1、第一章预 备 知 识1集合11集合的概念与表示第1课时集合的概念1漂亮的花可以组成集合()2由方程x240和x20的根组成的集合中有3个元素()3元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合是相等的()4“”可以用来表示元素与集合之间或集合与集合之间的关系()5因为正整数都是整数，所以N*Z.()【解析】1.提示：.“漂亮的花”具有不确定性，故不能组成集合2提示：.由于集合中的元素具有互异性，故由两方程的根组成的集合中有2个元素3提示：.集合中的元素具有无序性，所以元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合是同一集合4提示：.“”是表示元素与集合之间关系的，不能用来表示集合与集合之间关系5提示：.“
2、”是表示元素与集合之间关系的，所以N*Z不正确题组一集合与元素的含义1下列给出的对象中能构成集合的是()A著名物理家 B很大的数C聪明的人 D小于3的实数【解析】选D.只有选项D有明确的标准，能构成一个集合2下列各组对象可以构成集合的是()A数学必修第一册课本中所有的难题B小于8的所有素数C直角坐标平面内第一象限的一些点D所有小的正数【解析】选B.A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集合3下列所给对象能构成集合的是()A高一4班
3、成绩好的学生B比较接近2的全体正数C未来世界的高科技产品D所有整数【解析】选D.选项A，B，C的对象都具有不确定性，所以它们的对象不能构成集合；而选项D的对象具有确定性，能构成集合题组二集合中元素的三特征1若集合M中的元素是ABC的三边长a，b，c，则ABC一定不是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰三角形【解析】选D.集合M中的元素是ABC的三边长a，b，c，所以由集合元素的互异性可得ab，ac，bc，所以ABC一定不是等腰三角形2(多选)由实数x，x，组成的集合中，元素的个数可能为()A1个 B2个C3个 D4个【解析】选AB.当x0时，x|x|0，x0，此时集合共有2个元素
4、；当x0时，x|x|x0，此时集合共有1个元素；当x0，x0，此时集合共有2个元素；综上所述，此集合有1个或2个元素3已知1，x，x2三个实数构成一个集合，x满足的条件是()Ax0 Bx1Cx1 Dx0且x1【解析】选D.根据集合中元素的互异性，得解得x0且x1.4已知集合P中的元素x满足：xN，且2xa，又集合P中恰有三个元素，则整数a_【解析】因为集合P中恰有三个不同元素，且元素x满足xN，且2xa，则满足条件的x的值为3，4，5，所以整数a的值是6.答案：6题组三元素与集合的关系1若集合A中的元素满足x1，314，所以3A，3A.2下列说法正确的是()AN中最小的数是1B若a为整数且aN
5、*，则aN*C若aN*，bN*，则ab的最小值是2Dx244x的实数解组成的集合中含有2个元素【解析】选C.N是非负整数集，最小的非负整数是0，故A错误；当a0时，aN*，且aN*，故B错误；若aN*，则a的最小值是1，又bN*，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，ab取最小值2，故C正确；x244x的实数解为x2，故实数解组成的集合中含有1个元素，D错误3已知集合A中的元素x满足x2，若aA，则实数a的取值范围是_【解析】由题意a不满足不等式x2，即a2.答案：a24若集合A由所有形如3ab(aZ，bZ)的数组成，则62_A(填写“”或“”).【解析】因为2Z且2Z，所以623(2)2是
6、形如3ab(aZ，bZ)的数，即62是集合A中的元素答案：5给出下列关系：(1)R；(2)Q；(3)3Z；(4)N，其中正确的是_(填序号)【解析】是实数，(1)正确；是无理数，(2)错误；3是整数，(3)错误；是无理数，(4)正确答案：(1)(4)易错点一判断集合中元素个数时忽略集合的互异性出错根据集合的特性完成下列填空(1)2，这些数组成的集合有_个元素；(2)方程(x3)(x1)20的解组成的集合有_个元素【解析】(1)因为，所以这个集合有3个元素答案：3(2)方程(x3)(x1)20的解是x13，x2x31，因此这个集合只有3，1两个元素答案：2【易错误区】集合的互异性是指集合中元素各
7、不相同，在写集合中的元素时，易忽略集合的互异性而使得集合中的元素数增多易错点二求集合中参数值时忽略集合的互异性出错已知集合A是由a2，2a25a，12三个元素组成的，且3A，则实数a_【解析】由3A，可得3a2或32a25a，所以a1或a.当a1时，a23，2a25a3，不符合集合中元素的互异性，故a1应舍去当a时，a2，2a25a3，符合集合中元素的互异性，所以a.答案：【易错误区】利用集合中元素的互异性求参数的值时，根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验，同时要注意分类讨论思想的应用一、选择题(每小题5分，共30分)1下列几组对象可
8、以构成集合的是()A充分接近的实数的全体B善良的人C世界著名的科学家D某单位所有身高在1.7 m以上的人【解析】选D.A，B，C所描述的对象没有一个明确的标准，故不能构成一个集合，选项D的标准唯一，故能组成集合2(多选题)下列表示正确的是()A0N BZCQ DR【解析】选AD.对于A，0是自然数，所以0N，故A正确；对于B，不是整数，所以Z，故B错误；对于C，是无理数，所以Q，故C错误；对于D，是实数，所以R，故D正确3以数集A中的四个元素a，b，c，d为边长的四边形可能是()A平行四边形 B矩形C菱形 D梯形【解析】选D.由集合中元素的互异性得：a，b，c，d都不相等，所以以a，b，c，d
9、为边长的四边形可能是梯形4已知集合M是方程x2xm0的解组成的集合，若2M，则下列判断正确的是()A1M B0MC1M D2M【解析】选C.由2M，知2为方程x2xm0的一个解，所以222m0，解得m2.所以方程为x2x20，解得x11，x22.故方程的另一根为1.5设集合A含有2，1两个元素，B含有1，2两个元素，定义集合AB，满足x1A，x2B，且x1x2AB，则AB中所有元素之积为()A8 B16 C8 D16【解析】选C.因为集合A含有2，1两个元素，B含有1，2两个元素，由题意得，集合AB中所有元素是2，4，1，它们的积为：2(4)(1)8.6下列各组中集合P与Q表示同一个集合的是(
10、)AP是由元素1，构成的集合，Q是由元素，1，|构成的集合BP是由构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合CP是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合DP是满足不等式1x1的自然数构成的集合，Q是方程x21的解集【解析】选A.由于A中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B，C，D中P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合二、填空题(每小题5分，共20分)7设集合A是由1，k2为元素构成的集合，则实数k的取值范围是_【解析】因为1A，k2A，结合集合中元素的互异性可知k21，解得k1.答案：k18(练拓展)式子的所有可能取值组成的集合中的元素和为_【解析
11、】因为分母中|有意义，所以b0时，2，当a，所以2B；因为(1)23232411，所以1，所以1B.答案：(2)因为n是正整数，所以n213，所以3C；当n2时，n215，所以5C.答案：(3)因为集合D中的元素是有序实数对(x，y)，1是数，所以1D；又(1)21，所以(1，1)D.答案：10已知数集A满足条件：若aA，则A(a1)，如果a2，则A中的元素有_【解析】根据题意，由2A可知，1A；由1A可知，A；由A可知，2A.故集合A中共有3个元素，它们分别是1，2.答案：1，2三、解答题11(10分)由三个数a，1组成的集合与由a2，ab，0组成的集合是同一个集合，求a2 021b2 02
12、1的值【解析】由a，1组成一个集合，可知a0，a1，由题意可得或解得或(不满足集合元素的互异性，舍去).所以a2 021b2 0212 02102 0211.【变式备选】 设A是由满足不等式x6的自然数构成的集合，若aA且3aA，求a的值【解析】因为aA且3aA，所以解得a2.又aN，所以a0或1.已知M是满足下列条件的集合：0M，1M，若x，yM，则xyM，若xM且x0，则M.(1)判断M是否正确，说明理由；(2)证明：若x，yM，则xyM；(3)证明：若x，yM，则xyM.【解析】(1)M正确证明如下：由知0M，1M，由可得011M，所以1(1)2M，2(1)3M，由得M.(2)由知0M，由题知yM，所以由可得0yyM，又因为xM，所以x(y)M，即xyM.(3)xM，yM，由可得x1M，再由可得M，M，所以M，即M，所以xM，即xx2M，所以x2M，即当xM，x2M，由(2)可知，当x，yM，xyM，所以M，所以M，所以当x，yM，可得x2，y2，M，所以xyM.