1、2016-2017学年山东省东营市利津一中高二（上）1月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1命题：“x1，+），x3+2x0”的否定是（）Ax（，0），x3+2x0Bx0，+），x3+2x0Cx（，0），x3+2x0Dx0，+），x3+2x02已知a，b为非零实数，且ab，则下列结论一定成立的是（）Aa3b3Ba2b2CDac2bc23“x0”是“0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4已知等差数列an的公差为1，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）AB4C6D
2、35在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足bcosC=a，则ABC的形状是（）A等边三角形B锐角三角形C直角三角形D钝角三角形6已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：3x2y+3=0，且双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线方程为（）A=1B=1C=1D=17已知四面体ABCD， =， =， =，点M在棱DA上， =3，N为BC中点，则=（）AB +C+D 8我国古代数学巨著九章算术中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分
3、别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第4天所织布的尺数为”（）ABCD9对任意实数x，若不等式4xm2x+20恒成立，则实数m的取值范围是（）A2m2B2m2Cm2D2m210设实数x，y满足条件，则z=y2x的最小值为（）A5BC2D111已知x0，y0，且x+y+xy=1，则xy的最大值为（）A1+B1C42D3212抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足AFB=120过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）AB1CD2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率e
4、=，则实数m=14在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若b，c，a成等比数列，且a=b，则cosA=15过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A、B两点，若A到抛物线的准线的距离为5，则|AB|=16给出下列四个命题：命题“若=，则tan=”的否命题是“若，则tan”；在ABC中，“AB”是“sinAsinB的充分不必要条件”；定义：为n个数p1，p2，pn的“均倒数”，已知数列an的前n项的“均倒数”为，则数列an的通项公式为an=2n+1；在ABC中，BC=，AC=，AB边上的中线长为，则AB=2以上命题正确的为（写出所有正确的序号）三、解答题（本大题共6小题，共
5、70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知向量=（x，2，2），=（2，y，2），=（3，1，z），（1）求向量，；（2）求向量（+）与（+）所成角的余弦值18在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=1（）求C；（）若c=，b=，求B及ABC的面积19已知p：方程方程 +=1表示焦点在y轴上的椭圆；q：实数m满足m2（2a+1）m+a2+a0且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围20如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD是正方形，AB=PA=1，E为侧棱PA上的点， =（01）（）证明：BDCE；（）当=时，求两面角ACED的余弦值21已
6、知数列an是等差数列，其前n项和为Sn，且满足a1+a5=12，S4=20；数列bn满足：b1+3b2+32b3+3n1bn=，（nN*）（1）求数列an，bn的通项公式；（2）设cn=anbn+，求数列cn的前n项和Tn22已知椭圆E： +=1（ab0）经过点（0，），离心率为，点O为坐标原点（）求椭圆E的标准方程；（）过左焦点F任作一直线l，交椭圆E于P、Q两点 （i）求的取值范围； （ii）若直线l不垂直于坐标轴，记弦PQ的中点为M，过F作PQ的垂线FN交直线OM于点N，证明：点N在一条定直线上2016-2017学年山东省东营市利津一中高二（上）1月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析
7、一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1命题：“x1，+），x3+2x0”的否定是（）Ax（，0），x3+2x0Bx0，+），x3+2x0Cx（，0），x3+2x0Dx0，+），x3+2x0【考点】命题的否定【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即x0，+），x3+2x0，故选：D2已知a，b为非零实数，且ab，则下列结论一定成立的是（）Aa3b3Ba2b2CDac2bc2【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据幂函数的单调性，可判断A；举出反例a=1，b=1可判断
8、B，C；举出反例c=0，可判断D【解答】解：函数y=x3在R上为增函数，若ab，则a3b3，故A正确；当a=1，b=1时，ab，但a2=b2，故B错误；当a=1，b=1时，ab，但，故C错误；当c=0，ab时，ac2=bc2，故D错误；故选：A3“x0”是“0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由0x（x+1）0，解得x0，或x1即可判断出结论【解答】解：由0x（x+1）0，解得x0，或x1“x0”是“0”的充分不必要条件故选：A4已知等差数列an的公差为1，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）AB4C
9、6D3【考点】等差数列的通项公式【分析】由已知结合等差数列的性质列式求出首项，进一步得到a2 【解答】解：由题意，a3=a1+2，a4=a1+3，a1，a3，a4成等比数列，即，解得a1=4a2=a1+1=3故选：D5在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足bcosC=a，则ABC的形状是（）A等边三角形B锐角三角形C直角三角形D钝角三角形【考点】正弦定理；余弦定理【分析】已知等式利用余弦定理化简，整理可得：a2+c2=b2，利用勾股定理即可判断出ABC的形状【解答】解：在ABC中，bcosC=a，由余弦定理可得：cosC=，整理可得：a2+c2=b2，利用勾股定理可得ABC的
10、形状是直角三角形故选：C6已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：3x2y+3=0，且双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线方程为（）A=1B=1C=1D=1【考点】双曲线的简单性质【分析】根据渐近线的方程和焦点坐标，利用a、b、c的关系和条件列出方程求出a2、b2，代入双曲线的方程即可【解答】解：由题意得，解得a2=4，b2=9，双曲线的方程是=1，故选：C7已知四面体ABCD， =， =， =，点M在棱DA上， =3，N为BC中点，则=（）AB +C+D 【考点】空间向量的数乘运算【分析】根据题意，利用空间向量的线性表示与运算，用、与表示出即可【解答】解：连接DN，如图所示，四
11、面体ABCD中， =， =， =，点M在棱DA上，且=3，=，又N为BC中点，=（+）；=+=+（+）=+故选：C8我国古代数学巨著九章算术中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第4天所织布的尺数为”（）ABCD【考点】等比数列的通项公式【分析】由题意可得每天的织布数量构成公比为2的等比数列，由等比数列的求和公式可得首项，进而由通项公式可得【解答】解：设该女第n天织布为an尺，且数列为公比q=2的等比数列，
12、则由题意可得=5，解得a1=，故该女子第4天所织布的尺数为a4=a1q3=，故选：D9对任意实数x，若不等式4xm2x+20恒成立，则实数m的取值范围是（）A2m2B2m2Cm2D2m2【考点】函数恒成立问题【分析】设2x=t，t0，则t2tm+2=（t）2+20，由此能求出实数m的取值范围【解答】解：设2x=t，t0，任意实数x，若不等式4xm2x+20恒成立，t2tm+20恒成立，t2tm+2=（t）2+20，解得2m2故选：A10设实数x，y满足条件，则z=y2x的最小值为（）A5BC2D1【考点】简单线性规划【分析】画出可行域，由z=y2x，则y=2x+z，由它在y轴的截距最小，得到z
13、最小【解答】解：由已知得到平面区域如图：由z=y2x，则y=2x+z，由它在y轴的截距最小，得到z最小，由图可知当直线过B（，）时，z 最小，所以最小值为2=；故选：B11已知x0，y0，且x+y+xy=1，则xy的最大值为（）A1+B1C42D32【考点】基本不等式【分析】利用基本不等式的性质、一元二次不等式的解法即可得出【解答】解：x0，y0，且x+y+xy=1，2+xy1，当且仅当x=y=1时取等号设=t，t0，则t2+2t20解得0t1则xy的最大值为（1）2=32，故选：D12抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足AFB=120过弦AB的中点M
14、作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）AB1CD2【考点】抛物线的简单性质【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b由余弦定理得，|AB|2=a2+b22abcos120=a2+b2+ab配方得，|AB|2=（a+b）2ab，又ab（） 2，（a+b）2ab（a+b）2（a
15、+b）2=（a+b）2得到|AB|（a+b）所以=，即的最大值为故选：A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率e=，则实数m=【考点】椭圆的简单性质【分析】椭圆+=1焦点在x轴上，得a2=m2，b2=9，e2=m的值【解答】解：椭圆+=1焦点在x轴上，a2=m2，b2=9，e2=m=，故答案为：14在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若b，c，a成等比数列，且a=b，则cosA=【考点】余弦定理；正弦定理【分析】由b，c，a成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再将2a=b代入，开方用b表示出c，然后利用余弦定理表示出c
16、osB，将表示出的a和c代入，整理后即可得到cosB的值【解答】解：在ABC中，b，c，a成等比数列，c2=ab，又2a=b，c2=b2，即c=b，则cosA=故答案为：15过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A、B两点，若A到抛物线的准线的距离为5，则|AB|=【考点】抛物线的简单性质【分析】先求出A的坐标，可得直线AB的方程，代入抛物线C：y2=4x，求出B的横坐标，利用抛物线的定义，即可求出|AB|【解答】解：抛物线C：y2=4x的准线方程为x=1，焦点F（1，0）A到抛物线的准线的距离为5，A的横坐标为4，代入抛物线C：y2=4x，可得A的纵坐标为4，不妨设A（4，4），
17、则kAF=，直线AB的方程为y=（x1），代入抛物线C：y2=4x，可得（x1）2=4x，即4x217x+4=0，x=4或x=，B的横坐标为，B到抛物线的准线的距离为，|AB|=5+=故答案为：16给出下列四个命题：命题“若=，则tan=”的否命题是“若，则tan”；在ABC中，“AB”是“sinAsinB的充分不必要条件”；定义：为n个数p1，p2，pn的“均倒数”，已知数列an的前n项的“均倒数”为，则数列an的通项公式为an=2n+1；在ABC中，BC=，AC=，AB边上的中线长为，则AB=2以上命题正确的为（写出所有正确的序号）【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据否命题的定义进行判
18、断根据充分条件和必要条件的定义进行判断根据数列an的前n项的“均倒数”为，即可求出Sn，然后利用裂项法进行求和即可根据余弦定理进行求解判断【解答】解：命题“若=，则tan=”的否命题是“若，则tan”；故正确，在ABC中，“AB”等价于ab，等价为sinAsinB，则，“AB”是“sinAsinB的充分必要条件”；故错误，数列an的前n项的“均倒数”为，=，即Sn=n（n+2）=n2+2n，当n2时，an=SnSn1=n2+2n（n1）22（n1）=2n+1，当n=1时，a1=S1=1+2=3，满足an=2n+1，数列an的通项公式为an=2n+1，故正确，在ABC中，BC=，AC=，AB边上
19、的中线长为，设AB=2x，则cosAOC=cosBOC，即=，即x24=x2，即x2=2，则x=，则AB=2故正确，故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知向量=（x，2，2），=（2，y，2），=（3，1，z），（1）求向量，；（2）求向量（+）与（+）所成角的余弦值【考点】空间向量的数量积运算；空间向量运算的坐标表示【分析】（1）根据空间向量平行的坐标表示，列出方程组求出x、y的值，再根据向量垂直的坐标表示，列出方程求出z的值即可；（2）利用空间向量的数量积求出夹角的余弦值即可【解答】解：（1）向量=（x，2，2），=（2，y，2）
20、，且，x0，y0，=，解得x=2，y=2；=（2，2，2），=（2，2，2），又=（3，1，z），=0，即622z=0，解得z=2，=3，1，2；（2）由（1）得， +=（1，3，4），+=（5，1，0），（+）（+）=15+3（1）+40=2，|+|=，|+|=；设+与+所成角为，cos=18在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=1（）求C；（）若c=，b=，求B及ABC的面积【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（）由已知将条件式变形得：a2+b2c2=ab，由余弦定理得cosC=，结合范围0C，可求C的值（）由正弦定理可求sinB，进而可求B，利用两角和的正弦函数公式可求si
21、nA的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解【解答】解：（）由已知将条件式化简（a+b）2c2=ab，变形得：a2+b2c2=ab，由余弦定理得cosC=，0C，C=（）在ABC中，由正弦定理，即，可得：sinB=，B=，在ABC中，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=，由三角形面积公式得SABC=bcsinA=19已知p：方程方程 +=1表示焦点在y轴上的椭圆；q：实数m满足m2（2a+1）m+a2+a0且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由p可得：2mm10，解得m范围由q：实数m满足m2（2a+1）m+
22、a2+a0化为：（ma）m（a+1）0，解得m范围又q是p的充分不必要条件，可得pq【解答】解：由p可得：2mm10，解得由q：实数m满足m2（2a+1）m+a2+a0化为：（ma）m（a+1）0，解得ama+1又q是p的充分不必要条件，pq则，解得经过检验a=或1时均适合题意故a的取值范围是20如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD是正方形，AB=PA=1，E为侧棱PA上的点， =（01）（）证明：BDCE；（）当=时，求两面角ACED的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（）连结AC，通过ABCD为正方形、PA底面ABCD及线面垂直
23、的判定定理可得BD平面PAC，利用CE平面PAC即得结论；（）以A为坐标原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则所求值即为平面DCE的法向量与平面ACE的法向量的夹角的余弦值，计算即可【解答】（）证明：连结AC，ABCD为正方形，ACBD，PA底面ABCD，BD平面ABCD，PABD，PAAC=A，BD平面PAC，E为侧棱PA上的点，CE平面PAC，BDCE；（）解：以A为坐标原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，=，PA=1， =，AE=，E（0，0，），B（1，0，0），A（0，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0）
24、，=（1，0，0），=（0，1，），=（1，1，0），设平面DCE的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=3，得=（0，2，3），=（1，1，0）是平面ACE的法向量，cos，=，二面角ACED的余弦值为21已知数列an是等差数列，其前n项和为Sn，且满足a1+a5=12，S4=20；数列bn满足：b1+3b2+32b3+3n1bn=，（nN*）（1）求数列an，bn的通项公式；（2）设cn=anbn+，求数列cn的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）利用等差数列的通项公式可得an，利用递推关系可得bn（2）利用“错位相减法”与“裂项求和”方法即可得出【解答】解：（1）设
25、等差数列an的首项为a1，公差为d，则由题意：，解得a1=2，d=2，an=2n数列bn满足：b1+3b2+32b3+3n1bn=，（nN*）n2时，b1+3b2+32b3+3n2bn1=，相减可得：3n1bn=，解得bn=当n=1时，b1=经检验知n=1时，适合bn=bn=（2）cn=anbn+=2n+，设数列的前n项和为：Pn，则Pn=+，=+n，=+n=n，Pn=数列的前n项和为： +=数列cn的前n项和Tn=+22已知椭圆E： +=1（ab0）经过点（0，），离心率为，点O为坐标原点（）求椭圆E的标准方程；（）过左焦点F任作一直线l，交椭圆E于P、Q两点 （i）求的取值范围； （ii）
26、若直线l不垂直于坐标轴，记弦PQ的中点为M，过F作PQ的垂线FN交直线OM于点N，证明：点N在一条定直线上【考点】椭圆的简单性质【分析】（）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆方程；（）（i）求得F（2，0），讨论直线的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，以及不等式的性质，即可得到所求范围；（ii）可设PQ：y=k（x+2），FN：y=（x+2），设M（x0，y0），运用中点坐标公式，求得M的坐标，进而得到直线OM方程，求得直线FN和OM的交点N，即可得证【解答】解：（）由题意可得b=，e=，又a2b2=c2，解得a=，c
27、=2，即有椭圆方程为+=1；（）（i）F（2，0），当直线的斜率不存在时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线方程为x=2，可得P（2，），Q（2，），=4=；当直线的斜率存在，设l：y=k（x+2），设P（x1，y1），Q（x2，y2），代入椭圆方程x2+3y2=6，可得（1+3k2）x2+12k2x+12k26=0，x1+x2=，x1x2=，=x1x2+y1y2=x1x2+k2（x1+2）（x2+2）=（1+k2）x1x2+2k2（x1+x2）+4k2=（1+k2）+2k2（）+4k2=，由k20，3k2+11，可得6，综上可得， 的取值范围是6，；（ii）证明：由直线l的斜率一定存在，且不为0，可设PQ：y=k（x+2），FN：y=（x+2），设M（x0，y0），则x0=，由x1+x2=，可得x0=，y0=k（x0+2）=，直线OM的斜率为kOM=，直线OM：y=x，由可得，即有k取何值，N的横坐标均为3，则点N在一条定直线x=3上2017年3月25日