1、2015-2016学年安徽省宣城市郎溪中学高二（上）第一次月考数学试卷（理科）一选择题（共10小题，50分）1在ABC中，C=60，AB=，那么A等于（）A135B105C45D752设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x85.71，则下列结论中不正确的是（）Ay与x具有正的线性相关关系B回归直线过样本点的中心（，）C若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg3已知一组数x1，x2，x3，x
2、4的平均数是，方差s2=4，则数据2x1+1，2x2+1，2x3+1，2x4+1的平均数和方差分别是（）A11，8B10，8C11，16D10，164已知等比数列an的公比为正数，且a3a7=4a42，a2=2，则a1=（）A1BC2D5已知tan（+）=，tan（）=，那么tan（+）等于（）ABCD6在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，S=（b2+c2a2），则B=（）A90B60C45D307下图给出的是计算+的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）Ai10Bi11Ci10Di118在ABC中，角A、B、C
3、的对边分别为a、b、c，且a=，b=（0），A=45，则满足此条件的三角形个数是（）A0B1C2D无数个9已知等差数列an的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（）ABCD10已知数列2008，2009，1，2008，2009，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2013项之和S2013等于（）A2 008B2 010C4018D1二填空题（共5小题，25分）11若=20，=25，则（1+tan）（1+tan）的值为12如图是甲、乙两名篮球运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，茎表示得分的十位数，据图可知甲运动员得分的中位数和乙运动员得分
4、的众数分别为、13十进制数53转化为二进制数14设等差数列an的前n项和为Sn，若a1=11，a4+a6=6，则当Sn取最小值时，n等于15数列的前100项的和等于三解答题（75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）16设计算法求的值，要求写出算法步骤并画出程序框图17在ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，点（a，b）在直线x（sinAsinB）+ysinB=csinC上（I）求角C的值；（II）若a2+b2=6（a+b）18，求ABC的面积18已知函数f（x）=2sin（x+）（0，）的部分图象如图所示（1）求函数f（x）的表达式； （2）求函数f（x）在，2上的最大值和最小值1
5、9在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如表：分组频数1.30，1.34）41.34，1.38）251.38，1.42）301.42，1.46）291.46，1.50）101.50，1.54）2合计100（1）列出频率分布表，并画出频率分布直方图；（2）估计纤度落在1.38，1.50）中的概率及纤度小于1.40的概率是多少？（3）从频率分布直方图估计出纤度的众数、中位数和平均数20以下数据是浙江省某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间的对应关系，广告费支出x24568销售额y3040605070（1）画出数据对应的散点图，你从散点图中
6、发现该种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有什么统计规律吗？（2）求y关于x的回归直线方程；（3）请你预测，当广告费支出为7（百万元）时，这种产品的销售额约为多少（百万元）？（参考数据：230+440+560+650+870=1380）21已知数列an的前n项和Sn满足条件2Sn=3（an1），其中nN*（1）求证：数列an成等比数列；（2）设数列bn满足bn=log3an 若 cn=anbn，求数列cn的前n项和2015-2016学年安徽省宣城市郎溪中学高二（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题（共10小题，50分）1在ABC中，C=60，AB=，那么A等于
7、（）A135B105C45D75【考点】正弦定理【专题】计算题【分析】由C的度数求出sinC的值，再由c和a的值，利用正弦定理求出sinA的值，由c大于a，根据大边对大角，得到C大于A，得到A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数【解答】解：C=60，AB=c=，BC=a=，由正弦定理=得：sinA=，又ac，得到AC=60，则A=45故选C【点评】此题考查了正弦定理，三角形的边角关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键2设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，n），用最小二乘法建立的回归
8、方程为=0.85x85.71，则下列结论中不正确的是（）Ay与x具有正的线性相关关系B回归直线过样本点的中心（，）C若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg【考点】回归分析的初步应用【专题】阅读型【分析】根据回归方程为=0.85x85.71，0.850，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只能进行预测，但不可断定【解答】解：对于A，0.850，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于C，回归方程为=0.85x85.71，该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0
9、.85kg，故正确；对于D，x=170cm时， =0.8517085.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确故选D【点评】本题考查线性回归方程，考查学生对线性回归方程的理解，属于中档题3已知一组数x1，x2，x3，x4的平均数是，方差s2=4，则数据2x1+1，2x2+1，2x3+1，2x4+1的平均数和方差分别是（）A11，8B10，8C11，16D10，16【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数【专题】概率与统计【分析】利用平均数和方差的定义即可求出答案【解答】解： =5， =4要求的平均数（2x2+1）+（2x2+1）= = =11，要求的方差
10、+=4s2=44=16故选C【点评】由=，s2=可得axi+b（i=1到n）的平均数和方差分别为，a2s2是解决问题的关键4已知等比数列an的公比为正数，且a3a7=4a42，a2=2，则a1=（）A1BC2D【考点】等比数列的通项公式【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】由已知及等比数列的性质可得，a3a7=a4a6，从而可求q0，然后结合a2=2，可求a1，【解答】解：a3a7=4，由等比数列的性质可得，a3a7=a4a6a6=4a4=4an0q0q=2a2=2，则a1=1故选A【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及等比数列的性质的简单应用，属于基础试题5已知tan（+）=，tan
11、（）=，那么tan（+）等于（）ABCD【考点】两角和与差的正切函数【专题】计算题【分析】把已知的条件代入=tan（+）（）=，运算求得结果【解答】解：已知，=tan（+）（）= = =，故选C【点评】本题主要考查两角和差的正切公式的应用，属于中档题6在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，S=（b2+c2a2），则B=（）A90B60C45D30【考点】余弦定理的应用【专题】计算题【分析】先利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得sinC的值，进而求得C，然后利用三角形面积公式求得S的表达式，进而求得a=b，
12、推断出三角形为等腰直角三角形，进而求得B【解答】解：由正弦定理可知acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin（A+B）=2RsinC=2RsinCsinCsinC=1，C=S=ab=（b2+c2a2），解得a=b，因此B=45故选C【点评】本题主要考查了正弦定理的应用作为解三角形常用的定理，我们应熟练记忆和掌握正弦定理公式及其变形公式7下图给出的是计算+的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）Ai10Bi11Ci10Di11【考点】程序框图【专题】算法和程序框图【分析】由于当i=10时需要计算，即可得出判断框内应填入的条件【解答】解：是计算+的值的
13、一个程序框图，当i=10时需要计算，因此其中判断框内应填入的条件是i10故选：C【点评】本题考查了算法程序框图的条件、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=，b=（0），A=45，则满足此条件的三角形个数是（）A0B1C2D无数个【考点】正弦定理【专题】解三角形【分析】由正弦定理求得sinB=1，可得角B不存在，故满足此条件的三角形不存在【解答】解：在ABC中，由正弦定理可得，即，求得sinB=1，故B不存在，故满足此条件的三角形不存在，故选A【点评】本题主要考查正弦定理的应用，三角函数的有界性，属于中档题9已知等差数列an的前n
14、项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（）ABCD【考点】数列的求和；等差数列的前n项和【专题】计算题【分析】由等差数列的通项公式及求和公式，结合已知可求a1，d，进而可求an，代入可得=，裂项可求和【解答】解：设等差数列的公差为d由题意可得，解方程可得，d=1，a1=1由等差数列的通项公式可得，an=a1+（n1）d=1+（n1）1=n=1=故选A【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，及数列求和的裂项求和方法的应用，属于基础试题10已知数列2008，2009，1，2008，2009，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前
15、2013项之和S2013等于（）A2 008B2 010C4018D1【考点】数列的求和；数列的函数特性【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】设该数列为an，由从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，得an+1=an+an+2，从而有an+2=an+1+an+3，两式相加后通过变形可推得数列周期，由周期性可求得答案【解答】解：设该数列为an，从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，即an+1=an+an+2，则an+2=an+1+an+3，两式相加，得an+3+an=0，即an+3=an，an+6=an+3=（an）=an，该数列的周期为6，a1+a2+a3+a4+a5+a6=2008
16、+2009+1200820091=0，S2013=335（a1+a2+a3+a4+a5+a6）+a1+a2+a3=0+2008+2009+1=4018，故选C【点评】本题考查数列的求和及数列的函数特性，利用条件推导该数列的周期是解决该题的关键所在二填空题（共5小题，25分）11若=20，=25，则（1+tan）（1+tan）的值为2【考点】两角和与差的正切函数【专题】计算题；三角函数的求值【分析】由+=45，得到tan（+）=1，利用两角和的正切函数公式化简tan（+）=1，即可得到所求式子的值【解答】解：由+=45，得到tan（+）=tan45=1，所以tan（+）=1，即tan+tan=1
17、tantan，则（1+tan）（1+tan）=1+tan+tan+tantan=2故答案为：2【点评】此题考查学生灵活运用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，属于基础题12如图是甲、乙两名篮球运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，茎表示得分的十位数，据图可知甲运动员得分的中位数和乙运动员得分的众数分别为35、29【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数【专题】图表型【分析】本题考查的知识点是茎叶图，及中位数，众数的概念，由茎叶图中分析出甲、乙两名篮球运动员某赛季各场次得分，再由定义进行判断，易得结果【解答】解：分析茎叶图可得：甲运动员的得分为：10，15，22，23，31，32，34
18、，36，37，38，44，44，49，51甲运动员的得分为：8，12，14，17，21，29，29，33，36，52则甲运动员得分的中们数为35，乙运动员得分的众数为29故答案为：35，29【点评】茎叶图的茎是高位，叶是低位，所以本题中“茎是十位”，叶是个位，从图中分析出参与运算的数据，代入相应公式即可解答从茎叶图中提取数据是利用茎叶图解决问题的关键13十进制数53转化为二进制数110101（2）【考点】进位制【专题】计算题【分析】利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案【解答】解：532=261262=130132=616
19、2=3032=1112=01故53（10）=110101 （2）故答案为：110101 （2）【点评】本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键14设等差数列an的前n项和为Sn，若a1=11，a4+a6=6，则当Sn取最小值时，n等于6【考点】等差数列的性质【专题】计算题【分析】根据等差数列的性质化简a4+a6=6，得到a5的值，然后根据a1的值，利用等差数列的通项公式即可求出公差d的值，根据a1和d的值写出等差数列的通项公式，进而写出等差数列的前n项和公式Sn，配方后即可得到Sn取最小值时n的值【解答】解：由a4+a6=2a5=6，解
20、得a5=3，又a1=11，所以a5=a1+4d=11+4d=3，解得d=2，则an=11+2（n1）=2n13，所以Sn=n212n=（n6）236，所以当n=6时，Sn取最小值故答案为：6【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值，掌握等差数列的性质，是一道基础题15数列的前100项的和等于【考点】数列的求和【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】根据数列中项为的项数为n，可得第91项为，从第92项至第100项均为，由此可得结论【解答】解：由题意，数列中项为的项数为n，则1+2+3+4+13=91第91项为，从第92项至第100项均为数列的前100项的和等于13+
21、=故答案为：【点评】本题考查数列的求和，考查学生的计算能力，属于基础题三解答题（75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）16设计算法求的值，要求写出算法步骤并画出程序框图【考点】设计程序框图解决实际问题【专题】计算题【分析】由已知中，程序的功能我们可以利用循环结构来解答本题，因为这是一个累加问题，故循环前累加器S=0，由于已知中的式子，可得循环变量k初值为1，步长为1，终值为99，累加量为，由此易写出算法步骤，并画出程序框【解答】解：满足条件的算法步骤如下：第一步，令s=0，k=1，第二步，若k99成立，则执行第三步，否则输出s，结束算法；第三步，s=s+；第四步，k=k+1，返回第二
22、步满足条件的程序框图如下：【点评】本题考查的知识点是程序框图解决实际问题，其中利用循环解答累加问题时，关键是根据已知中的程序确定循环变量的初值、步长、终值，及累加量的通项公式17在ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，点（a，b）在直线x（sinAsinB）+ysinB=csinC上（I）求角C的值；（II）若a2+b2=6（a+b）18，求ABC的面积【考点】正弦定理的应用；余弦定理【专题】计算题【分析】（I）由正弦定理，将已知等式的正弦转化成边，可得a（ab）+b2=c2，即a2+b2c2=ab再用余弦定理可以算出C的余弦值，从而得到角C的值；（II）将a2+b2=6（a+b）18化简
23、整理，得a=b=3，结合C=可得ABC是边长为3的等边三角形，由此不难用等边三角形的面积计算公式求出ABC的面积S【解答】解：（I）由题得a（sinAsinB）+bsinB=csinC，由正弦定理得a（ab）+b2=c2，即a2+b2c2=ab余弦定理得cosC=，C（0，），C=（II）a2+b2=6（a+b）18，（a3）2+（b3）2=0，从而a=b=3C=，ABC是边长为3的等边三角形，可得ABC的面积S=32=【点评】本题在ABC中给出边与角的正弦的等式，要我们求角的大小并且由此求三角形的面积，着重考查了正余弦定理和三角形面积公式等知识，属于基础题18已知函数f（x）=2sin（x+
24、）（0，）的部分图象如图所示（1）求函数f（x）的表达式； （2）求函数f（x）在，2上的最大值和最小值【考点】正弦函数的图象【专题】三角函数的图像与性质【分析】（1）首先，根据所给的图象，确定其周期，然后，代入相应的点即可得到相应的解析式；（2）结合（1）和所给的范围，利用三角函数的单调性，确定其最大值和最小值【解答】解：（1）根据题意，得T=（），T=，=，f（x）=2sin（x+），f（）=2，sin（+）=1，sin（+）=1，sin（+）=1，=，f（x）=2sin（x+），（2）x，2，x3，x+4+，函数f（x）在，2上的最大值，最小值2【点评】本题重点考查了三角函数的周期性、单
25、调性、最值问题，掌握三角函数的图象与性质是解题的关键，属于中档题19在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如表：分组频数1.30，1.34）41.34，1.38）251.38，1.42）301.42，1.46）291.46，1.50）101.50，1.54）2合计100（1）列出频率分布表，并画出频率分布直方图；（2）估计纤度落在1.38，1.50）中的概率及纤度小于1.40的概率是多少？（3）从频率分布直方图估计出纤度的众数、中位数和平均数【考点】极差、方差与标准差；频率分布直方图；众数、中位数、平均数【专题】综合题；概率与统计【分析】（1）根据
26、题意，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，进而可以做出频率分布表，结合分布表，进而可以做出频率分布直方图；（2）由频率分布表可得纤度落在1.38，1.42、1.42，1.46、1.46，1.50中的概率，将其相加1.38，1.50中的概率，由频率分布直方图可以估算纤度小于1.40的频数，由频率与频数的关系，计算可得纤度小于1.40的概率（3）根据众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标即得【解答】解：（1）根据题意，补充频率分布表可得：分组频数频率1.30，1.34）40.041.34，1.38）250.251.38，1.42）300.301.42，1.46）290.291.46，
27、1.50）100.101.50，1.54）20.02合计1001.00进而可以作频率直方图可得：（2）由频率分布表，可得纤度落在1.38，1.42中的概率为0.3，纤度落在1.42，1.46中的概率为0.29，纤度落在1.46，1.50中的概率为0.10，则纤度落在1.38，1.50中的概率约为0.30+0.29+0.10=0.69，由频率分布表可得，纤度小于1.40的频数约为4+25+30=44，则纤度小于1.40的概率约为0.44（3）众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，中间的两个矩形最高，所以众数是1.40，中位数：1.408，平均数：1.320.04+1.360.25+1
28、.400.30+1.440.29+1.480.10+1.520.02=1.4088【点评】本题考查频率分布直方图的作法与运用，关键是正确理解频率分布表、频率分步直方图的意义并运用20以下数据是浙江省某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间的对应关系，广告费支出x24568销售额y3040605070（1）画出数据对应的散点图，你从散点图中发现该种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有什么统计规律吗？（2）求y关于x的回归直线方程；（3）请你预测，当广告费支出为7（百万元）时，这种产品的销售额约为多少（百万元）？（参考数据：230+440+560+650+870=1380
29、）【考点】线性回归方程【专题】应用题【分析】（1）把所给的五组数据作为五个点的坐标描到直角坐标系中，得到散点图，（2）根据所给的数据先做出数据的平均数，即样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程（3）把所给的广告费支出为9百万元时，代入线性回归方程，做出对应的销售额，这是一个预报值，与真实值之间有一个误差【解答】解：（1）散点图如下：该产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间的统计规律：销售额与广告支出呈线性正相关等 （2）根据给出的参考公式，可得到b6.5，a17.5，于是得到y关于x的回归直线方程y=6.5x+17.5（3）当x=7时，由回归直线方程可求出
30、销售额约为63百万元【点评】本题考查求线性回归方程，是一个运算量比较大的问题，解题时注意平均数的运算不要出错，注意系数的求法，运算时要细心，不然会前功尽弃21已知数列an的前n项和Sn满足条件2Sn=3（an1），其中nN*（1）求证：数列an成等比数列；（2）设数列bn满足bn=log3an 若 cn=anbn，求数列cn的前n项和【考点】数列的求和；等比关系的确定【专题】综合题【分析】（1）利用递推公式可得an=3an1由可证数列an成等比数列（2）由（1）得 cn=anbn=n.3n，利用乘公比错位相减求和即可【解答】解：（1）由题得所以an=3an1故有又，解得a1=3，所以数列an成等比数列由（1）得an=3n，则bn=log3an=log33n=n故有 cn=anbn=n3n设Tn=131+232+333+（n1）3n1+n3n3Tn=132+233+334+（n1）3n+n3n+1则 所以【点评】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，错位相减求解数列的和，这是数列求和方法的难点所在
