1、第11讲 函数的图象【学习目标】熟练掌握基本初等函数的图象；掌握函数作图的基本方法(描点法和变换法)，会依据解析式迅速作出函数图象，会根据图象解决相关问题【基础检测】1函数 yx13的图象是()B【解析】当 x1 时，x13x，排除 C，D.当 0 xx，排除 A，故选 B.2当 a1 时，在同一坐标系中，函数 yax 与 ylogax 的图象是()A【解析】a1 时，01a1，函数 yax1ax的图象与 ylogax 的图象如图，再对照四个选项3已知定义在区间0，2上的函数 yf(x)的图象如图所示，则 yf(2x)的图象为()B【解析】特殊值法：当 x2 时，yf(x2)f(22)f(0)
2、0，故可排除 D 项；当 x1 时，yf(2x)f(21)f(1)1，故可排除 A，C项；所以由排除法知选 B.4函数 f(x)axb（x0），logcx19（x0）的图象如图所示，则 abc【解析】由图象可得直线的方程为 y2x2，又 ylogcx19 的图象过点(0，2)，c13，abc133.1335函数 f(x)ln x 的图象与函数 g(x)x24x4 的图象的交点个数为()A0 B1C2 D3C【解析】画出 f(x)与 g(x)的图象，可知有两个交点，故选 C.【知识要点】1基本初等函数(一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数)的图象 2作图方法：描点法，变换法(1)描点法
3、作图的基本步骤：求出函数的_找出_(图象与坐标轴的交点，最值点、极值点)和_(对称轴、渐近线)，并将关键点列表研究函数的基本性质(_)若具有奇偶性就只作右半平面的图象，然后作关于原点或 y轴的对称图形即可；若具有单调性，单调区间上只需取少量代表点；若具有周期性，则只作一个周期内的图象即可在直角坐标系中_成图定义域和值域关键点关键线奇偶性、单调性、周期性描点、连线(2)变换作图法常见的变换法：_、_和_，具体方法如下：()平移变换又包括左右平移变换(针对自变量)和上下平移变换(针对函数值整体)平移变换伸缩变换对称变换 3识图：通过对函数图象观察得到函数定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊点等4用图
4、：利用函数的图象可以讨论函数的性质，求最值，确定方程的解的个数，解不等式等数形结合，直观方便 一、作图例1作出下列函数的图象：(1)y|x2|(x1)；(2)y12|x|；(3)y|log2(x1)|；(4)y3x1x.【解 析】(1)先 化 简、再 作 图，y x2x2 （x2）x2x2（x2）；(2)研究函数奇偶性，y12|x|为偶函数；(3)先变换、后作图，ylog2x 的图象向左平移 1 个单位后，再将 x 轴下方的图象关于 x 轴翻折变换；(4)变形得 y1 2x1，先将 y1x的图象关于 x 轴翻折变换，得 y1x，再横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的 2 倍，得 y2x，最后向右
5、平移 1 个单位后，再向上平移 1 个单位，得 y1 2x1.(1)、(2)、(3)、(4)图象如下实线部分 【点评】1.作复合型函数图象的基本方法是通过研究函数的定义域、值域(方便情况下)、奇偶性、单调性，利用基本初等函数的图象通过适当的变换而作出 2本题先将函数化简，转化为作基本初等函数的图象的问题，再作函数的图象若为分段函数，则需分段作其图象作图象时要注意各段间的“触点”，同时也要注意利用函数的性质和图象的变换二、识图例2(1)在同一直角坐标系中，函数 yax2xa2与y a2x3 2ax2 x a(aR)的 图 象 不 可 能 的 是()A BB C D(2)函数 yx22sin x
6、的图象大致是()C【解析】(1)讨论字母的取值情况，确定函数的图象特征，再利用排除法求解 分两种情况讨论 当 a0 时，函数为 yx 与 yx，图象为 D，故 D 有可能 当 a0 时，函数 yax2xa2的对称轴为 x12a，对函数 ya2x32ax2xa，求导得 y3a2x24ax1(3ax1)(ax1)，令 y0，则 x1 13a，x21a.所以对称轴 x 12a介于两个极值点 x1 13a，x21a之间，A，C 满足，B 不满足，所以 B 是不可能的故选 B.(2)因为 yx22sinx 是奇函数，所以其图象关于原点对称，因此可排除 A.为求解本题，应先研究x22sinx，即 sinx
7、14x，在同一坐标系内作出 y1sinx 与 y214x 的图象，如图，可知，当 x0 时，y1sinx 与 y214x 只有一个交点，设其交点坐标为(x0，y0)，则当 x(0，x0)时，sinx14x，即 2sinx12x，此时，y12x2sinx0，也可以有f(x)1.设函数 f(x)(x22)(x1)，xR，若函数 yf(x)c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是()A(1，12，)B(2，1(1，2C(，2(1，2D2，1B(2)方程|x|cos x 在(，)内()A没有根B有且仅有一根C有且仅有两根D有无穷多个根C【解析】(1)f(x)x22，1x2，x1，x
8、2.f(x)的图象如图所示 函数 yf(x)c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，函数 yf(x)与 yc 的图象有两个交点，由图象，可得2c1 或10log3（x），x0 且 a1，当 x(1，1)时，不等式 x2ax12恒成立，则 a 的取值范围是412，1(1，2【解析】(1)函数 yf(x)g(x)的零点个数即为函数 yf(x)与 yg(x)的交点的个数由题意知，函数f(x)的周期为 2，且为偶函数，函数 g(x)为偶函数，两函数图象如图所示，观察可得交点的个数为 4.(2)不等式 x2axx212，画出 y1ax，y2x212的图象由图可看出12a1 或 1a2.1函数图象是函数的另一
9、种表示形式，它是函数性质的具体体现，因此对基本初等函数的图象必须熟记2掌握好函数作图的两种方法：描点法和变换法，作图时要注意定义域，并化简解析式3变换法作图时，应先选定一个基本函数，通过变换，找出所求的图象和这个基本函数图象间的关系，再分步画出图形4在图象变换中，写函数解析式时也要分步进行，每经过一个变换，对应一个函数解析式5合理处理好识图题：对于给定的函数图象，要从图象的左右、上下范围，端点、特殊点情况，以及图象所反映出的定义域、值域、极值、单调性、奇偶性、对称性、周期性等函数性质多方面进行观察分析，结合题设条件进行合理解答6充分用好图：数形结合是重要的数学思想方法，函数图象形象地显示了函数
10、性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性它是探求解题途径，快速获取结果的重要工具，特别是对解答填空题、选择题，方程根的个数等方面很有效因此，一定要注意数形结合，及时作出图象，借用图象帮助解题(2014 浙江)在同一直角坐标系中，函数 f(x)xa(x0)，g(x)logax 的图象可能是()D【解析】方法一：分类讨论，再结合函数图象的特点用排除法求解 分 a0，0a1 两种情形讨论 当 a1 时，yxa 与 ylogax 均为增函数，但 yxa 递增较快，排除 C；当 0a1 时，yxa 为增函数，ylogax 为减函数，排除 A，由于 yxa 递增较慢，所以选 D.方法二：利用基本初等函数的
11、图象的性质进行排除 幂函数 f(x)xa 的图象不过(0，1)点，排除 A；B 项中由对数函数 f(x)logax 的图象知 0a1，而此时幂函数 f(x)xa 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故 C 错【点评】本题考查对数函数的图象与幂函数图象上升与下降与字母 a 的关系1在同一坐标系中画出函数 ylogax，yax，yxa 的图象，可能正确的是()【解析】当 a1 时，三个函数 ylogax，yax，yxa 均为增函数，则排除 B，C，又由直线 yxa 在 y 轴上的截距 a1 可得，仅 D 的图象正确，故选 D.D2已知函数 f(x)2x（1x0），x（0 x1），则下列图象错误的是(
12、)B【解析】先作 yf(x)的图象(如图)，yf(|x|)的图象由 yf(x)的图象删除 y 轴的左边部分，再作右边的部分关于 y 轴对称得到，故 B 错3已知函数 f(x)2x，x1，log12x，x1，则函数 yf(1x)的大致图象是()C【解 析】方 法 一：由 已 知 得 f(1 x)12x1，x0，log12（1x），x0，选 C.方法二：利用特殊值排除，选 C.4设 f(x)是函数 f(x)的导函数，yf(x)的图象如图所示，则 yf(x)的图象最有可能的是()C【解析】由图知，当 x0，yf(x)在(，0)上单调递增 当 0 x2 时，f(x)2 时，f(x)0，yf(x)在(2
13、，)上单调递增，故选 C.5若函数 yf(x)(xR)满足 f(x2)f(x)且x(1，1时，f(x)|x|，则函数 yf(x)的图象与 ylog5|x|的交点个数是()A4 个B5 个C8 个D10 个C6已知 x0 是函数 f(x)2x 11x的一个零点若 x1(1，x0)，x2(x0，)，则()Af(x1)0，f(x2)0 Bf(x1)0，f(x2)0Cf(x1)0，f(x2)0 Df(x1)0，f(x2)0B【解析】f(x)2x1x1，令 f(x)0，即 2x 1x1，在同一坐标系中画出函数 g(x)2x 及(x)1x1的图象，如图所示，两函数交点的横坐标为 x0，当 x(1，x0)时
14、，g(x)(x)，则 g(x)(x)(x)，则 g(x)(x)0，f(x1)0.故选 B.7已知直线 ymx 与函数 f(x)213x，x0，12x21，x0的图象恰好有 3 个不同的交点，则实数 m 的取值范围是(2，)【解析】作出函数 f(x)213x，x012x21，x0的图象，直线 ymx 与函数 y213x(x0)的图象有一个交点，故要使函数 ymx 与函数 f(x)的图象有三个交点，必须使直线 ymx 与函数 y12x21(x0)的图象有两个交点，即方程 mx12x21 在 x0 时有两个不相等的实数根，即方程x22mx20 的判别式 4m2420 且 2m0，解得m 2.故所求实
15、数 m 的取值范围是(2，)8(1)已知函数 yf(x)的定义域为 R，且当 xR 时，f(mx)f(mx)恒成立，求证：yf(x)的图象关于直线xm 对称；(2)若函数 ylog2|ax1|的图象的对称轴是 x2，求非零实数 a 的值【解析】(1)证明：设 P(x0，y0)是 yf(x)图象上任意一点，则 y0f(x0)，又 P 点关于直线 xm 的对称点为 P，则 P的坐标为(2mx0，y0)，由已知 f(xm)f(mx)，得 f(2mx0)fm(mx0)fm(mx0)f(x0)y0，则 P(2mx0，y0)在 yf(x)的图象上，故 yf(x)的图象关于直线 xm 对称(2)对定义域内的任意 x，有 f(2x)f(2x)恒成立，|a(2x)1|a(2x)1|恒成立，即|ax(2a1)|ax(2a1)|.又a0，2a10，得 a12.