1、河源正德中学2020级高二第一学期高二第一次段考数 学 试 卷命题人：廖辉玲 审题人：邹丽嫦一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分. 1已知集合，则（ ）A B C D2已知复数（为虚数单位），则的共轭复数是（ ）A B C D3下列函数中为奇函数的是（ ）Ay= cosx By=|x|+1 Cy=x3 D4已知圆，则过圆上一点的切线的方程为（ ）A B或 C D5如图，四面体-，是底面的重心，则（ ）A BC D6“”是“直线和直线垂直”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件7一束光线从点出发，经轴反射到圆上的最短距离为（ ）A6 B4 C D8
2、设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ）A B C D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分.9下列说法中，正确的是（ ）A直线在轴上的截距为B直线的倾斜角为C，三点共线D过点且在轴上的截距相等的直线的方程为10已知圆，点是圆上的动点，则下列说法正确的有（ ）A圆关于直线对称 B直线与的相交弦长为C的最大值为 D的最小值为11给出下列命题，其中正确的命题是（ ）A若，则是钝角B若为直线l的方向向量，则也是直线l的方向向量C若，则可知D在四面体中
3、，若，则12如图，正方体的棱长为1，点是棱上的一个动点（包含端点），则下列说法正确的是（ ）A存在点，使面B二面角的平面角大小为C的最小值是D到平面的距离最大值是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13直线与直线之间的距离是_.14设空间向量，若，则 _.15已知定义在上的奇函数，满足，当时，则的值为_.16已知曲线与直线yk(x2)4有两个交点，则实数k的取值范围是_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题10分）已知点，以为直径的圆记为圆.（1）求圆的方程；（2）若过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程.18（本小题12分）
4、为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史的了解，某班级开展党史知识竞赛活动，现把50名学生的成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）求的值并估计这次竞赛成绩的第75百分位数；（2）用分层抽样的方法从成绩在，两组学生中抽取5人进行培训，再从这5人中随机抽取2人参加校级党史知识竞赛，求这2人来自不同小组的概率.19.（本小题12分）如图，四棱锥的底面是矩形，平面，为的中点.（1）证明：平面平面.（2）若，求二面角的余弦值.20（本小题12分）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.（1）求角；（2）若，点D在边AC上，且，求BD的长.21（本小题12分）如图，在四棱锥中，为等
5、边三角形，平面平面，二面角的大小为.（1）求证：平面；（2）若，点为线段上的点，若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度.22（本小题12分）已知函数关于的不等式的解集为.（1）求实数的值；（2）求关于的不等式的解集；（3）若关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.高二第一次考试数学试题参考答案1C ，2D 3C 解：对于A，则，所以函数为偶函数，故A错误；对于B，则，所以函数为为偶函数，故B错误；对于C，则，所以函数为奇函数，故C正确；对于D，定义域为，所以函数不具有奇偶性，故D错误.4A 因为圆的圆心为，所以，所以切线的斜率，所以所求切线的方程为，即，5B 因为，所以，6 A
6、解：若直线和直线垂直，则，解得或，则“”是“直线和直线垂直”的充分非必要条件.7D 解：由题意，圆C的标准方程为， 所以圆C的圆心坐标为，半径，又点关于轴的对称点为，所以，所以，所求最短距离为.8.B 解：如图所示，点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，当平面时，三棱锥体积最大此时， , 点M为三角形ABC的中心 中，有 9BC对于A：直线在y轴上的截距为-3，故A错误；对于B：，所以直线的斜率为，则倾斜角，故B正确；对于C：由可得，所以，A、B、C三点共线，故C正确；对于D：过点且在x、y轴截距相等的直线的方程为或，故D错误.10ACD 圆的标准方程是，半径为，易得点在直线上，A正确；点到
7、直线的距离为，弦长为，B错；由得代入圆的方程整理得，所以的最大值是，C正确；，所以的最小值是，D正确11CD对于A，当时，若，但，不是钝角，所以A错；对于B，当时，不是直线的方向向量，所以B错；对于C，所以C对；对于D，如图，过P作平面ABD交平面于O点，连结CO交AB于M，连结AO交BC于N，连结BO交AC于T，PAPA同理为垂心，所以，从而，所以D对；12AC对于A，当与重合时，根据线面平行的判定，可得面，故正确；对于B，二面角就是二面角，其平面角大小为.故错；值为，故正确；对于D，当与重合时，垂直平面，此时点到面距离最大值为，故错.故选：AC.13 直线可化为：，由平行直线间距离公式可得
8、所求距离.14 因为空间向量，且，所以，即，可得，解得：，所以，则，所以152 因为 令,代入可得 即为周期为2的周期函数为定义在上的奇函数,则 ， 所以16.解：根据题意画出图形，如图所示：由题意可得：直线过，又曲线图象为以为圆心，2为半径的半圆，当直线与半圆相切，为切点时，圆心到直线的距离，即，解得：；当直线过点时，直线的斜率为，则直线与半圆有两个不同的交点时，实数的范围为17（1）；（2）或.（1）由，得的中点坐标为，即圆心坐标为，半径，3分圆的方程为4分（2） 由，可得弦心距为5分当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为2，所以满足题意;6分当直线的斜率存在时，设直线方程
9、为 即.7分圆心到直线的距离，解得，直线的方程为9分直线的方程为或.10分18（1）a=0.020，第75百分位数为；（2）.（1）由直方图得：，解得：，2分前四组频率之和，则第75百分位数在小组，4分第75百分位数为：；6分（2）来自小组的有3人记为，来自小组的有2人记为，从5人中随机抽取2人，基本事件为，共10个，8分这2人来自不同组的有，共6个，10分这2人来自不同小组的概率为.12分19（1）因为四边形是矩形，所以.因为平面，AD平面ABCD，所以，2分又，所以平面（证平面亦可）.4分因为平面，所以平面平面.5分（2）以为坐标原点，DA、DC、DP所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直
10、角坐标系，如图所示，则，所以，.7分设平面的法向量为，则，即令，得. 易知平面的一个法向量为，9分所以，11分由图可知二面角为钝角，故二面角的余弦值为.12分20（1）；（2）.（1），由正弦定理得1分 ，4分，.6分（2）设，则7分在中，.8分在中，在，10分+2：得，综上.12分21（1）在四棱锥中，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面；又平面，所以，所以为二面角的平面角，所以，2分又，所以. 又平面，平面，所以平面.4分（2）取的中点，连结，则，又，所以，又平面，平面，所以，所以，两两垂直.5分以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立如图的空间直角坐标系，则，则，6分设，所以7分设平面的法向量为，则，即，令，可得， 所以， 9分设直线与平面所成的角为，则，解得，11分所以的长为.12分22（1）因为关于的不等式的解集为，即不等式的解集为，所以，解得，所以，2分（2）由，得，即，即，故若，则；若，则不等式无解；若，则.所以当时，解集为，当时，不等式无解，当时，解集为7分（3）由（1）得方程可化为令则.故方程有两个不相等的正实数根，记两个正根是 解得，实数的取值范围是12分