1、2012年宜兴市高三数学模拟卷数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合，则 .2已知复数，若对应点在第二象限，则的取值范围为 .3函数的定义域是 .4函数的减区间为 .5若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则 .6某算法的伪代码如右，其输出的结果是 .7小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则在家看书，则小波周末不在家看书的概率为 .8函数的图象如图所示，则 .9若二次函数满足，且，则实数的取值范围是 .10设函数，若不等式对于任意恒成立，则
2、实数的取值范围是 .11如图，、是同一平面内的三条平行直线，与间的 距离是，与间的距离是，正三角形的三顶点分别在、上，则的边长是 .12下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：错误的一个的的值应改正为 .13点是边长为的正方形内或边界上一动点，是边的中点，则的最大值是 .14已知，且，设的最大值和最小值分别为，那么 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）的三个内角所对边分别为，向量，且.求的大小；现在给出下列三个条件：；，试从中再选择两个条件以确定，求出所确定的的面积.16（本小题满分14分）在四棱锥中，
3、底面是菱形，.若，求证：平面；若平面平面，求证：；在棱上是否存在点（异于点）使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由.17（本小题满分14分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为千元，半球形部分每平方米建造费用为千元.设该容器的建造费用为千元.写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；求该容器的建造费用最小时的.18（本小题满分16分）如图，已知椭圆的上顶点为，离心率为，若不过点的动直线与椭圆相交于两点，且.求椭圆的方程；若
4、直线AP的低利率为，求直线PQ的方程；求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.19（本小题满分16分）已知正项数列的前项和为，且，.求证：数列是等差数列；求解关于的不等式；记数列，证明：.20（本小题满分16分）已知函数的图像(如图所示)过点、和点，且函数图像关于点对称；直线和及是它的渐近线.现要求根据给出的函数图像研究函数的相关性质与图像.写出函数的定义域、值域及单调递增区间；作函数的大致图像（要充分反映由图像及条件给出的信息）；试写出的一个解析式，并简述选择这个式子的理由(按给出理由的完整性及表达式的合理、简洁程度分层给分).数学（附加题）21选做题（从以下A，B，C，D四题中选择两题作答每
5、题10分）A(几何证明选讲选做题) 已知PA是圆O(O为圆心)的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，PAB=300，求线段PB的长.科网B(矩阵与变换) 设数列，满足，且满足，试求二阶矩阵.C(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，求直线sin(+)=2被圆=4截得的弦长. D(不等式选讲选做题) 已知a，b，cR，且a+b+c=2，a2+2b2+3c2=4，求a的取值范围. 以下两题为必做题（每题10分）22如图，正四棱柱中，底面边长为2，侧棱长为3，E为BC的中点，FG分别为、上的点，且CF=2GD=2.求：到面EFG的距离；DA与面EFG所成的角的正弦值；在直线上是否存在点P，使得
6、DP/面EFG?,若存在，找出点P的位置，若不存在，试说明理由。23如图，将圆分成n个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为。求及与的关系式；数列的通项公式，并证明：.2012年宜兴市高三数学模拟卷答案1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.8. 9.或 10. 11. 12. 13. 14.15.的三个内角的对边为，向量，且.求的大小；现在给出下列三个条件：；，试从中再选择两个条件以确定，求出所确定的的面积.解析：(I)因为，所以2分即：，所以4分因为，所以所以6分()方案一:选择，可确定，因为由余弦定理，得：整理得：10分所以 方案二:选择，可
7、确定，因为又由正弦定理所以（注意;选择不能确定三角形）16. 在四棱锥中，底面是菱形，.若，求证：平面；若平面平面，求证：；在棱上是否存在点（异于点）使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【解析】（）证明：因为 底面是菱形 所以 . 因为 ，所以 平面. （）证明：由（）可知.因为 平面平面，平面平面，平面，所以 平面. 因为 平面，所以 . 因为 底面是菱形，所以 . 所以 . （）解：不存在. 下面用反证法说明. 假设存在点（异于点）使得平面.在菱形中，因为 平面，平面，所以 平面. 11分因为 平面，平面，所以 平面平面. 13分而平面与平面相交，矛盾. 14分17.某企业拟建
8、造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为千元，半球形部分每平方米建造费用为千元.设该容器的建造费用为千元.写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；求该容器的建造费用最小时的.解：设容器的容积为V，由题意知Vr2lr3， 又V，故lr. 由于l2r，因此0r2.所以建造费用y2rl34r2c2r34r2c，因此y4(c2)r2，0r2.(2)由(1)得y8(c2)r，0r2.由于c3，所以c20.当r30时，r.令m，则m0，所以y(rm)(
9、r2rmm2)当0m2即c时，当rm时，y0；当r(0，m)时，y0；当r(m,2时，y0.所以rm是函数y的极小值点，也是最小值点当m2即3c时，当r(0,2时，y0，函数单调递减，所以r2是函数y的最小值点综合所述，当3c时，建造费用最小时r2；当c时，建造费用最小时r.18.如图，已知椭圆的上顶点为，离心率为，若不过点的动直线与椭圆相交于两点，且.求椭圆的方程；求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.解依题意有 故椭圆的方程为 4分 6分 (解法1)由知,从而直线与坐标轴不垂直, 由可设直线的方程为，直线的方程为. 将代入椭圆的方程并整理得: ,解得或,因此的坐标为,即 将上式中的换成,得
10、. 9分 直线的方程为化简得直线的方程为， 12分 因此直线过定点. 14分 (解法2)由题直线的斜率存在，则可设直线的方程为：， 代入椭圆的方程并整理得: , 设直线与椭圆相交于、两点，则是上述关于的方程两个不相等的实数解，从而 7分 由得， 整理得： 由知. 此时, 因此直线过定点. 14分 19. 已知正项数列的前项和为，且，.求证：数列是等差数列；求解关于的不等式；记数列，证明：.解：() 当时，化简得由，得数列是等差数列 ()由(I)知，又由，得，即又，不等式的解集为 ()当时，故 20.已知函数的图像(如图所示)过点、和点，且函数图像关于点对称；直线和及是它的渐近线.现要求根据给出
11、的函数图像研究函数的相关性质与图像.写出函数的定义域、值域及单调递增区间；作函数的大致图像（要充分反映由图像及条件给出的信息）；试写出的一个解析式，并简述选择这个式子的理由(按给出理由的完整性及表达式的合理、简洁程度分层给分).解: (1) 定义域为: 2分 值域为: 3分 函数的单调递增区间为: 和 5分 (2) 图像要求能反映出零点(和,渐近线,过定点,单调性正确. 5分 (3) 结论可能各异如:, ,等层次一:函数图像能满足题意, 但没有说明理由 4分层次二: 函数图像能满足题意,能简述理由(渐近线、定点等部分内容) 6分层次三: 函数图像能满足题意,能说明过定点、渐近线、单调性及对称性
12、 9分 21.A.解：由圆周角性质可知ACBAB， BC为直径，BAC， ABC AB，BAB，PB=学 10分B.解：依题设有： 3分 令， 5分 8分 10分C解：直线方程可以化为 2分圆的方程可以化： 5分圆心到直线的距离为=2 8分直线被圆长截得的弦长=2= 10分D解：由 3分 5分 8分, 10分22解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系 则E(1，2，0)，F（0，2，2），G（0，0，1）=（1，0，2），=（0，2，1），设=（x，y，z）为面EFG的法向量，则=0，=0，x=2z，z=-2y，取y=1，得=（4，1，2） （1）=（0，0，1），C到面EFG的距离为 4分（2）=（2，0，0），设DA与面EFG所成的角为，则=， 7分（3）存在点P，在B点下方且BP=3，此时P(2，2，3)=(2，2，3)，=0，DP/面EFG 10分 23.解：（1） 当时，不同的染色方法种数 ， 当时，不同的染色方法种数 ， 当时，不同的染色方法种数 ，-3分当时，分扇形区域1，3同色与异色两种情形不同的染色方法种数 。依次对扇形区域染色，不同的染色方法种数为，其中扇形区域1与不同色的有种，扇形区域1与同色的有种。-5分（2） ，将上述个等式两边分别乘以，再相加，得，从而。-8分证明：当时， 当时， ，当时， 故-10分