1、章末检测(七)概率(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列说法正确的是()A甲、乙两人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场B某医院针对一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C随机试验的频率与概率相等D天气预报中，预报某天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%解析：选D概率只是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性故选D.2从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为，身体关节构造合格的概率为.从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假
2、定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)()ABC D解析：选B设事件A表示“从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格”，则其对立事件B表示“从中任挑一儿童，这两项都不合格”，由题可知，儿童体型不合格的概率为，身体关节构造不合格的概率为，所以P(B)，故P(A)1P(B)1.故选B.3从3名女教师和2名男教师中任选2人参加信息技术培训，则选中的2人都是女教师的概率为()A0.3 B0.4C0.5 D0.6解析：选A设3名女教师为a1，a2，a3，2名男教师为b1，b2，从中任选2人的所有可能结果为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，
3、(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，共10个，选中的2人都是女教师的样本点为(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，共3个，因此其概率为P0.3，故选A.4某人在打靶中，连续射击2次，至多有一次中靶的对立事件是()A至少有一次中靶B两次都中靶C两次都不中靶D恰有一次中靶解析：选B某人在打靶中，连续射击2次的所有可能结果为：第一次中靶，第二次中靶；第一次中靶，第二次未中靶；第一次未中靶，第二次中靶；第一次未中靶，第二次未中靶至多有一次中靶包含了三种可能，故其对立事件为，即两次都中靶故选B.5从一批苹果中随机抽取50个，其质量(单位：g)的频数分布表如下：质量分
4、组/g80，85)85，90)90，95)95，100频数5102015用分层随机抽样的方法从质量在80，85)和95，100内的苹果中共抽取4个，再从抽取的4个苹果中任取2个，则恰有1个苹果的质量在80，85)内的概率为()A BC D解析：选A设从质量在80，85)内的苹果中抽取x个，则从质量在95，100内的苹果中抽取(4x)个因为频数分布表中80，85)，95，100两组的频数分别为5，15，所以515x(4x)，解得x1，即抽取的4个苹果中质量在80，85)内的有1个，记为a，质量在95，100内的有3个，记为b1，b2，b3.从抽取的4个苹果中任取2个有ab1，ab2，ab3，b1
5、b2，b1b3，b2b3，共6个样本点，其中恰有1个苹果的质量在80，85)内的样本点有ab1，ab2，ab3，共3个，所以所求概率为.6排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为，前2局中乙队以20领先，则最后乙队获胜的概率是()A BC D解析：选B最后乙队获胜事件含3种情况：(1)第三局乙胜；(2)第三局甲胜，第四局乙胜；(3)第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜故最后乙队获胜的概率P，故选B.7A，B，C，D四位妈妈相约各带一个小孩去观看花展，她们选择共享电动车出行，每辆车只能载一位妈妈和一个小孩，其中孩子们都不坐自己妈妈的车，则A的小
6、孩坐C的车的概率是()A BC D解析：选A法一：设A，B，C，D四位妈妈的小孩分别是a，b，c，d，则坐车方式有(Ab，Ba，Cd，Dc)，(Ab，Bd，Ca，Dc)，(Ab，Bc，Cd，Da)，(Ac，Ba，Cd，Db)，(Ac，Bd，Ca，Db)，(Ac，Bd，Cb，Da)，(Ad，Ba，Cb，Dc)，(Ad，Bc，Ca，Db)，(Ad，Bc，Cb，Da)，共9种情况，而A的小孩坐C的车有3种情况，故所求概率为.法二：A的小孩坐B或D或C的车的概率是相等的，所以坐其他三位妈妈的车的概率均为.8首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机
7、床设备的概率分别为，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是()A BC D解析：选C设事件A是“甲企业购买该机床设备”，事件B是“乙企业购买该机床设备”，事件C是“丙企业购买该机床设备”，事件M是“甲、乙、丙三家企业中恰有1家购买该机床设备”，则P(A)，P(B)，P(C)，则P(M)P(A)P(B)P(C).故选C.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9下面结论正确的是()A若P(A)P(B)1，则事件A与B是互为对立事件B若P
8、(AB)P(A)P(B)，则事件A与B是相互独立事件C若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件D若事件A与B是相互独立事件，则A与也是相互独立事件解析：选BD对于A选项，要使A，B为对立事件，除P(A)P(B)1还需满足P(AB)0，也即A，B不能同时发生，所以A选项错误对于B选项，根据相互独立事件的知识可知，B选项正确对于C选项，A包含于，所以A与不是互斥事件，所以C选项错误对于D选项，根据相互独立事件的知识可知，D选项正确故选B、D.10已知袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率不为的是()A颜色相同 B颜色不全相同C颜色全不相同 D无红球解析
9、：选ACD有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色相同的结果有3种，其概率为；颜色不全相同的结果有24种，其概率为；颜色全不相同的结果有6种，其概率为；无红球的结果有8种，其概率为.故选A、C、D.11从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是()A2个球都是红球的概率为B2个球不都是红球的概率为C至少有1个红球的概率为D2个球中恰有1个红球的概率为解析：选ACD设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1，“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2，则P(A1)，P(A2)，且A1，A2独立在A中，2个球都是红球为A1A2，其概率为，A正确；在B中，
10、“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，B错误；在C中，2个球中至少有1个红球的概率为1P()P()1，C正确；2个球中恰有1个红球的概率为，D正确故选A、C、D.12某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取50名学生的成绩作为样本，得到频率分布表如下：组号分组频数频率第一组230，235)80.16第二组235，240)0.24第三组240，245)15第四组245，250)100.20第五组250，25550.10合计501.00以下结论正确的有()A表中位置的数据是12B表中位置的数据是0.3C在第三、四、五组中用分层随机抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，则第三
11、组抽取2人D在第三、四、五组中用分层随机抽样法抽取的6名学生中录取2名学生，则2人中至少有1名是第四组的概率为0.5解析：选AB位置的数据为50(815105)12，A正确；位置的数据为0.3，B正确；由分层随机抽样得，第三、四、五组参加考核的人数分别为3，2，1，C错误；设上述6人为a，b，c，d，e，f(其中第四组的两人分别为d，e)，则从6人中任取2人的所有情况为ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15种记“2人中至少有1名是第四组的”为事件A，则事件A所含的样本点的个数为9.所以P(A)，故2人中至少有1名是第四组的概率为，D错误
12、故选A、B.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13事件“某人从装有5个黑球，5个白球的袋中任取5个小球，其中至少4个是黑球”的对立事件是_解析：事件“某人从装有5个黑球，5个白球的袋中任取5个小球，其中至少4个是黑球”的对立事件是“某人从装有5个黑球，5个白球的袋中任取5个小球，其中至多3个是黑球”答案：至多3个是黑球14已知事件A，B，C相互独立，若P(AB)，P(C)，P(AB)，则P(B)_，P(B)_解析：P(AB)P(AB)P()P()，P()，即P(C).又P(C)P()P(C)，P()，P(B).又P(AB)，则P(A)，P(B)P()P(B)
13、.答案：15甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b.若|ab|1，则称甲、乙“心有灵犀”现任意找两人玩这个游戏，则两人“心有灵犀”的概率为_解析：a，b的可能取值(可重复)共有1010100(种).|ab|1可分两类，当a取0或9时，b只能取0、1或8、9，共4种取法；当a取18中的任一数字时，b有3种取法，共3824(种)，所以所求概率为P.答案：16甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4，0.5，0.8，若只有1人击中，则飞机被击落概率为0.2，若2人击中，则飞机被击落的概率为0.6，若3人击中，则飞机一
14、定被击落，则飞机被击落的概率为_解析：设甲、乙、丙三人击中飞机为事件A，B，C，依题意，A，B，C相互独立，故所求事件概率为PP(A)P(B)P(C)0.2P(AB)P(BC)P(AC)0.6P(ABC)(0.40.50.20.60.50.20.60.50.8)0.2(0.40.50.20.60.50.80.40.50.8)0.60.40.50.80.492.答案：0.492四、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；小李后掷一枚骰子，向上的
15、点数记为y.(1)在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点共有几个？试求点(x，y)落在直线xy7上的概率；(2)规定：若xy10，则小王赢；若xy4，则小李赢，其他情况不分输赢试问这个游戏规则公平吗？请说明理由解：(1)因x，y都可取1，2，3，4，5，6，故以(x，y)为坐标的点共有36个记点(x，y)落在直线xy7上为事件A，则事件A包含(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)，共6个样本点，所以事件A的概率P(A).(2)记xy10为事件B，xy4为事件C，用数对(x，y)表示x，y的取值则事件B包含(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6
16、，5)，(6，6)，共6个样本点；事件C包含(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，共6个样本点由(1)知样本点总数为36个，所以P(B)，P(C)，所以小王、小李获胜的可能性相等，游戏规则是公平的18(本小题满分12分)某市2021年4月(共计30天)对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：61, 76, 70, 56, 81, 91, 92, 91, 75, 81, 88, 67, 101, 103, 95，91, 77, 86, 81, 83, 82, 82, 64, 79, 86, 85, 75, 71, 49, 45.(1)作出频率分
17、布表；(2)画出频率分布直方图；(3)根据国家标准，污染指数在050之间时，空气质量为优；在51100之间时，为良；在101150之间时，为轻微污染；在151200之间时，为轻度污染从这30天中任意选取一天，则该天空气质量为优或良的概率是多少？解：(1)频率分布表如下：分组频数频率41，51)251，61)161，71)471，81)681，91)1091，101)5101，1112(2)频率分布直方图如图所示：(3)样本点总数是30，污染指数在0100之间的有28天，故所求概率为.19(本小题满分12分)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同随机有
18、放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足abc”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率解：(1)由题意，把抽取的结果记为(a，b，c)，则所有可能结果为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2
19、，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共有27种可能的结果设“抽取的卡片上的数字满足abc”为事件A，则事件A包含的样本点有(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共有3种可能的结果所以P(A).因此“抽取的卡片上的数字满足abc”的概率为.(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包含的样本点有(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共有3种可能的结果，所以P().故P(B)1P()1.因此“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.20(本小题满分12分)阶梯水价的原则是“保基本、建机制、促节约”，其中“保基
20、本”是指保证至少80%的居民用户用水价格不变为响应国家政策，制订合理的阶梯用水价格，某城市采用简单随机抽样的方法分别从郊区和城区抽取5户和20户居民的年人均用水量进行调研，得到数据如下：(单位：吨).郊区：1925283234城区：1819212222232323242526 272828282929313542(1)在郊区的这5户居民中随机抽取2户，求其年人均用水量都不超过30吨的概率；(2)设该城市郊区和城区的居民户数比为15，现将年人均用水量不超过30吨的用户定义为第一阶梯用户，并保证这一阶梯的居民用户用水价格保持不变，试根据样本估计总体的思想，分析此方案是否符合国家“保基本”政策解：(
21、1)从郊区的5户居民中随机抽取2户，其年人均用水量构成的所有样本点为(19，25)，(19，28)，(19，32)，(19，34)，(25，28)，(25，32)，(25，34)，(28，32)，(28，34)，(32，34)，共10个其中年人均用水量都不超过30吨的样本点为(19，25)，(19，28)，(25，28)，共3个设“从郊区的5户居民中随机抽取2户，其年人均用水量都不超过30吨”为事件A，则P(A).(2)设该城市郊区的居民用户数为a，则其城区的居民用户数为5a.依题意，该城市年人均用水量不超过30吨的居民用户的百分率为80%.故此方案符合国家“保基本”政策21(本小题满分12分
22、)某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为.(1)求恰有一名同学当选的概率；(2)求至多有两人当选的概率解：设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，则有P(A)，P(B)，P(C).(1)A，B，C相互独立， 恰有一名同学当选的概率为P(A )P(B)P( C)P(A)P()P()P()P(B)P()P()P()P(C).(2)至多有两人当选的概率为1P(ABC)1P(A)P(B)P(C)1.22(本小题满分12分)乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换每次发球，胜方得1分，负方得0分设在甲、乙的
23、比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立已知在甲、乙的一局比赛中，甲先发球(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；(2)求开始第5次发球时，甲得分领先的概率解：(1)记“第1次和第2次这两次发球，甲共得i分”为事件Ai，i0，1，2；“第3次和第4次这两次发球，甲共得i分”为事件Bi，i0，1，2；“第3次发球，甲得1分”为事件A；“开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2”为事件B，则BA0AA1.P(A)0.4，P(A0)0.420.16，P(A1)20.60.40.48，P(B)P(A0AA1)P(A0A)P(A1)P(A0)P(A)P(A1)P()0.160.40.48(10.4)0.352，即开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为0.352.(2)记“开始第5次发球时，甲得分领先”为事件C，则CA1B2A2B1A2B2.P(B1)20.40.60.48，P(B2)0.420.16，P(A2)0.620.36.P(C)P(A1B2A2B1A2B2)P(A1B2)P(A2B1)P(A2B2)P(A1)P(B2)P(A2)P(B1)P(A2)P(B2)0.480.160.360.480.360.160.307 2，即开始第5次发球时，甲得分领先的概率为0.307 2.