1、单元疑难突破练(一)(60分钟100分)一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若向量，的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量，成为空间一组基底的关系是()ABCD2【解析】选C.对于选项A，由结论xyz(xyz1)M，A，B，C四点共面，即，共面；对于B，D选项，易知，共面，故只有选项C中，不共面2(2021宁波高二检测)已知空间向量a，b(2，1，2)，若2ab与b垂直，则|a|等于()A B C D【解析】选A.由空间向量a(1，n，2)，b(2，1，2)，若2ab与b垂直，则(2ab)b0，即2abb2，
2、即2n49，即n，即a即|a|.3已知(1，5，2)，(3，1，z)，若，(x1，y，3)，且平面ABC，则等于()A BC D【解析】选B.由0得352z0，所以z4.又因为平面ABC，所以即解得所以.4已知A(1，2，1)，B(1，3，4)，C(1，1，1)，2，则|为()A B C D【解析】选A.设P(x，y，z)，由2得(x1，y2，z1)2(1x，3y，4z)，所以x，y，z3，即P，所以，所以|.5如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是所在棱的中点，AB1与平面B1D1EF所成的角的大小是()A.30 B45 C60 D90【解析】选B.以D1为坐标原点，D1A1
3、，D1C1，D1D为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，1)，B1(1，1，0)，D1(0，0，0)，E，设平面B1D1EF的法向量为n(x，y，z)，则，可取n，又(0，1，1)，设AB1与平面B1D1EF所成的角为，则sin |cos n，|，故AB1与平面B1D1EF所成的角为45.6如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为6的正方体，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AEBF.当A1，E，F，C1四点共面时，平面A1DE与平面C1DF夹角的余弦值为()A. B C D【解析】选B.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，易知当E(6
4、，3，0)、F(3，6，0)时，A1，E，F，C1共面，设平面A1DE的法向量为n1(a，b，c)，依题意得可取n1(1，2，1)，同理可得平面C1DF的一个法向量为n2(2，1，1)，故平面A1DE与平面C1DF夹角的余弦值为.二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分7已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4，2，0)，(1，2，1).对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的是()A B C D【解析】选ABC.0，0，所以ABAP，A
5、DAP，则A，B正确又与不平行，所以是平面ABCD的法向量，则C正确由于(2，3，4)，(1，2，1)，所以与不平行，故D错误8如图，已知在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F，H分别是AB，DD1，BC1的中点，下列结论中正确的是()A.C1D1平面CHDBAC1平面BDA1C三棱锥DBA1C1的体积为D直线EF与BC1所成的角为30【解析】选ABD.由题意，C1D1CD，C1D1平面CHD，CD平面CHD，所以D1C1平面CHD，所以A正确；建立空间直角坐标系，如图所示；由AB1，则(1，1，1)，(1，1，0)，(1，0，1)；所以1100，1010，所以，DA1，所以平
6、面BDA1，所以B正确；三棱锥D-BA1C1的体积为V三棱锥D-BA1C1V正方体ABCDA1B1C1D14V三棱锥A1ABD14111，所以C错误；E，F，所以，(1，0，1)，所以cos ，所以与所成的角是30，所以D正确三、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分请把正确的答案填在题中的横线上9在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若a，b，c，则_【解析】()(b)b()b(ac2b)abc.答案：abc10已知空间向量a，b，|a|2，|b|，ab2，则a，b_【解析】因为cos a，b，a，b0，所以a，b.答案：11如图，已知二面角l的平面角为，ABBC，
7、BCCD，AB在平面内，BC在l上，CD在平面内，若ABBCCD1，则AD的长为_【解析】，所以22222221112cos ()32cos .所以|，即AD的长为.答案：12如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABAD，ABCD，ADCDPD2，AB1，E，F分别为棱PC，PB上一点，若BE与平面PCD所成角的正切值为2，则(AFEF)2的最小值为_【解析】取CD的中点H，连接BH，EH.依题意可得，BHCD.因为PD平面ABCD，所以PDBH，从而BH平面PCD，所以BE与平面PCD所成角为BEH，且tan BEH2，则EH1，则E为PC的中点在RtPAB中，cos APB.因为
8、PB3，PC2，BC，所以cos BPC，所以BPC.将PBC翻折至与平面PAB共面，如图所示，则图中cos APCcos ，当F为AE与PB的交点时，AFEF取得最小值，此时，(AFEF)2AE2(2)2()222.答案：13如图，已知三棱锥ABCD的所有棱长均相等，点E满足3，点P在棱AB上运动，设EP与平面BCD所成的角为，则sin 的最大值为_【解析】设棱长为4a，PBx(0x4a)，则PE.正四面体的高为a，设P到平面BCD的距离为h，则，所以hx，所以sin ，所以x2a时，sin 的最大值为.答案：14已知向量a(1，3，2)，b(2，1，1)，O为坐标原点，点A(3，1，4)，
9、B(2，2，2).则|2ab|_；在直线AB上，存在一点E，使得b，则点E的坐标为_(第一空2分，第二空3分)【解析】2ab(2，6，4)(2，1，1)(0，5，5)，故|2ab|5.又t(3，1，4)t(1，1，2)(3t，1t，42t)，由b，则b0，所以2(3t)(1t)(42t)0，解得t，因此，此时点E的坐标为.答案：5四、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分15(10分)已知空间中三点A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，设a，b.(1)若|c|3，且c，求向量c；(2)已知向量kab与b互相垂直，求k的值；(3)求ABC的面积【解析】因为空间中三点A(2
10、，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，设a，b，(1)(3，0，4)(1，1，2)(2，1，2)，因为|c|3，且c，所以cmm(2，1，2)(2m，m，2m)，所以|c|3|m|3，所以m1，所以c(2，1，2)或c(2，1，2).(2)由题得a(1，1，0)，b(1，0，2)，所以kabk(1，1，0)(1，0，2)(1k，k，2)，因为向量kab与b互相垂直，所以(kab)b1k40，解得k5.所以k的值是5.(3)(1，1，0)，(1，0，2)，(2，1，2)，cos ，sin ，所以SABC|sin ，.16(10分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC，D是棱AC
11、的中点，且ABBCBB12.(1)求证：AB1平面BC1D；(2)求异面直线AB1与BC1所成的角【解析】(1)如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD.因为O为B1C的中点，D为AC的中点，所以ODAB1.因为AB1平面BC1D，OD平面BC1D，所以AB1平面BC1D.(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，0，0)，A(0，2，0)，C1(2，0，2)，B1(0，0，2)，因此(0，2，2)，(2，0，2).所以cos ，设异面直线AB1与BC1所成的角为，则cos ，由于，故.17(10分)如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE平面ABCD，AFDE，DE3AF，BE与
12、平面ABCD所成角为60.(1)求证：AC平面BDE；(2)求二面角FBED的余弦值；(3)设点M是线段BD上的一个动点，试确定点M的位置，使得AM平面BEF，并证明你的结论【解析】(1)因为DE平面ABCD，AC平面ABCD，所以DEAC，又因为四边形ABCD是正方形，所以ACBD，因为BDDED，所以AC平面BDE.(2)DA，DC，DE两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系，因为BE与平面ABCD所成角为60，即DBE60，所以，由AD3，可知：DE3，所以AF.则A(3，0，0)，F(3，0，)，E(0，0，3)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，所以(0，3，)，(3，0，2)，设平面BEF的法向量为n(x，y，z)，则，即令z，则n.因为AC平面BDE，所以为平面BDE的法向量，因为(3，3，0)，所以cos n，.因为二面角为锐角，故二面角FBED的余弦值为.(3)依题意，设M(t，t，0)(t0)，则(t3，t，0)，因为AM平面BEF，所以n0，即4(t3)2t0，解得t2，所以点M的坐标为(2，2，0)，此时，所以点M是线段BD靠近B点的三等分点