1、第 60 讲 直线与圆的位置关系的判定与性质【学习目标】1会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理2会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理【基础检测】1如图，四边形 ABCD 内接于O，BOD80，则BCD 等于_140【解析】BOD80，A40.四边形 ABCD 是圆内接四边形，ABCD180，BCD140.2如图，P 是圆 O 外一点，过 P 引圆 O 的两条割线 PB、PD，PAAB 5，CD3，则 PC 等于_2【解析】设 PCx，由割线定理知 PAPBPCPD.即 52 5x(x3)，解得 x2 或 x5(舍去)3如图，在圆O中，直径AB与弦
2、CD垂直，垂足为E，EFDB，垂足为F，若AB6，AE1，则DFDB_5【解析】由相交弦定理得 AEEBDE2，DE 5.又DEBDFE，DE2DFDB5.4如图，已知 EB 是半圆 O 的直径，A 是 BE 延长线上一点，AC 切半圆 O 于点 D，BCAC 于点 C，DFEB 于点 F，若 BC6，AC8，则 DF_3【解析】设圆的半径为 r，ADx，连接 OD，得ODAC.故ADACODBC，即x8r6，故 x43r.又由切割线定理 AD2AEAB，即169 r2(102r)10，故 r154.由三角形相似，知ADABDFBC，则 DF3.【知识要点】1圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等
3、于它所对的心角的_.O 为圆心，A，B，C 为圆上任意三点，则有ACB_度数的一半12AOB推论一同弧或等弧所对的圆周角_.O 为圆心，A，B，C，D 为圆上任意四点，则有_同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也_.O 为圆心，A，B，C，D 为圆上任意四点，且CADACB，则有_相等ACBADB12AOB相等ABCD推论二半圆(或直径)所对的圆周角是_.O 为圆心，A，B，C 为圆上三点，且BC 为圆的直径，则有BAC_.90的圆周角所对的弦为_.O 为圆心，A，B，C 为圆上三点，且BAC90，则BC 为圆的_.直角90直径直径2.圆的切线(1)判定定理：经过圆的半径的外端，且_径的直线是圆
4、的切线(2)性质定理：圆的切线_经过切点的半径(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长_；圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角垂直于垂直于相等3弦切角定理及其推论定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的_.AB 是圆的切线，BAC 的度数等于 AMC 的度数的一半推论弦切角等于它所夹的弧所对的_.AB 是O 的切线，C，D 为圆上两点，则BAC_.一半圆周角ADC4.圆的比例线段相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积_.PAPBPCPD割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积_.PAPBPCPD切割线定理从圆外一点引圆的切线和割
5、线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的_.PBPCPCPA相等相等比例中项5.圆内接四边形的性质定理和判定定理(1)性质定理：圆内接四边形对角_，并且任何一个外角都等于它的_(2)判定定理：如果四边形的对角互补，则此四边形内接于一个圆互补内角的对角一、圆周角定理、圆内接四边形的性质及应用例1 如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上延长BC到D使BCCD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB6，ED2，求BC.【解析】连接 OC.AB 为圆 O 的直径，ACBC.又 BCCD，ABAD6，BACCAD.又 CE 为圆 O 的切线，则 OCCE.ACE 为弦切角，ACEB.ACECAD90.CE
6、AD.又 ACCD，CD2EDAD2612，即 CD2 3.BC2 3.二、圆幂定理及应用例2如图，CD 为ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线 CD 于点 D，E，F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点，且 BCAEDCAF，B，E，F，C 四点共圆(1)证明：CA 是ABC 外接圆的直径；(2)若 DBBEEA，求过 B，E，F，C 四点的圆的面积与ABC 外接圆面积的比值【解析】(1)证明：因为CD为ABC外接圆的切线，所以DCBA，由题设知BCFADCEA，故CDBAEF，所以DBCEFA.因为B，E，F，C四点共圆，所以CFEDBC，故EFACFE90.所以CBA90，因此CA
7、是ABC外接圆的直径(2)联结CE，因为CBE90，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DBBE，有CEDC，又BC2DBBA2DB2，所以CA24DB2BC26DB2.而CE2DC2DBDA3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值为12.三、四点共圆的判定及应用例3 如图，AB是O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是O的割线，过点G作AB的垂线，交AC的延长线于点E，交AD的延长线于点F，过G作O的切线，切点为H.求证：(1)C，D，F，E四点共圆；(2)GH2GEGF.【证明】(1)如图，连接 BC.AB 是O 的直径，ACB90.AGFG，AGE90
8、.又EAGBAC，ABCAEG.又FDCABC，FDCAEG.FDCCEF180.C，D，F，E 四点共圆(2)GH 为O 的切线，GCD 为割线，GH2GCGD.由 C，D，F，E 四点共圆，得GCEAFE，GECGDF.GCEGFD，GCGFGEGD，即 GCGDGEGF.GH2GEGF.备选题例4如图，已知O1 和O2 相交于点 A，B，过点 A 作O1 的切线交O2 于点 C，过点 B 作两圆的割线，分别交O1，O2 于点 D，E，DE 与 AC 相交于点 P.(1)求证：ADEC；(2)若 AD 是O2 的切线，且 PA6，PC2，BD9，求 AD 的长【解析】(1)连结 AB.因为
9、 AC 为O1 的切线，BACD.又 因 为 BAC E，所 以 D E，所以ADEC.(2)设 BPx，PEy.因为 PA6，PC2，所以 xy12.因为 ADEC，所以DPPEAPPC，即9xy 62，所以 9x3y.解由组成的方程组得x3y4 或x12y1(舍去)所以 DE9xy16.因为 AD 是O2 的切线，所以 AD2DBDE916，所以 AD12.【点评】本题综合运用了弦切角定理、相交弦定理、切割线定理和平行线分线段成比例定理，综合性较强在这里应强调的是利用代数方法解决几何问题，特别是利用方程进行计算、求值等，要建立运用数形结合的思想1圆内接四边形的重要结论：内接于圆的平行四边形
10、是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推证过程2圆的切线的性质定理及推论有如下结论：如果一条直线具备以下三个条件中的任何两个，就可推出第三个：垂直于切线；过切点；过圆心于是利用切线性质时，过切点的半径是常作的辅助线3判定切线通常有三种方法：和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线；圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线4圆心角、圆周角、弦切角是圆中三类重要的角，准确理解它们的定义、定理及所对、所夹弧的关系5与圆有关的比例线段的证明要诀：圆幂定理是法宝，相似三角形中找诀窍，联想射影定理分角线，辅助线来
11、搭桥，第三比作介绍，代数方法不可少，分析综合要记牢，十有八九能见效1(2014湖北)如图，P为O外一点，过P点作O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交O于C，D两点，若QC1，CD3，则PB_4【解析】由切线长定理得 QA2QCQD1(13)4，解得 QA2.故 PBPA2QA4.2(2014 湖南)如图所示，已知 AB，BC 是O 的两条弦，AOBC，AB 3，BC2 2，则O 的半径等于_32【解析】设圆的半径为 r，记 AO 与 BC 交于点 D，依题可知 AD1.由相交弦定理可得 1(2r1)22，解得 r32.1如图，CD 是圆 O 的直径，AE 切圆 O 于点 B，
12、连结 DB，D20，则DBE 的大小为_70【解析】连结 CB，则DBEDCB902070.2如图，CD 是圆 O 的切线，切点为 C，点 B 在圆 O 上，BC2，BCD30，则圆 O 的面积为_4【解析】如图，CD 是O 的切线，BCD30，则BOC60，BOC 为等边三角形，半径 OBBC2，圆 O 的面积为 4.3如图，已知AD5，DB8，AO310，则圆O的半径OC的长为_.5【解析】由割线定理得 ADABAEAC，即 513(3 10r)(3 10r)，解得 r5.4如图，在半径为 7的O 中，弦 AB，CD 相交于点 P，PAPB2，PD1，则圆心 O 到弦 CD的距离为_32【
13、解析】如图所示，取 CD 中点 E，连接 OE，OC.由圆内相交弦定理知 PDPCPAPB，所以 PC4，CD5，则 CE52，OC 7.所以 O 到 CD 距离为 OE（7）2522 32.5如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DFCF2，AFFBBE421.若CE与圆相切，则线段CE的长为_72【解析】设 AF4k(k0)，则 BF2k，BEk.由 DFFCAFBF，得 28k2，即 k12，AF2，BF1，BE12，AE72.由切割线定理得 CE2BEEA127274，CE 72.6如图，在ABC中，C90，A60，AB20，过C作ABC的外接圆的切线CD，
14、BDCD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为_5【解析】在 RtABC 中，A60，AB20，可得 BC10 3.由弦切角定理，可得BCDA60.在 RtBCD 中，可求得 CD5 3，BD15.又由切割线定理，可得 CD2DEDB，可求得 DE5.7如图，ABC为锐角三角形，以BC边为直径作圆，若从A作此圆的切线AD，与圆相切于D，又在AB边上取AEAD，并过E点作AB的垂线与AC的延长线交于F.求证：(1)AEABACAF；(2)ABC的面积AEF的面积【证明】(1)设 G 是 AB 与圆 O 的交点，根据切割线定理，有 AD2AGAB AEAD，AE2AGAB，即AEABAGAE 连接
15、GC，EGCBEF90，GCEF，AGAEACAF 由得AEABACAF，即 AEABACAF.(2)ABC 与AEF 有公共角 A，SABCSAEFABACAEAF，由AEABACAF，得 ABACAEAF，SABCSAEF1.ABC 的面积AEF 的面积8如图，已知O和M相交于A，B两点，AD为M的直径，直线BD交O于点C，点G为BD的中点，连接AG，分别交O，BD于点E，F，连接CE，AB，AC.(1)求证：AGEFCEGD；(2)求证：GFAGEF2CE2.【证明】(1)AD 为M 的直径，ABD90，AC 为O 的直径，CEFAGD90，DFGCFE，ECFGDF，又G 为弧 BD 的中点，DAGECF，故CEFAGD，因此有CEEFAGGD，即 AGEFCEGD.(2)由(1)知DAGGDF，GG，DFGADG，DGFGAGDG，即 DG2AGFG，由(1)知EF2CE2GD2AG2，GFAGEF2CE2.