1、2016新课标名师导学新高考第一轮总复习同步测试卷理科数学(九)(等差、等比数列的概念、性质及应用)时间：60分钟 总分：100分【解析】内角 A、B、C 依次成等差数列，B60，a 和 c 是x26x80 的两根，a2，c4，SABC12acsin B1224 32 2 3，故选 C.一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30分每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在ABC 中，三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.若内角 A、B、C 依次成等差数列，且 a和 c 是x26x80 的两根，则 SABC()A4 3B3 3C2 3D.3C【解析】a4a8
2、32，a4a82，a40，a6a4q20，又 a26a4a82，a6 2，故选 C.2在等比数列an 中，若 a4，a8 是方程 x23x20 的两根，则 a6 的值是()A 2B 2C.2D2C【解析】设公差为 d，则 an1and，an1and，由 an1a2nan10(n2)可得 2ana2n0，解得an2(零解舍去)，故S2n14n2(2n1)4n2，故选 A.3在各项均不为零的等差数列an 中，若 an1a2nan10n2，则 S2n14n 等于()A2 B0 C1 D2A【解 析】a9S8 a8S9 a1q8 a1（1q8）1qa1q7a1（1q9）1q a21q71q(qq9)(
3、1q9)a21q71q(q1)a21q70 故 a9S8a8S9，选 A.4已知等比数列an的公比 qa8S9Ba9S84mnmn 4，故只有 D 符合5已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 Snnm，Smmn(m，nN*且 mn)，则下列各值中可以为 Snm的值的是()A2 B3 C4 D5D【解析】依题意可得 bn1qbn，则数列bn 为等比数列又 b1b2b3b99299b9950，则 b502.b8b922 b8b922b504，当且仅当 b8b92，即该数列为常数列时取等号6若数列an 满足 1an1 pan0，nN*，p 为非零常数，则称数列an 为“梦想数列”已知正项数列1
4、bn为“梦想数列”，且 b1b2b3b99299，则 b8b92 的最小值是()A2 B4 C6 D8B【解析】设 ana1qn1，代入 4a24a1a3，解得q2，则 an2n1，nN*.二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分，将各小题的结果填在题中横线上)7在等比数列an 中，a11，且 4a1，2a2，a3 成等差数列，则通项公式 an_2n1【解析】由 Sn12Sn1 得 Sn112Sn1，所以数列Sn1 是以 S11a113 为首项，2为公比的等比数列，所以 Sn32n11，所以 anSnSn132n2(n2)故 an2，n132n2，n2.8已知数列an 的首项
5、 a12，其前 n 项和为 Sn，若 Sn12Sn1，则 an_2，n132n2，n29对于 Ea1，a2，a100的子集 Xai1，ai2，aik，定义 X 的“特征数列”为 x1，x2，x100，其中xi1xi2xik1.其余项均为 0，例如子集a2，a3的“特征数列”为 0，1，1，0，0，0.(1)子集a1，a3，a5的“特征数列”的前 3 项和等于_；(2)若 E 的子集 P 的“特征数列”p1，p2，p100 满足 p11，pipi11，1i99；E 的子集 Q 的“特征数列”q1，q2，q100 满足 q11，qjqj1qj21，1j98，则 PQ 的元素个数为_217【解析】(
6、1)子集a1，a3，a5的“特征数列”的前三项是 1，0，1，故和为 2.(2)根据题设条件，子集 P 的“特征数列”是 1，0，1，0，1，0，1，0，1，0，1，0，1，子集 Q 的“特征数列”是 1，0，0，1，0，0，1，0，0，1，0，0，1，发现 p1q11，p7q71，p6i5q6i51 于是令 6n597，得 n17，所以 PQ 的元素个数为 17.1210已知 f(x)是定义在 R 上不恒为零的函数，且对任意实数 a，b，恒有 f(ab)af(b)bf(a)，f(2)2.则 f12_；令 anf12nn(nN*)，则 an 关于 n 的表达式为_an12n【解析】令 ab1，
7、得 f(1)0.从而 f(1)f2122f12 12f(2)2f12 10，故 f12 12，当 ab0 时，f（ab）abf（a）af（b）b，令 g(x)f（x）x，即 f(x)xg(x)，从而 g(ab)g(a)g(b)当nN*时，g(an)ng(a)，则f(an)ang(an)nang(a)nan1ag(a)nan1f(a)，所以f（an）nan1f(a)，则 anf12nn 12n1f12 12n.三、解答题(本大题共 3 小题，共 50 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)11(16 分)已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn13(an1)(1)求 a1，a2 及 a3
8、；(2)证明：数列an是等比数列，并求 an.【解析】(1)由 a113(a11)，3a1a11.a112.又 a1a213(a21)，a214，同理 a318 a112，a214，a318.(2)当 n2 时，anSnSn113(an1)13(an11)13an13an1 anan112，故 n2 时，an12n，当 n1 时，a112112满足上式，an是等比数列，an12n，nN*.12(16 分)已知等差数列an 中，a3a415，a2a554，公差 d0，且数列bn 满足 bn211an.(1)求证：数列bn 是等比数列；(2)已知 Sn是数列an 的前 n 项之和，Tm是数列bn
9、的前 m 项之和，若Snann的最大值恒大于 Tm，求符合条件的 m 值【解析】(1)an为等差数列，a2a5a3a4，a2a515，a2a554，解得a26，a59，(因 d0，舍去)或a29，a56，d1，a110.an11n.bn2n，bn1bn 2n12n 2，所以数列bn是等比数列 na112(2)a110，an11n；b12，bn211an2n，Sn12n2212 n，Tm2m12.Snann12n2212 n（11n）n12n22n 232.f(x)x22x，f(x)122x20，知 f(x)在(0，22)上单减，在(22，)上单增，又 4 22f(5)925.当 n5 时，Sn
10、ann取最大值为12475 232 345.又Snann的最大值恒大于 Tm，345 2m12，此时m 值取 1，2.13(18 分)已知函数 f(x)ln xcos x6 92 x的导数为 f(x)，且数列 an 满足 an1annf6 3(nN*).(1)若数列an 是等差数列，求 a1 的值；(2)当 a12 时，求数列an 的前 n 项和 Sn；(3)若对任意 nN*，都有a2na2n1anan14 成立，求 a1的取值范围【解析】(1)若数列an是等差数列，则 ana1(n1)d，an1a1nd.由 an1an4n3 得(a1nd)a1(n1)d4n3，解得：d2，a152.(2)由
11、 an1an4n3(nN*)，得 an2an14n7，两式相减，得 an2an4 故数列a2n1 是首项为 a1，公差为 4 的等差数列 数列a2n 是首项为 a2，公差为 4 的等差数列，由 a2a17，a12，得 a25，所以 an2n，n为奇数，2n1，n为偶数.当 n 为奇数时，an2n，an12n3.Sn(a1a2)(a3a4)(an2an1)an 715(4n5)2nn12（4n57）22n2n23n12 当 n 为偶数时，Sna1a2a3an(a1a2)(a3a4)(an1an)715(4n1)2n23n2.(3)由(2)知，an2n2a1，n为奇数2n3a1，n为偶数 当 n 为奇数时，an2n2a1，an12n5a1.由a2na2n1anan14 得 2a2114a18n24n17.令 f(n)8n24n178n142332，f(n)maxf(1)21，2a2114a121.解得 a7 72或 a7 72.当 n 为偶数时，an2n3a1，an12na1.由a2na2n1anan14 得 2a216a18n24n3.令 g(n)8n24n38n14272，g(n)maxg(2)21，2a216a121，解得 a1R 综上，a1 的取值范围是，7 727 72，.