1、第五节 数列的综合问题全盘巩固1已知各项均不为 0 的等差数列an，满足 2a3a272a110，数列bn是等比数列，且 b7a7，则 b6b8()A2 B4 C8 D16解析：选 D 因为an为等差数列，所以 a3a112a7，所以已知等式可化为 4a7a270，解得 a74 或 a70(舍去)，又bn为等比数列，所以 b6b8b27a2716.2已知等比数列an中的各项都是正数，且 5a1，12a3,4a2 成等差数列，则a2n1a2n2a1a2()A1B1 C52nD52n1解析：选 C 设等比数列an的公比为 q(q0)，则依题意有 a35a14a2，即 a1q25a14a1q，q24
2、q50，解得 q1 或 q5.又 q0，因此 q5，所以a2n1a2n2a1a2a1q2na2q2na1a2q2n52n.3在直角坐标系中，O 是坐标原点，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若 1，x1，x2,4 依次成等差数列，而 1，y1，y2,8 依次成等比数列，则OP1P2 的面积是()A1 B2 C3D4解析：选 A 根据等差、等比数列的性质，可知 x12，x23，y12，y24.P1(2,2)，P2(3,4)SOP1P21.4已知函数 yloga(x1)3(a0，a1)所过定点的横、纵坐标分别是等差数列an的第二项与第三项，若 bn1anan1，数列bn的前
3、 n 项和为 Tn，则 T10 等于()A.911B.1011C.811D.1211解析：选 B 由 yloga(x1)3 恒过定点(2,3)，即 a22，a33，又an为等差数列，ann，nN*.bn1nn1，T1011121213 110 1111 1111011.5(2014宁波模拟)已知数列an满足 a10，an1an2 an11，则 a13()A143 B156 C168D195解析：选 C 由 an1an2 an11，可知 an11an12 an11(an11)2，即an11an11，故数列an1是公差为 1 的等差数列，所以a131a111213，则 a13168.6数列an的通
4、项 ann2cos2n3 sin2n3，其前 n 项和为 Sn，则 S30 为()A470 B490 C495 D510解析：选 A 注意到 ann2cos2n3，且函数 ycos2x3 的最小正周期是 3，因此当 n 是正整数时，anan1an212n212(n1)2(n2)23n72，其中 n1,4，7，S30(a1a2a3)(a4a5a6)(a28a29a30)3172 3472 32872 31012827210470.7(2013江西高考)某住宅小区计划植树不少于 100 棵，若第一天植 2 棵，以后每天植树的棵数是前一天的 2 倍，则需要的最少天数 n(nN*)等于_解析：由题意知
5、第 n 天植树 2n 棵，则前 n 天共植树 2222n(2n12)棵，令 2n12100，则 2n1102，又 2512664,26127128，n6.n 的最小值为 6.答案：68数列an是公差不为 0 的等差数列，且 a1，a3，a7 为等比数列bn的连续三项，则数列bn的公比为_解析：由题意知 a23a1a7，即(a12d)2a1(a16d)，a12d，等比数列bn的公比 qa3a1a12da12.答案：29(2014台州模拟)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且a4S4 112，S7S415，则 Sn的最小值为_解析：设等差数列an的公差为 d，依题意有4a115d0，a15d
6、5，由此解得 a115，d4，an4n19，Snna1an22n217n2n17421782，因此当 n4 时，Sn 取得最小值2n217n24217436.答案：3610(2013新课标全国卷)已知等差数列an的公差不为零，a125，且 a1，a11，a13成等比数列(1)求an的通项公式；(2)求 a1a4a7a3n2.解：(1)设数列an的公差为 d.由题意，a211a1a13，即(a110d)2a1(a112d)，于是 d(2a125d)0.又 a125，所以 d0(舍去)，或 d2.故 an2n27.(2)令 Sna1a4a7a3n2.由(1)知 a3n26n31，故a3n2是首项为
7、 25，公差为6 的等差数列从而 Snn2(a1a3n2)n2(6n56)3n228n.11已知公差大于零的等差数列an的前 n 项和为 Sn，且满足：a2a465，a1a518.(1)若 1i21，a1，ai，a21 是某等比数列的连续三项，求 i 的值；(2)设 bnn2n1Sn，是否存在一个最小的常数 m 使得 b1b2bn0，a2a4，a25，a413.a1d5，a13d13，a11，d4，an4n3.1i21，a1，ai，a21 是某等比数列的连续三项，a1a21a2i，即 181(4i3)2，解得 i3.(2)由(1)知，Snn1nn1242n2n，bn12n12n11212n11
8、2n1，b1b2bn12113131512n112n1n2n1.n2n112122n112，存在 m12使 b1b2bnm 对于任意的正整数 n 均成立12已知正项数列an，bn满足：a13，a26，bn是等差数列，且对任意正整数 n，都有 bn，an，bn1 成等比数列(1)求数列bn的通项公式；(2)设 Sn1a11a2 1an，试比较 2Sn 与 2b2n1an1的大小解：(1)对任意正整数 n，都有 bn，an，bn1 成等比数列，且数列an，bn均为正项数列，anbnbn1(nN*)由 a13，a26 得a1b1b23，a2b2b36，又bn为等差数列，即有 b1b32b2，解得 b
9、1 2，b23 22，数列bn是首项为 2，公差为 22 的等差数列数列bn的通项公式为 bn 2n12(nN*)(2)由(1)得，对任意 nN*，anbnbn1n1n22，从而有1an2n1n221n1 1n2，Sn21213 1314 1n11n2 1 2n2.2Sn2 4n2.又 2b2n1an12n2n3，2Sn2b2n1an1 n2n3 4n2n28n2n3.当 n1，n2 时，2Sn2b2n1an1.冲击名校已知 Sn 是正数数列an的前 n 项和，S21，S22，S2n，是以 3 为首项，以 1 为公差的等差数列；数列bn为无穷等比数列，其前四项之和为 120，第二项与第四项之和
10、为 90.(1)求 an，bn；(2)从数列1bn 中能否挑出唯一的无穷等比数列，使它的各项和等于1S26？若能的话，请写出这个数列的第一项和公比；若不能的话，请说明理由解：(1)Sn是以 3 为首项，以 1 为公差的等差数列，所以 S2n3(n1)n2.因为 an0，所以 Sn n2(nN*)，当 n2 时，anSnSn1 n2 n1，又 a1S1 3，所以 an 3，n1，n2 n1，n1(nN*)，设bn的首项为 b1，公比为 q，则有b1qb1q390，b1b1q230，所以b13，q3，即 bn3n(nN*)(2)1bn 13n，设可以挑出一个无穷等比数列cn，首项为 c1 13p，
11、公比为 13k(p，kN*)，它的各项和等于1S2618，则有 13p1 13k18，所以 13p181 13k，当 pk 时 3p3pk8，即 3pk(3k1)8，因为 p，kN*，所以只有当 pk0，k2，即 pk2 时，数列cn的各项和为1S26.当 pp 右边含有 3 的因数而左边非 3 的倍数，不存在 p，kN*，所以存在唯一的等比数列cn，首项为19，公比为19，使它的各项和等于1S26.高频滚动已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 Snn2an(nN*)(1)证明：数列an1为等比数列，并求数列an的通项公式；(2)若 bn(2n1)an2n1，求数列bn的前 n 项和为
12、Tn.解：(1)证明：因为 Snn2an，即 Sn2ann，所以 Sn12an1(n1)(n2，nN*)两式相减化简，得 an2an11.所以 an12(an11)(n2，nN*)所以数列an1为等比数列因为 Snn2an，令 n1，得 a11.a112，所以 an12n，即 an2n1.(2)因为 bn(2n1)an2n1，所以 bn(2n1)2n.所以 Tn32522723(2n1)2n1(2n1)2n，2Tn322523(2n1)2n(2n1)2n1，得Tn322(22232n)(2n1)2n162222n112(2n1)2n122n2(2n1)2n12(2n1)2n1.所以 Tn2(2n1)2n1.