角坐标方程为：（8+2）=0，M到C3的距离d= =3从而当cos（）=1时，d取得最小值3选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）=|2x+3|+|x1|（）解不等式f（x）4；（）若存在使不等式a+1f（x）成立，求实数a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题【分析】（）先求出f（x）的表达式，得到关于x的不等式组，解出即可；（）问题转化为：a+1（f（x）min，求出f（x）的最小值，从而求出a的范围即可【解答】解：（）f（x）=|2x+3|+|x1|，f（x）= f（x）4或或x2或0x1或x1 综上所述，不等式的解集为：（，2）（0，+） （）若存在使不等式a+1f（x）成立a+1（f（x）min由（）知，时，f（x）=x+4，x=时，（f（x）min= a+1a实数a的取值范围为（，+） 2017年1月18日