1、2015-2016学年安徽省宣城市郎溪中学直升部高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60分）1设U=R，A=x|x0，B=x|x1，则AUB=（）Ax|0x1Bx|0x1Cx|x0Dx|x12设集合A=a，b，则满足AB=a，b，c的集合B的个数为（）A8B4C3D13已知集合A=x|x24=0，集合B=x|ax=1，若BA，则实数a的值是（）A0BC0或D0或4下列四组函数中，表示同一函数的是（）Af（x）=|x|，g（x）=Bf（x）=lg x2，g（x）=2lg xCf（x）=，g（x）=x+1Df（x）=.，g（x）=5当0a1时，在同一坐标系中，函数y=ax与
2、y=logax的图象是（）ABCD6若函数 f（x）=logax（0a1）在区间a，2a上的最大值是最小值的2倍，则a的值为（）ABCD7三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）AacbBabcCbacDbca8已知奇函数f（x）在x0时的图象如图所示，则不等式xf（x）0的解集为（）A（1，2）B（2，1）C（2，1）（1，2）D（1，1）9函数f（x）=的图象（）A关于原点对称B关于直线y=x对称C关于x轴对称D关于y轴对称10已知f（x）是偶函数，它在0，+）上是减函数，若f（lgx）f（1），则实数x的取值范围是（）A（，1）B（0，）（1，+）C（，1
3、0）D（0，1）（10，+）11对实数a与b，定义新运算“”：ab=设函数f（x）=（x22）（x1），xR若函数y=f（x）c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A（1，1（2，+）B（2，1（1，2C（，2）（1，2D2，112任取x1，x2a，b，且x1x2，若f（）恒成立，则f（x）称为a，b上的凸函数下列函数中y=2x，y=log2x，y=x2，y=x在其定义域上为凸函数是（）ABCD二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13方程2|x|=2x的实数解有个14函数y=的单调递增区间是15已知f（x2）的定义域为1，1，则f（log2x）的定义域为16下列说法中正确
4、的是：函数的定义域是x|x0；方程x2+（a3）x+a=0的有一个正实根，一个负实根，则a0；函数y=lg在定义域上为奇函数；函数y=loga（2x5）2，（a0，且a1）恒过定点（3，2）；若3x+3x=2，则3x3x的值为2三、解答题（共6题，共70分）17设A=4，2a1，a2，B=a5，1a，9，已知AB=9，求a的值，并求出AB18判断函数f（x）=lg（x）的奇偶性、单调性19已知函数y=f（x）是R上的偶函数，且x0时，f（x）=（）x1（1）求f（x）的解析式；（2）画出此函数的图象20集合A是由具备下列性质的函数f （x）组成的：函数f （x）的定义域是0，+）；函数f（x）
5、的值域是2，4）；函数f（x）在0，+）上是增函数试分别探究下列两小题：（1）判断函数，及是否属于集合A，并简要说明理由；（2）对于（1）中你认为属于集合A的函数f（x），不等式f（x）+f（x+2）2f（x+1）是否对于任意的x0总成立？若不成立，说明理由？若成立，请证明你的结论21已知：函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0（1）求f（0）的值（2）求f（x）的解析式（3）已知aR，设P：当时，不等式f（x）+32x+a恒成立；Q：当x2，2时，g（x）=f（x）ax是单调函数如果满足P成立的a的集合记为A，满足Q成立的a的集合记为B，
6、求ARB（R为全集）22奇函数f（x）=的定义域为R，其中y=g（x）为指数函数，且过点（2，9）（）求y=f（x）的解析式；（）判断f（x）的单调性，并用定义证明；（）若对任意t0，5，不等式f（t2+2t+k）+f（2t2+2t5）0恒成立，求实数k的取值范围2015-2016学年安徽省宣城市郎溪中学直升部高一（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，共60分）1设U=R，A=x|x0，B=x|x1，则AUB=（）Ax|0x1Bx|0x1Cx|x0Dx|x1【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合【分析】欲求两个集合的交集，先得求集合CUB，再求它与A的交集
7、即可【解答】解：对于CUB=x|x1，因此ACUB=x|0x1，故选B【点评】这是一个集合的常见题，属于基础题之列2设集合A=a，b，则满足AB=a，b，c的集合B的个数为（）A8B4C3D1【考点】并集及其运算【专题】集合【分析】列举出满足条件的集合B的范围即可【解答】解：集合A=a，b，若AB=a，b，c，集合B=c，或a，c或b，c或a，b，c，共4个，故选：B【点评】本题考查了集合的运算，是一道基础题3已知集合A=x|x24=0，集合B=x|ax=1，若BA，则实数a的值是（）A0BC0或D0或【考点】集合关系中的参数取值问题【专题】阅读型【分析】通过解方程求出方程的解，用列举法表示出
8、集合A，再分类讨论集合B的情况求a 的值【解答】解：x24=0x=2，A=2，2，BA，B有两种种情况1、a=0，B=，BA；2、a0， =2a=，BA，综上a=0或故选C【点评】本题考查集合关系中的参数取值问题解决这类问题常用分类讨论思想4下列四组函数中，表示同一函数的是（）Af（x）=|x|，g（x）=Bf（x）=lg x2，g（x）=2lg xCf（x）=，g（x）=x+1Df（x）=.，g（x）=【考点】判断两个函数是否为同一函数【专题】函数的性质及应用【分析】利用定义域相同，对应关系相同的函数为同一函数逐一核对四个选项即可得到答案【解答】解：对于A，g（x）=，f（x）=|x|，两函
9、数为同一函数；对于B，函数f（x）的定义域为x|x0，而函数g（x）的定义域为x|x0，两函数定义域不同，两函数为不同函数；对于C，函数f（x）的定义域为x|x1，而函数g（x）的定义域为R，两函数定义域不同，两函数为不同函数；对于D，函数f（x）的定义域为x|x1，而函数g（x）的定义域为x|x1或x1，两函数定义域不同，两函数为不同函数故选：A【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的方法，对于两个函数，只要定义域相同，对应关系相同，两函数即为同一函数，是基础题5当0a1时，在同一坐标系中，函数y=ax与y=logax的图象是（）ABCD【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性
10、质【专题】压轴题；数形结合【分析】先将函数y=ax化成指数函数的形式，再结合函数的单调性同时考虑这两个函数的单调性即可判断出结果【解答】解：函数y=ax与可化为函数y=，其底数大于1，是增函数，又y=logax，当0a1时是减函数，两个函数是一增一减，前增后减故选C【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对对数函数和指数函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力6若函数 f（x）=logax（0a1）在区间a，2a上的最大值是最小值的2倍，则a的值为（）ABCD【考点】对数函数的值域与最值【专题】函数的性质及应用【分析】利用对数函数的单调性确定最大值和最小值，利用条件建立方程即可求a【解答】解
11、：0a1，对数函数 f（x）=logax在a，2a上单调递减，最大值为f（a）=logaa=1，最小值为f（2a）=loga2a，f（x）在区间a，2a上的最大值是最小值的2倍，f（a）=2f（2a），即1=2loga2a，loga2a=，即，解得a=，故选：B【点评】本题主要考查对数函数的运算和求值，利用对数函数的单调性确定函数的最大值和最小值是解决本题的关键，比较基础7三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）AacbBabcCbacDbca【考点】指数函数单调性的应用【专题】计算题【分析】将a=0.32，c=20.3分别抽象为指数函数y=0.3x，y=2x之
12、间所对应的函数值，利用它们的图象和性质比较，将b=log20.3，抽象为对数函数y=log2x，利用其图象可知小于零最后三者得到结论【解答】解：由对数函数的性质可知：b=log20.30，由指数函数的性质可知：0a1，c1bac故选C【点评】本题主要通过数的比较，来考查指数函数，对数函数的图象和性质8已知奇函数f（x）在x0时的图象如图所示，则不等式xf（x）0的解集为（）A（1，2）B（2，1）C（2，1）（1，2）D（1，1）【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】数形结合【分析】由f（x）是奇函数得函数图象关于原点对称，可画出y轴左侧的图象，利用两因式异号相乘得负，得出f（x）的正负，由图象
13、可求出x的范围得结果【解答】解：（1）x0时，f（x）0，1x2，（2）x0时，f（x）0，2x1，不等式xf（x）0的解集为（2，1）（1，2）故选C【点评】由函数的奇偶性得出整个图象，分类讨论的思想得出函数值的正负，数形结合得出自变量的范围9函数f（x）=的图象（）A关于原点对称B关于直线y=x对称C关于x轴对称D关于y轴对称【考点】函数奇偶性的判断【专题】函数的性质及应用【分析】由f（x）=2x+2x，得函数f（x）=的图象关于y轴对称【解答】解：f（x）=2x+2x，f（x）=2x+2x=f（x），f（x）是偶函数，函数f（x）=的图象关于y轴对称，故选：D【点评】本题考查函数的对称轴
14、的判断与求法，是基础题，解题时要注意函数的奇偶性的合理运用10已知f（x）是偶函数，它在0，+）上是减函数，若f（lgx）f（1），则实数x的取值范围是（）A（，1）B（0，）（1，+）C（，10）D（0，1）（10，+）【考点】函数单调性的性质；偶函数【专题】函数的性质及应用【分析】利用偶函数的性质，f（1）=f（1），在0，+）上是减函数，在（，0）上单调递增，列出不等式，解出x的取值范围【解答】解：f（x）是偶函数，它在0，+）上是减函数，f（x）在（，0）上单调递增，由f（lgx）f（1），f（1）=f（1）得：1lgx1，x10，故答案选C【点评】本题考查偶函数的性质及函数单调性的应
15、用11对实数a与b，定义新运算“”：ab=设函数f（x）=（x22）（x1），xR若函数y=f（x）c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A（1，1（2，+）B（2，1（1，2C（，2）（1，2D2，1【考点】函数与方程的综合运用【专题】函数的性质及应用【分析】根据定义的运算法则化简函数f（x）=（x22）（x1），的解析式，并画出f（x）的图象，函数y=f（x）c的图象与x轴恰有两个公共点转化为y=f（x），y=c图象的交点问题，结合图象求得实数c的取值范围【解答】解：，函数f（x）=（x22）（x1）=，由图可知，当c（2，1（1，2函数f（x） 与y=c的图象有两个公共点
16、，c的取值范围是 （2，1（1，2，故选B【点评】本题考查二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用，及数形结合的思想属于基础题12任取x1，x2a，b，且x1x2，若f（）恒成立，则f（x）称为a，b上的凸函数下列函数中y=2x，y=log2x，y=x2，y=x在其定义域上为凸函数是（）ABCD【考点】对数函数的单调性与特殊点【专题】新定义；函数的性质及应用【分析】由凸函数的概念，得出凸函数的几何特征，根据几何特征可作出四个函数y=2x，y=log2x，y=x2，y=x的图象，观察图象即可得到答案【解答】解：根据题意：任取x1，x2a，b，且x1x2，若f（）恒成立，f（x）称为a，b上的凸函
17、数知：在函数y=f（x）的图象上任取不同的两点A、B，线段AB（端点除外）总在f（x）图象的上方，则函数f（x）为凸函数，分别作出四个函数的图象，如图所示观察y=log2x，y=x2，y=x在其定义域上的图象，满足凸函数的概念，即y=log2x，y=x2，y=x是凸函数故选C【点评】本题考查函数的图象，关键在于作出符合凸函数的概念的函数图象，考查数形结合的思想，属于基础题二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13方程2|x|=2x的实数解有2个【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】数形结合；转化思想【分析】方程2|x|=2x的实数解个数就是函数 y=2|x| 与 y=2x 的图象交点的个
18、数，结合图象作答【解答】解：如图：方程2|x|=2x的实数解个数就是函数 y=2|x| 与 y=2x 的图象交点的个数，由图象可知，交点个数是2，故答案为 2【点评】本题考查方程根的个数的判断方法，把方程根的个数转化为两个函数的图象的交点个数，体现了数形结合及转化的数学思想14函数y=的单调递增区间是（，6）【考点】对数函数的单调性与特殊点【专题】计算题【分析】首先根据函数的解析式求出函数的定义域，再根据二次函数和对数函数的性质，得到内层与外层函数的单调性，进而结合复合函数“同增异减”的原则得到答案【解答】解：根据对数函数的定义可得：函数y=的定义域为：（，6）（2，+）令t=x2+4x12，
19、则，由对数函数的性质可得：函数在定义域内是减函数，由二次函数的性质可得：t=x2+4x12的单调递减区间是（，6），单调递增区间是（2，+），再根据复合函数的单调性是“同增异减”，所以函数的单调递增区间是（，6）故答案为：（，6）【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握对数函数、二次函数的有关性质，考查复合函数的单调性，而复合函数单调性满足“同增异减”的原则，这也是解答本题的关键，解答时易忽略对数函数的定义域15已知f（x2）的定义域为1，1，则f（log2x）的定义域为1，2【考点】函数的定义域及其求法【专题】函数的性质及应用【分析】根据y=f（x2）的定义域求出f（x）的定义域，再根据f（x）
20、的定义域求出y=f（log2x）的定义域【解答】解：因为函数y=f（x2）的定义域为1，1，即1x1，0x21，即y=f（x）的定义域为0，10log2x1，解得1x2故答案为：1，2【点评】本题考查知f（x）的定义域为m，n，求f（ax+b）的定义域，只需解不等式max+bn即可16下列说法中正确的是：函数的定义域是x|x0；方程x2+（a3）x+a=0的有一个正实根，一个负实根，则a0；函数y=lg在定义域上为奇函数；函数y=loga（2x5）2，（a0，且a1）恒过定点（3，2）；若3x+3x=2，则3x3x的值为2【考点】命题的真假判断与应用【专题】函数的性质及应用【分析】根据幂函数的
21、图象和性质，可判断；根据韦达定理，可判断；根据奇函数的定义，可判断；根据对数函数的图象和性质，可判断；利用平方法，计算3x3x的值，可判断【解答】解：函数的定义域是x|x0，故错误；方程x2+（a3）x+a=0的有一个正实根x1，一个负实根x2，则x1x2=a0，故正确；函数y=f（x）=lg在定义域（1，1）上满足f（x）=f（x）恒成立，为奇函数，故正确；函数y=loga（2x5）2，（a0，且a1）令2x5=1，即x=3，则y=2，故函数图象恒过定点（3，2），故正确；若3x+3x=2，（3x+3x）2=32x+32x+2=8，则32x+32x=6，（3x3x）2=32x+32x2=4，
22、则3x3x的值为2故错误；故正确的说法有：，故答案为：【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的图象和性质，难度中档三、解答题（共6题，共70分）17设A=4，2a1，a2，B=a5，1a，9，已知AB=9，求a的值，并求出AB【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】利用集合的交集为9，求出a的值，然后求解并集【解答】解：A=4，2a1，a2，B=a5，1a，9，已知AB=9，可得2a1=9，解得a=5，此时A=4，9，25，B=0，4，9，不满足题意，AB=9a2=9，解得a=3或a=3，a=3时，A=4，5，9，B=2，2，9，不满足题意，a=3时，A=4，7，9，B=8，4，
23、9，满足题意，AB=8，7，4，4，9【点评】本题考查集合的交集的求法与应用，是基础题18判断函数f（x）=lg（x）的奇偶性、单调性【考点】对数函数的单调性与特殊点；函数奇偶性的判断【专题】计算题；证明题【分析】首先求出函数的定义域，再由奇偶性的定义判断f（x）和f（x）的关系，可利用奇函数的变形公式，求f（x）+f（x）=0然后先由导数判断y=的单调性，再由复合函数的单调性确定f（x）的单调性即可【解答】解：因为，所以f（x）的定义域为R，因为f（x）+f（x）=0所以f（x）=f（x），所以f（x）为奇函数令y=，则y=0，所以y=是减函数，由复合函数的单调性知f（x）为减函数【点评】本
24、题考查复合函数的单调性和奇偶性的判断和证明，注意奇函数的变形公式f（x）+f（x）=019已知函数y=f（x）是R上的偶函数，且x0时，f（x）=（）x1（1）求f（x）的解析式；（2）画出此函数的图象【考点】函数奇偶性的性质；函数的图象【专题】计算题【分析】（1）可先设x0，则由已知可得f（x）=（）x1，结合函数为偶函数可求（2）结合指数函数的图象及函数的图象的平移可作出函数的图象【解答】解：（1）当x0时，x0f（x）=（）x1，函数y=f（x）是偶函数f（x）=f（x）=（）x1=2x1故f（x）=（2）函数的图象如图所示【点评】本题主要考查了利用偶函数的性质求解函数的解析式，及知数函
25、数的图象的作法，函数图象变换的应用20集合A是由具备下列性质的函数f （x）组成的：函数f （x）的定义域是0，+）；函数f（x）的值域是2，4）；函数f（x）在0，+）上是增函数试分别探究下列两小题：（1）判断函数，及是否属于集合A，并简要说明理由；（2）对于（1）中你认为属于集合A的函数f（x），不等式f（x）+f（x+2）2f（x+1）是否对于任意的x0总成立？若不成立，说明理由？若成立，请证明你的结论【考点】抽象函数及其应用【专题】综合题【分析】（1）由已知可得函数的值域2，+），从而可得f1（x）A，对于f2（x），只要分别判断函数定义域是否满足条件值域是否满足条件，单调性是否满足条
26、件，即可得答案；（2）由（1）知，f2（x）属于集合A原不等式为，通过整理不等式可判断【解答】解：（1）函数的值域2，+）f1（x）A对于f2（x），定义域为0，+），满足条件而由x0知，满足条件又，在0，+）上是减函数f2（x）在0，+）上是增函数，满足条件f2（x）属于集合A（2）由（1）知，f2（x）属于集合A原不等式为整理为：对任意，原不等式对任意x0总成立【点评】本题目以新定义为载体主要综合考查了函数的定义域、值域、复合函数的单调性的求解及判断，属于函数知识的综合应用21已知：函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0（1）求f（0）
27、的值（2）求f（x）的解析式（3）已知aR，设P：当时，不等式f（x）+32x+a恒成立；Q：当x2，2时，g（x）=f（x）ax是单调函数如果满足P成立的a的集合记为A，满足Q成立的a的集合记为B，求ARB（R为全集）【考点】抽象函数及其应用；交、并、补集的混合运算【专题】计算题【分析】（1）对抽象函数满足的函数值关系的理解和把握是解决该问题的关键，对自变量适当的赋值可以解决该问题，结合已知条件可以赋x=1，y=1求出f（0）；（2）在（1）基础上赋值y=0可以实现求解f（x）的解析式的问题；（3）利用（2）中求得的函数的解析式，结合恒成立问题的求解策略，即转化为相应的二次函数最值问题求出集
28、合A，利用二次函数的单调性求解策略求出集合B【解答】解：（1）令x=1，y=1，则由已知f（0）f（1）=1（1+2+1）f（0）=2（2）令y=0，则f（x）f（0）=x（x+1）又f（0）=2f（x）=x2+x2（3）不等式f（x）+32x+a即x2+x2+32x+a也就是x2x+1a由于当时，又x2x+1=恒成立，故A=a|a1，g（x）=x2+x2ax=x2+（1a）x2 对称轴x=，又g（x）在2，2上是单调函数，故有，B=a|a3，或a5，CRB=a|3a5ACRB=a|1a5【点评】本题考查抽象函数解析式的求解，考查赋值法求函数值、函数解析式的思想，考查恒成立问题的解决方法、考查
29、二次函数单调性的影响因素，考查学生的转化与化归能力，属于中档题22奇函数f（x）=的定义域为R，其中y=g（x）为指数函数，且过点（2，9）（）求y=f（x）的解析式；（）判断f（x）的单调性，并用定义证明；（）若对任意t0，5，不等式f（t2+2t+k）+f（2t2+2t5）0恒成立，求实数k的取值范围【考点】函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质【专题】综合题；函数的性质及应用【分析】（）先求出g（x），再利用奇函数f（x）=的定义域为R求y=f（x）的解析式；（）在定义域上取值，再作差、变形，变形彻底后根据式子的特点，讨论判断符号、下结论；（）根据奇函数的定义将不等
30、式转化，再分离函数解析式，求最小值，即可求实数k的取值范围【解答】解：（）设g（x）=ax，过点（2，9），a=3，奇函数f（x）=的定义域为R，f（x）=，m=1，n=1，f（x）=；（）函数f（x）=在R上是单调递减函数f（x）=1+设x1x2，则有f（x1）f（x2）=2.0，f（x1）f（x2）函数f（x）=在R上是单调递减函数；（）不等式f（t2+2t+k）+f（2t2+2t5）0，可化为t2+2t+k2t22t+5即kt24t+5=（t2）2+1对任意t0，5，不等式f（t2+2t+k）+f（2t2+2t5）0恒成立，k1【点评】本题主要考查了奇函数的定义的灵活应用，以及分离常数法，复合函数和指数函数单调性的应用，二次函数的性质的应用，较综合，但难度不大，属于中档题