1、 复习课(三)数系的扩充与复数的引入复数的概念(1)复数的概念是学习复数的基础，是考试的重要的考查内容之一，一般以选择题或填空题形式出现，难度较小(2)解答此类问题的关键是明确复数相关概念考点精要1复数是实数的充要条件(1)zabi(a，bR)Rb0.(2)zRz z.(3)zRz20.2复数是纯虚数的充要条件(1)zabi(a，bR)是纯虚数a0，且 b0.(2)z 是纯虚数z z 0(z0)(3)z 是纯虚数z20.3复数相等的充要条件abicdiac，bd(a，b，c，dR)典例 实数 k 分别为何值时，复数(1i)k2(35i)k2(23i)满足下列条件？(1)是实数；(2)是虚数；(
2、3)是纯虚数；(4)是 0.解(1i)k2(35i)k2(23i)(k23k4)(k25k6)i.(1)当 k25k60，即 k6 或 k1 时，该复数为实数(2)当 k25k60，即 k6 且 k1 时，该复数为虚数(3)当k25k60，k23k40，即 k4 时，该复数为纯虚数(4)当k23k40，k25k60，即 k1 时，该复数为 0.类题通法处理复数概念问题的两个注意点(1)当复数不是 abi(a，bR)的形式时，要通过变形化为 abi 的形式，以便确定其实部和虚部(2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根题组训练1若复数 z1i(i 为虚数单位)，z 是 z
3、的共轭复数，则 z2 z2的虚部为()A0 B1C1 D2解析：选 A 因为 z1i，所以 z 1i，所以 z2 z 2(1i)2(1i)22i(2i)0.故选 A.2复数 zlog3(x23x3)ilog2(x3)，当 x 为何实数时，(1)zR；(2)z 为虚数；(3)z 为纯虚数解：(1)一个复数是实数的充要条件是虚部为 0，x23x30，log2(x3)0，x30.由，得 x4，经验证满足式当 x4 时，zR.(2)一个复数是虚数的充要条件是虚部不等于 0，x23x30，log2(x3)0，x30，解得x3 212或x3 212，x3且x4，即3 212x4 或 x4 时，z 为虚数(
4、3)一个复数是纯虚数的充要条件是其实部为 0 且虚部不为 0，log3(x23x3)0，log2(x3)0，x23x30，x30，解得x1或x4，x3且x4，方程组无解复数 z 不可能是纯虚数.复数加、减法的几何意义(1)复数运算与复数几何意义的综合是高考常见的考查题型，以选择题或填空题形式考查，难度较小(2)解答此类问题的关键是利用复数运算将复数化为代数形式，再利用复数的几何意义解题考点精要1复数的几何意义(1)复数 zabi(a，bR)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi)；(2)复数 zabi(a，bR)的对应向量OZ 是以原点 O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与
5、OZ 相等的向量有无数个2复数的模(1)复数 zabi(a，bR)的模|z|a2b2；(2)从几何意义上理解，复数 z 的模表示复数 z 对应的点 z 和原点间的距离典例(1)若复数(ai)2 的对应点在 y 轴负半轴上，则实数 a 的值是()A1 B1C 2D.2(2)复数 zm2i12i(mR，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析(1)因为(ai)2a212ai，又复数(ai)2 的对应点在 y 轴负半轴上，所以a210，2a0，2(m1)0.得m4，m1.此时无解故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限答案(1)A(2)A类题通法
6、在复平面内确定复数对应点的步骤(1)由复数确定有序实数对，即 zabi(a，bR)确定有序实数对(a，b)(2)由有序实数对(a，b)确定复平面内的点 Z(a，b)题组训练1(全国卷)设(1i)x1yi，其中 x，y 是实数，则|xyi|()A1 B.2C.3D2解析：选 B(1i)x1yi，xxi1yi.又x，yR，x1，y1.|xyi|1i|2，故选 B.2若复数(6k2)(k24)i 所对应的点在第三象限，则实数 k 的取值范围是_解析：由已知得6k20，4k26.6k2 或 2k0，m10，即3m1.故实数 m 的取值范围为(3,1)6设 z 是复数，则下列命题中的假命题是()A若 z
7、20，则 z 是实数B若 z20，则 z 是虚数C若 z 是虚数，则 z20D若 z 是纯虚数，则 z20解析：选 C 设 zabi(a，bR)，选项 A，z2(abi)2a2b22abi0，则ab0，a2b2，故 b0 或 a，b 都为 0，即 z 为实数，正确选项 B，z2(abi)2a2b22abi0，则ab0，a2b2，则a0，b0，故 z 一定为虚数，正确选项 C，若 z 为虚数，则 b0，z2(abi)2a2b22abi，由于 a 的值不确定，故 z2无法与 0 比较大小，错误选项 D，若 z 为纯虚数，则a0，b0，则 z2b2f(1)Cf(1)f(1).11若不等式 2xln
8、xx2ax3 对 x(0，)恒成立，则实数 a 的取值范围是()A(，0)B(，4C(0，)D4，)解析：选 B 由 2xln xx2ax3，得 a2ln xx3x，设 h(x)2ln xx3x(x0)，则 h(x)(x3)(x1)x2.当 x(0,1)时，h(x)0，函数 h(x)单调递减；当 x(1，)时，h(x)0，函数 h(x)单调递增，所以 h(x)minh(1)4.所以 ah(x)min4.故 a 的取值范围是(，412定义在 R 上的函数 f(x)满足：f(x)f(x)恒成立，若 x1x2，则 ex1f(x2)与 ex2f(x1)的大小关系为()Aex1f(x2)ex2f(x1)
9、Bex1f(x2)ex2(x1)Cex1f(x2)ex2f(x1)Dex1f(x2)与 ex2f(x1)的大小关系不确定解析：选 A 设 g(x)f(x)ex，则 g(x)f(x)exf(x)(ex)(ex)2f(x)f(x)ex，由题意 g(x)0，所以 g(x)单调递增，当 x1x2 时，g(x1)g(x2)，即f(x1)ex1 f(x2)ex2，所以 ex1f(x2)ex2f(x1)二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把正确答案填在题中横线上)13设 z(2i)2(i 为虚数单位)，则复数 z 的模为_解析：z(2i)234i，所以|z|34i|32(4)25.
10、答案：514(天津高考)已知函数 f(x)axln x，x(0，)，其中 a 为实数，f(x)为 f(x)的导函数若 f(1)3，则 a 的值为_解析：f(x)aln xx1x a(1ln x)由于 f(1)a(1ln 1)a，又 f(1)3，所以 a3.答案：315某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品，若该商品零售价为 p 元，销量 Q(单位：件)与零售价 p(单位：元)有如下关系：Q8 300170pp2，则该商品零售价定为_元时利润最大，利润的最大值为_元解析：设商场销售该商品所获利润为 y 元，则y(p20)(8 300170pp2)p3150p211 700p166 000(
11、p20)，则 y3p2300p11 700.令 y0 得 p2100p3 9000，解得 p30 或 p130(舍去)则 p，y，y变化关系如下表：p(20,30)30(30，)y0y极大值故当 p30 时，y 取极大值为 23 000 元又 yp3150p211 700p166 000 在20，)上只有一个极值，故也是最值所以该商品零售价定为每件 30 元，所获利润最大为 23 000 元答案：30 23 00016两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类下图中实心点的个数 5,9,14,20，被
12、称为梯形数根据图形的构成，记第 2 016 个梯形数为 a2 016，则 a2 016_.解析：523a1,9234a2,142345a3，an23(n2)(n1)(2n2)212(n1)(n4)，由此可得 a2 0162342 018122 0172 0202 0171 010.答案：2 0171 010三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)已知 abc，求证：1ab 1bc 4ac.证明：已知 abc，因为acabacbcabbcababbcbc2bcababbc22bcababbc4，所以acabacbc4
13、，即 1ab 1bc 4ac.18(本小题满分 12 分)设函数 f(x)13x3x2(m21)x(xR)，其中 m0.(1)当 m1 时，求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率；(2)求函数 f(x)的单调区间与极值解：(1)当 m1 时，f(x)13x3x2，f(x)x22x，故 f(1)1.所以曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为 1.(2)f(x)x22xm21.令 f(x)0，解得 x1m 或 x1m.因为 m0，所以 1m1m.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1m)1m(1m，1m)1m(1m，)f(x)00f(x)极小值极大值所
14、以 f(x)在(，1m)，(1m，)内是减函数，在(1m,1m)内是增函数函数 f(x)在 x1m 处取得极小值 f(1m)，且 f(1m)23m3m213.函数 f(x)在 x1m 处取得极大值 f(1m)，且 f(1m)23m3m213.19(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)ln xa(1x)(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a2 时，求 a 的取值范围解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)1xa.若 a0，则 f(x)0，所以 f(x)在(0，)上单调递增若 a0，则当 x0，1a 时，f(x)0；当 x1a，时，f(x)0 时，f
15、(x)在 x1a处取得最大值，最大值为f 1a ln1aa11a ln aa1.因此 f 1a 2a2 等价于 ln aa10.令 g(a)ln aa1，则 g(a)在(0，)上单调递增，g(1)0.于是，当 0a1 时，g(a)1 时，g(a)0.因此 a 的取值范围是(0,1)20(本小题满分 12 分)已知数列an的前 n 项和 Sn满足：Snan2 1an1，且 an0，nN*.(1)求 a1，a2，a3；(2)猜想an的通项公式，并用数学归纳法证明解：(1)a1S1a12 1a11，所以 a11 3.又因为 an0，所以 a1 31.S2a1a2a22 1a21，所以 a2 5 3.
16、S3a1a2a3a32 1a31，所以 a3 7 5.(2)由(1)猜想 an 2n1 2n1，nN*.下面用数学归纳法加以证明：当 n1 时，由(1)知 a1 31 成立假设 nk(kN*)时，ak 2k1 2k1成立当 nk1 时，ak1Sk1Skak12 1ak11 ak2 1ak1ak12 1ak1 2k1，所以 a2k12 2k1ak120，所以 ak1 2(k1)1 2(k1)1，即当 nk1 时猜想也成立综上可知，猜想对一切 nN*都成立21(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)ax3cxd(a0)是 R 上的奇函数，当 x1 时，f(x)取得极值2.(1)求 f(x)的单调
17、区间和极大值；(2)证明对任意 x1，x2(1,1)，不等式|f(x1)f(x2)|0，故 f(x)在区间(，1)上是增函数；当 x(1,1)时，f(x)0，故 f(x)在区间(1，)上是增函数f(x)在 x1 处取得极大值，极大值为 f(1)2.(2)证明：由(1)知，f(x)x33x(x1,1)是减函数，且 f(x)在1,1上的最大值 Mf(1)2，f(x)在1,1上的最小值 mf(1)2.对任意的 x1，x2(1,1)，恒有|f(x1)f(x2)|Mm2(2)4.22(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)ex2x23x.(1)求证：函数 f(x)在区间0,1上存在唯一的极值点(2)当
18、 x12时，若关于 x 的不等式 f(x)52x2(a3)x1 恒成立，试求实数 a 的取值范围解：(1)证明：f(x)ex4x3，f(0)e0320，f(0)f(1)0，f(x)在区间0,1上单调递增，f(x)在区间0,1上存在唯一零点，f(x)在区间0,1上存在唯一的极小值点(2)由 f(x)52x2(a3)x1，得 ex2x23x52x2(a3)x1，即 axex12x21，x12，aex12x21x.令 g(x)ex12x21x，则 g(x)ex(x1)12x21x2.令(x)ex(x1)12x21，则(x)x(ex1)x12，(x)0.(x)在12，上单调递增(x)12 7812 e0.因此 g(x)0，故 g(x)在12，上单调递增，则 g(x)g 12 e12181122 e94，a 的取值范围是，2 e94.