1、第2课时 综合法1 综 合 法：在 不 等 式 的 证 明 中，从 _ 和_及_出发，通过正确的_，推导出所要证明的结论2综合法的实质是一种_的思考方法和证明方法已知条件 不等式的性质 基本不等式 逻辑推理由因导果(顺推证法或由因导果法)1下列命题为假命题的是()Aa，bR，a2b22abBa，bR，a2b22abCxR，x22x10DxR，x210【答案】D2如果 a0，b0，那么下列各式恒成立的是()Abaab2B|ab|ab|2C(ab)1a1b 4 Da2b22ab22【答案】D【解析】a2b22ab222a2b2ab24ab240，a2b22ab22.3若实数 a，b 满足 0ab，
2、且 ab1，则12，a2b2,2ab，a 四个数中最大的一个是_【答案】a2b2【解析】取 a13，b23，则 a2b259，2ab49，因为 0ab，所以 a2b2a2aba(ab)a，a2b22ab，a2b2ab2212.所以最大的是 a2b2.4已知 a0，a0,c0 且 abc1，求a1a b1b c1c 的最小值【解析】a0，a0,c0，1abc33 abc.3 abc13.a1a b1b c1c 11a1b1c133 1a1b1c13310，当且仅当 abc13时，a1a b1b c1c 的最小值为 10.不等式两边都是和式【例 1】已知 a0，a0,c0 且互不相等，求证：bca
3、 cababc abC【解题探究】不等式中 a，b，c 为对称的且两边都是和式，所以从基本不等式入手，再根据不等式的可加性导出证明的结论【解析】因为 a0，a0,c0 且互不相等，所以bca cab 2bca cab 2C同理cab abc 2cab abc 2a，bca abc 2bca abc 2b.三式相加得 2bca cab abc 2(abc)，即bca cab abc abC所以bca cab abc abC两边都是项数相等的和式，通常是利用基本不等式，先证A1B1，A2B2，A3B3，然后相加得到A1A2A3B1B2B3，从而得到原不等式成立如果两边是积的结构，往往先证A1B10
4、，A2B20，A3B30，从而A1A2A3B1B2B3，从而原不等式成立1(2016年晋中期中)设a，b，cR，证明：a2b2c2abacbC【证明】方法一：因为 a2b22ab，a2c22ac，b2c22bc，相加可得 2a22b22c22ab2ac2bc，所以 a2b2c2abacbc(当且仅当 abc 取得等号)方法二：由 a2b2c2abacbc12(2a22b22c22ab2ac2bc)12(ab)2(ac)2(bc)20，则 a2b2c2abacbc(当且仅当 abc 取得等号)和式与积式的转化【例 2】若 x0，y0,z0 且 xyz1，求证：(1x)(1y)(1z)827.【解
5、题探究】要证不等式左边是积的结构，且条件是和xyz 为定值 1，所以可通过基本不等式将和转化为积【解析】xyz1，(1x)(1y)(1z)(yz)(zx)(xy)又x0，y0,z0,(yz)(zx)(xy)yzzxxy332xyz327 827，当且仅当 xyz13时取等号故(1x)(1y)(1z)827.本题的关键是将(1x)(1y)(1z)化为(yz)(zx)(xy)，后利用基本不等式达到证明的目的2已知ABC 的三条边分别为 a，b，c 且满足 s12(abc)，s22ab，求证：sa2.【证明】a，b，c 是ABC 的三边，bac，则 2babC又s12(abc)，abc2s，bs.由
6、 s22ab 可知 bs22as，s2a1，即sa2.和式与和式的转化【例 3】设 a0，b0，ab1.求证：(1)1a1b 1ab8；(2)a1a2b1b2252.【解题探究】已知条件是和的结构且为定值，关键是利用基本不等式将目标转化为和，从而利用已知条件【解析】(1)a0，b0，ab1，1ab2 ab.ab12.1ab4.1a1b 1ababab 1ab 2ab8.1a1b 1ab8，当且仅当 ab12时取等号(2)ab2 a2b22，则a2b22ab22.a1a2b1b22a1ab1b222ab 1ab22252，即a1a2b1b2252.把握已知条件和要证的不等式的结构特征，加强目标意
7、识，合理使用基本不等式达到证明的目的3若 a0，b0 且 ab1，求证：a12b122.【证明】a0，b0 且 ab1，ab2 ab，即 ab14，当且仅当 ab12时等号成立又a12b122ab12a12b1222ab12ab144.a12b122.1用综合法证明AB的逻辑关系是：AB1B2BnB.2运用不等式的性质和定理或已证明过的不等式时，要注意它们各自成立的条件，这样才能使推理正确，结论无误3常用的定理或结论有：(1)a2b22ab(a，bR)；(2)ab2 ab(a0，b0)；(3)a3b3c33abc(a，b，cR)；(4)abc33 abc(a0，b0,c0,cR)点击进入WORD链接