1、阶段质量检测（二） 圆锥曲线与方程(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(安徽高考)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y2x的是()Ax21B.y21C.x21 Dy21解析：选C由双曲线焦点在y轴上，排除选项A、B，选项C中双曲线的渐近线方程为y2x，故选C.2是任意实数，则方程x2y2sin 4的曲线不可能是()A椭圆 B双曲线C抛物线 D圆解析：选C由于R，对sin 的值举例代入判断sin 可以等于1，这时曲线表示圆，sin 可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin 可以大于0且小于1，这时
2、曲线表示椭圆3设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|432，则曲线C的离心率等于()A.或 B.或2C.或2 D.或解析：选A设|PF1|4k，|F1F2|3k，|PF2|2k.若曲线C为椭圆，则2a6k,2c3k，e；若曲线C为双曲线，则2a2k,2c3k，e.4设F1，F2是双曲线y21的两个焦点，P在双曲线上，当F1PF2的面积为2时，的值为()A2 B3C4 D6解析：选B设P(x0，y0)，又F1(2,0)，F2(2,0)，(2x0，y0)，(2x0，y0)|F1F2|4，SPF1F2|F1F2|y0|2，|y0|1.又y1，x3(
3、y1)6，xy46143.5设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A. B2,2C1,1 D4,4解析：选C准线x2，Q(2,0)，设l：yk(x2)，由得k2x24(k22)x4k20.当k0时，x0，即交点为(0,0)，当k0时，0，1k0或0k1.综上，k的取值范围是1,16直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A. B.C. D.解析：选B不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为1，即bxcybc0.由题意知2b，解得，即e.故
4、选B.7已知|3，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，则动点P的轨迹方程是()A.y21 Bx21C.y21 Dx21解析：选A设P(x，y)，A(0，y0)，B(x0,0)，由已知得(x，y)(0，y0)(x0,0)，即xx0，yy0，所以x0x，y03y.因为|3，所以xy9，即2(3y)29，化简整理得动点P的轨迹方程是y21.8(四川高考)设直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，与圆(x5)2y2r2(r0)相切于点M，且M为线段AB的中点若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是()A(1,3) B(1,4)C(2,3) D(2,4)解析：选D设A(x1，y1)，B(x2，y2)
5、，M(5rcos ，rsin )则两式相减得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)当直线l的斜率不存在时，显然符合条件的直线l有两条当直线l的斜率存在时，可得2rsin (y1y2)4(x1x2)kAB.又kMC.kAB.r2.由于M在抛物线的内部，(rsin )24(5rcos )204rcos 204(2)12.|rsin |2.|rsin |r2r2160r4.因此2r0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2y0，则a_.F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|3，则|PF2|_.解析：双曲线1的一条渐近线方程为3x2y0，故a2.又P是双曲线上一点，故|PF1|PF2|4，而
6、|PF1|3，则|PF2|7.答案：2711设F1，F2为曲线C1：1的焦点，P是曲线C2：y21与C1的一个交点，则PF1F2的面积为_解析：由题意知|F1F2|24，设P点坐标为(x，y)由得则SPF1F2|F1F2|y|4.答案：12已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A，B两点，F为C的焦点，则F的坐标为_若|FA|2|FB|，则k_.解析：抛物线y28x的焦点坐标为(2,0)，将yk(x2)代入y28x，得k2x2(4k28)x4k20，设A(x1，y1), B(x2，y2)，则x1x2，x1x24，由|FA|2|FB|及抛物线定义得x122(x22)，即x122x
7、2，代入x1x24，整理得xx220，解得x21或x22(舍去)所以x14，5，解得k2，又因为k0，所以k.答案：(2,0)13抛物线y22px(p0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p_，抛物线上横坐标为3的点到准线的距离为_解析：依题意，设抛物线的焦点为F，点Q的横坐标是x0(x00)，则有|QF|x0的最小值是1，则p2.横坐标为3的点到准线的距离为34.答案：2414已知椭圆C：1(ab0)的离心率为.则双曲线x2y21的渐近线方程为_，若渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为_解析：由题意，双曲线的渐近线方程为yx.因为椭圆的离心率
8、为，所以e，c2a2a2b2，所以b2a2，即a24b2.代入椭圆方程得1，即1，所以x2b2，xb，y2b2，y b，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为，所以四边形的面积为4 b bb216，所以b25，所以椭圆方程为1.答案：yx115已知二次曲线1，当m2，1时，该曲线的离心率的取值范围是_解析：m2，1，曲线方程化为1，曲线为双曲线，e.m2，1，e.答案：，三、解答题(本大题共6小题，共74分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分14分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛
9、物线与双曲线交于点P，求抛物线的方程和双曲线的方程解：依题意，设抛物线的方程为y22px(p0)，点P在抛物线上，62p.p2，所求抛物线的方程为y24x.双曲线的左焦点在抛物线的准线x1上，c1，即a2b21，又点P在双曲线上，1，解方程组得或(舍去)所求双曲线的方程为4x2y21.17(本小题满分15分)已知抛物线方程为y22x，在y轴上截距为2的直线l与抛物线交于M，N两点，O为坐标原点若OMON，求直线l的方程解：设直线l的方程为ykx2，由消去x得ky22y40.直线l与抛物线相交，解得kb0)的离心率e，过点A(0，b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)
10、已知定点E(1,0)，若直线ykx2(k0)与椭圆交于C，D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点，请说明理由解：(1)直线AB的方程为：bxayab0.依题意解得椭圆方程为y21.(2)假若存在这样的k值，由得(13k2)x212kx90.(12k)236(13k2)0.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则而y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4.要使以CD为直径的圆过点E(1,0)，当且仅当CEDE时，则1.即y1y2(x11)(x21)0.(k21)x1x2(2k1)(x1x2)50.将式代入整理解得k.经验证k使成立综上可知，存在k，使得以CD为直径的圆过点E.20(本小题满分15分)已知椭圆y21(a1)，(1)若椭圆的上顶点A(0,1)到焦点的距离为，求椭圆的离心率(2)RtABC以A(0,1)为直角顶点，边AB，AC分别与椭圆交于点B，C.若ABC面积的最大值为，求a的值解：(1)A(0,1)到焦点的距离为，a，c，e.(2)不妨设直线AB斜率k0，则AB：ykx1，AC：yx1由得(1a2k2)x22a2kx0，解得xB，同理xC，则|AB|，同理可得，|AC|.S|AB|AC|2a42a4，令kt2，则S2a4，当且仅当t2，即a1时取等号(a1舍去)由，解得a3，或a(舍去)a3.