1、第 62 讲 曲线的参数方程及应用【学习目标】1了解曲线参数方程的意义，掌握直线、圆及圆锥曲线的参数方程，会应用参数方程解决有关问题2掌握参数方程与普通方程的互化，会根据给出的参数，依据条件建立参数方程【基础检测】1直线 l：1,3xsys(s 为参数)的倾斜角为()A.6B.4C.3D.2【解析】消去 s 可得 y 3(x1)，该直线的斜率k 3，所以 tan 3，故倾斜角 3.C2已知椭圆 C 的参数方程为x5cos y3sin (为参数)，则其一个焦点坐标是()A(5，0)B(0，3)C(4，0)D(0，4)【解析】由已知可知椭圆焦点在 x 轴上，则 a5，b3，从而 c4，则其焦点为(
2、4，0)，故选 C.C3若过点(2，0)的直线 l 被圆 C：42 3cos,2 3sinxy(为参数)所截得的线段的长不小于 2 3，则直线 l的倾斜角的取值范围是()A.0，6B.56，C.6，56D.0，6 56，D【解析】设直线 l 的斜率为 k，倾斜角为，则直线l 的方程为 yk(x2)，即 kxy2k0.圆 C 的普通方程为(x4)2y212，圆心 C(4，0)，半径 r2 3，圆心到直线l的距离d|6k|k21，由题意得2 r2d22 3，即12 36k2k21 3，解得 33 k 33.又 ktan，且 0，)，0，6 56，.4在平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆2cos,3
3、sinxy(为参数)的右焦点，且与直线42,3xtyt (t 为参数)平行的直线截椭圆所得弦长为_154【解析】椭圆的普通方程为x24 y231，则：右焦点为(1，0)直线42,3xtyt的普通方程为 x2y20，所以过点(1，0)与直线 x2y20 平行的直线为 x2y10.由221,43210,xyxy 得 4x22x110，所以所求的弦长为 11221224114 154.【知识要点】1参数方程的定义在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数，即(t 为参数)，并且对于 t 的每一个允许值，由该方程组所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上，那么此方程组
4、就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x，y 之间的变数 t 叫做参变数，简称参数相对于参数方程，前面学过的直接给出曲线上的点的坐标间关系的方程，叫做曲线的普通方程在曲线的参数方程中，参数是联系变数 x，y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数要明确参数的取值范围，这个范围决定了曲线的存在范围，并且两者要保持一致xf（t）yg（t）2参数方程和普通方程的互化(1)由参数方程化为普通方程_，消参数的方法有代入法、加减(或乘除)消元法、三角代换法等消参时应特别注意参数的取值范围对 x，y 的限制由参数方程化为普通方程一般是唯一的(2)由普通方程化为参数方程_，
5、参数选法各种各样，所以由普通方程化为参数方程是不唯一的消去参数选参数3直线参数方程的几种形式(1)标准式：经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 的直线的参数方程为(t 为参数)，其中 t 是直线上的定 _点 M0(x0，y0)到动点 M(x，y)的_，即 t|M0M|.当点 M(x，y)在点 M0(x0，y0)的上方时，t0；当点 M(x，y)在点 M0(x0，y0)的下方时，t0；当点 M(x，y)与点 M0(x0，y0)重合时，t0.由于直线的标准参数方程中 t 具有这样的几何意义，所以在解决直线与二次曲线相交的弦长和弦的中点问题时，用参数方程来解决方便了很多00 x=x+tcos,y=y
6、+tsin.0M M有向线段的数量 (2)点斜式：(t 为参数)，其中(x0，y0)表示该直线上的一点，ba表示直线的斜率当 a，b 分别表示点 M(x，y)在 x 轴正方向与 y 轴正方向的分速度时，t 就具有物理意义时间，相应的 at，bt 则表示点 M(x，y)在 x 轴正方向、y 轴正方向上相对(x0，y0)的位移00 x=x+at,y=y+bt.4圆锥曲线的参数方程(1)圆(xx0)2(yy0)2r2 的参数方程为(为参数)(2)椭圆x2a2y2b21(ab0)的参数方程为(为参数)(3)双曲线x2a2y2b21 的参数方程为(为参数)(4)抛物线 y22px(p0)的参数方程为(t
7、 为参数)00 x=x+rcos,y=y+rsin.x=acos,y=bsin.x=asec,y=btan.2x=2pt,y=2pt.5渐开线和摆线(1)圆心在原点，半径为 r 的圆的渐开线的参数方程：x=r(cos+sin),y=r(sin-cos).(为参数)(2)半径为 r 的圆 x2(yr)2r2 的摆线的参数方程：x=r(-sin),y=r(1-cos).(为参数)一、参数方程与普通方程的互化例1将下列参数方程化为普通方程：(1)x 3k1k2，y 6k21k2，(k 为参数)；(2)x1sin 2，ysin cos ，(为参数)；(3)x1t21t2，yt1t2，(t 为参数)【解
8、析】(1)两式相除，得 k y2x，将其代入得 x3 y2x1y2x2，化简得所求的普通方程是 4x2y26y0(y6)(2)由(sin cos)21sin 22(1sin2)，得 y22x.又 x1sin 20，2，得所求的普通方程为 y22x，x0，2(3)由1t21t2 22t1t2 21，得 x24y21，又 x1t21t21，得所求的普通方程是 x24y21(x1)【点评】(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数的关系式消参，如 sin2cos21
9、等(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解二、参数方程的应用例2已知曲线 C1：4cos3sinxtyt (t 为参数)和曲线 C2：8cos3sinxy(为参数)(1)化 C1，C2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t2，Q 为 C2上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 C3：322xtyt (t为参数)距离的最小值及此时 Q 点的坐标【解析】(1)分别消去曲线 C1 和 C2 中的参数，可得到 C1：(x4)2(y3)21，C2：x264y291.C1 是圆心为(4，3)，半径为 1 的圆 C2 是中心为坐标原
10、点，焦点在 x 轴上，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆(2)当 t2 时，P(4，4)，设 Q(8cos，3sin)，故 M24cos，232sin .C3 为直线 x2y70，M 到 C3 的距离 d 55|4cos 3sin 13|，从而当 cos 45，sin 35时，d 取最小值8 55.所以，此时 Q 点的坐标为325，95.三、参数方程与极坐标综合例3已知曲线 C1 的参数方程为210 cos10 sinxy (为参数)，曲线 C2 的极坐标方程为 2cos 6sin .(1)将曲线 C1 的参数方程化为普通方程，将曲线C2 的极坐标方程化为直角坐标方程(2)曲线 C1，C2
11、 是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由【解析】(1)由210 cos10 sinxy 消去参数，得 C1的普通方程为(x2)2y210.由 2cos 6sin，得 22cos 6sin，化为直角坐标方程为 x2y22x6y，即(x1)2(y3)210.(2)因为圆 C1 的圆心为(2，0)，圆 C2 的圆心为(1，3)，所 以|C1C2|（21）2（03）2 320)，直线l的极坐标方程为3cos 4sin 5，若曲线C与直线l只有一个公共点，则实数a的值为()A5 B6 C7 D8C【解析】直线 l 的方程为 3x4y5，曲线 C 的普通方程为(xa)2(y1)242.因
12、为曲线 C 与直线 l只有一个公共点，所以圆心 C(a，1)到直线 l 的距离 d|3a45|54.又a0，a7.4在平面直角坐标系xOy中，若直线l：,xtyta(t为参数)过椭圆C：3cos,2sinxy(为参数)的右顶点，则常数a的值为()A2 B3 C4 D5B【解析】直线 l：,xtyta 消去参数 t 后得 yxa，椭圆 C：3cos,2sinxy消去参数 后得x29 y241.又椭圆 C的右顶点为(3，0)，代入 yxa 得 a3.5在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C1 的参数方程为,1xtyt (t 为参数)，曲线 C2 的极坐
13、标方程为 2sin 4 3，则 C1 与 C2 的交点在直角坐标系中的坐标为_(2，5)【解析】由,1xtyt (t 为参数)得到曲线 C1 的直角坐标方程为 yx21(x0)曲线 C2 的极坐标方程为 2sin4 3，2sin42sin cos 4 cos sin 4 (sin cos)所以 sin cos 3，故曲线 C2 的直角坐标方程为 yx3.由21(0),3yxxyx 解得2,5.xy 故 C1 与 C2 的交点的直角坐标为(2，5)6在平面直角坐标系xOy中，过椭圆3cos,3sinxy(为参数)的右焦点，且与直线42,3xtyt(t为参数)平行的直线截椭圆所得弦长为_154【解
14、析】椭圆的普通方程为x24 y231，则右焦点为(1，0)；直线的普通方程为 x2y20，过点(1，0)与直线 x2y20 平行的直线方程为 x2y10，由221,43210 xyxy 得 4x22x110，所以所求的弦长为11221224114 154.7设曲线 C 的参数方程为32 2 cos,1 2 2 sinxy (为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立 极 坐 标 系，直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为 2cos sin ，则曲线 C 上到直线 l 距离为 2的点的个数为_3【解析】曲线 C 的参数方程为32 2 cos,1 2 2 sinxy (为参数)，曲线 C 的标
15、准方程为(x3)2(y1)28，它表示以点(3，1)为圆心，以 2 2为半径的圆 又直线 l 的极坐标方程为 2cos sin，它的普通方程为 xy20.点(3，1)到直线 xy20 的距离为 2，等于圆半径的一半，故曲线 C 上到直线 l 距离为 2的点的个数为 3.8已知曲线C的极坐标方程是2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为1,23xtyt(t为参数)(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)设曲线C经过伸缩变换12xxyy 得到曲线C，若M(x，y)为曲线C上任一点，求x23 xy2y2的最小值，并求相应点M的坐标【解析】(1)直线的
16、普通方程为 3xy 320.曲线 C 的直角坐标方程为 x2y24.(2)由题意得 C：x24 y21.设 M(x，y)满足 x2cos，ysin，则 x2 3xy2y232cos23.所以当 M 为1，32 或1，32 时，x2 3xy2y2 的最小值为 1.9在直角坐标系 xOy 中，已知圆 C 的参数方程为1cos,sinxy(为参数)，以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(1)求圆 C 的极坐标方程；(2)直线 l：(sin 3cos )3 3，射线 OM：3 与圆 C 的交点为 O，P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ 的长【解析】(1)圆 C 的普通方程是(x1
17、)2y21，又因为 xcos，ysin，所以圆 C 的极坐标方程是 2cos.(2)设(1，1)为点 P 的极坐标，则有1112cos,3解得111,.3 设(2，2)为点 Q 的极坐标，则有2222(sin3cos)3 3,3解得223,.3 由于 12，所以|PQ|12|2，所以线段PQ 的长为 2.10在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知点 A 的极坐标为2，4，直线 l 的极坐标方程为 cos4 a，且点 A 在直线 l 上(1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程；(2)圆 C 的参数方程为1 cos,sinxy(为参数)，试判断直线 l 与圆 C 的位置关系【解析】(1)由点 A2，4 在直线cos4 a 上，可得 a 2.所以直线 l 的方程可化为 cos sin 2，从而直线 l 的直角坐标方程为 xy20.(2)由已知得圆 C 的直角坐标方程为(x1)2y21.所以圆 C 的圆心为(1，0)，半径 r1，因为圆心 C 到直线 l 的距离 d 12 22 1，所以直线 l 与圆 C 相交