1、第 24 课时 圆周运动规律的应用(题型研究课)命题者说 圆周运动是运动学中的典型运动，是高考的热点。本课时的难点是向心力来源的判断和计算、竖直面内圆周运动的两类模型：绳模型和杆模型。学习本课时，要注意分析受力情况，弄清向心力的来源，同时要注意圆周运动和其他知识的综合问题。一、水平面内的圆周运动题型 1 水平面内圆周运动的动力学分析 题型简述此类问题相对简单，物体所受合外力充当向心力，合外力大小不变，方向总是指向圆心。方法突破(1)选择做匀速圆周运动的物体作为研究对象。(2)分析物体受力情况，其合外力提供向心力。(3)由 Fnmv2r m2rm42rT2 列方程求解。例 1 如图所示，内壁光滑
2、的弯曲钢管固定在天花板上，一根结实的细绳穿过钢管，两端分别拴着一个小球 A 和 B。小球 A 和 B 的质量之比mAmB12。当小球 A在水平面内做匀速圆周运动时，小球 A 到管口的绳长为 l，此时小球 B 恰好处于平衡状态。管子的内径粗细不计，重力加速度为 g。试求：(1)拴着小球 A 的细绳与竖直方向的夹角；(2)小球 A 转动的周期。解析(1)设细绳的拉力为 F，小球 B 处于平衡状态有 FmBg在竖直方向上，小球 A 处于平衡状态，有 Fcos mAg解得 cos mAmB12所以拴着小球 A 的细绳与竖直方向的夹角 60。(2)对于小球 A，细绳拉力的水平分量提供圆周运动的向心力，有
3、 Fsin mAv2r，rlsin 解得小球 A 的线速度为 v32gl又 T2rv，则小球 A 转动的周期 T 2lg。答案(1)60(2)2lg题型 2 水平面内圆周运动的临界问题 题型简述在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，会出现绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力达最大值、弹簧弹力大小或方向发生变化等，从而出现临界问题。方法突破(1)判断临界状态：有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就对应着临界状态；若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等
4、字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往对应着临界状态。(2)确定临界条件：判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来。(3)选择物理规律：当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后列方程求解。例 2 如图所示，用一根长为 l1 m 的细线，一端系一质量为 m1 kg 的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角 37，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为 时，细线的张力为 FT(sin 370.6，cos 370.8，g 取 10 m/s2，结果可
5、用根式表示)。求：(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度 0 至少为多大？(2)若细线与竖直方向的夹角为 60，则小球的角速度 为多大？解析(1)若要小球刚好离开锥面，则小球受到重力和细线拉力，如图所示。小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得mgtan m02lsin 解得 02glcos，即 0glcos 5 22 rad/s。(2)同理，当细线与竖直方向成 60角时，由牛顿第二定律及向心力公式得 mgtan m2lsin 解得 2glcos，即 glcos 2 5 rad/s。答案(1)5 22 rad/s(2)2 5 rad/s水平面
6、内圆周运动临界问题的分析技巧在水平面内做圆周运动的物体，当角速度 变化时，物体有远离或向着圆心运动的趋势(半径有变化)。这时要根据物体的受力情况，判断某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。题型 3 水平面内圆周运动与平抛运动的综合问题 题型简述此类问题往往是物体先做水平面内的匀速圆周运动，后做平抛运动，有时还要结合能量关系分析求解，多以选择题或计算题形式考查。方法突破(1)明确水平面内匀速圆周运动的向心力来源，根据牛顿第二定律和向心力公式列方程。(2)平抛运动一般是沿水平方向和竖直方向分解速度或位移。(3)速度是联系前后两个过程的关键物理量，前一个
7、过程的末速度是后一个过程的初速度。例 3(2017厦门质检)如图所示，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动。现测得转台半径 R0.5 m，离水平地面的高度 H0.8 m，物块平抛落地过程水平位移的大小 s0.4 m。设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度 g10 m/s2。求：(1)物块做平抛运动的初速度大小 v0；(2)物块与转台间的动摩擦因数。解析(1)设物块做平抛运动所用时间为 t，竖直方向有 H12gt2 水平方向有 sv0t联立两式得 v0sg2H1 m/s。(2)物块离开转台时，最大静摩擦力提供向心力，有mg
8、mv02R 联立得 v02gR0.2。答案(1)1 m/s(2)0.2二、竖直面内的圆周运动1.轻绳模型和轻杆模型概述在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类。一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等)，称为“轻绳模型”；二是有支撑(如球与杆连接，小球在弯管内运动等)，称为“轻杆模型”。2两类模型对比轻绳模型轻杆模型情景图示弹力特征弹力可能向下，也可能等于零弹力可能向下，可能向上，也可能等于零受力示意图轻绳模型轻杆模型力学方程mgFTmv2rmgFNmv2r临界特征FT0，即 mgmv2r，得 v grv0，即 F 向0，此时 FNmgv gr的意义物体能否
9、过最高点的临界点FN 表现为拉力还是支持力的临界点模型 1 轻绳模型 例 1 如图所示，轻绳的一端固定在 O 点，另一端系一质量为 m 的小球(可视为质点)。当小球在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动时，通过传感器测得轻绳拉力 T、轻绳与竖直线 OP 的夹角 满足关系式 Tabcos，式中 a、b 为常数。若不计空气阻力，则当地的重力加速度为()A.b2m B.2bmC.3bmD.b3m解析 设小球在最低点，即 0 时的速度为 v1，拉力为 T1，在最高点，即 180时的速度为 v2，拉力为 T2，在最低点有：T1mgmv12R，在最高点有：T2mgmv22R，根据动能定理有：2mgR 12mv
10、1212mv22，可得 T1T26mg，对比 Tabcos，有 T1ab，T2ab，故 T1T22b，即 6mg2b，故当地重力加速度 g b3m，选项 D 正确。答案 D模型 2 轻杆模型例 2(2017烟台模拟)一轻杆一端固定质量为 m 的小球，以另一端 O 为圆心，使小球在竖直面内做半径为 R 的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是()A小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零B小球过最高点的最小速度是 gRC小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大D小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小解析 轻杆可对小球产生向上的支持力，小球经过最高点的速度可以为零，当小球过最
11、高点的速度 v gR时，杆所受的弹力等于零，A 正确，B 错误；若 v gR，则杆在最高点对小球的弹力竖直向上，mgFmv2R，随 v 增大，F 减小，若 v gR，则杆在最高点对小球的弹力竖直向下，mgFmv2R，随 v 增大，F增大，故 C、D 均错误。答案 A模型 3 复合模型(竖直面内圆周运动与平抛运动的组合)模型简述此类问题有时物体先做竖直面内的变速圆周运动，后做平抛运动；有时物体先做平抛运动，后做竖直面内的变速圆周运动，往往要结合能量关系求解，多以计算题形式考查。方法突破(1)竖直面内的圆周运动首先要明确是“轻杆模型”还是“轻绳模型”，然后分析物体能够到达圆周最高点的临界条件。(2
12、)速度是联系前后两个过程的关键物理量。例 3 如图所示，一条不可伸长的轻绳上端悬挂于 O 点，下端系一质量 m1.0 kg 的小球。现将小球拉到 A 点(保持绳绷直)由静止释放，当它经过 B 点时绳恰好被拉断，小球平抛后落在水平地面上的 C 点，地面上的 D 点与OB 在同一竖直线上，已知绳长 L1.0 m，B点离地高度 H1.0 m，A、B 两点的高度差 h0.5 m，重力加速度 g 取 10 m/s2，不计空气阻力，求：(1)地面上 D、C 两点间的距离 s；(2)轻绳所受的最大拉力大小。解析(1)小球从 A 到 B 过程机械能守恒，则mgh12mvB2小球从 B 到 C 做平抛运动，则水
13、平方向 svBt竖直方向 H12gt2 联立式解得 s1.41 m。(2)小球下摆到 B 点，绳子的拉力和小球重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律有 FmgmvB2L 联立式解得 F20 N由牛顿第三定律得 FF20 N即轻绳所受的最大拉力为 20 N。答案(1)1.41 m(2)20 N通法归纳竖直面内圆周运动的求解思路三、斜面上的圆周运动在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同，下面列举三类题型。题型 1 静摩擦力控制下的圆周运动 例 1(2014安徽高考)如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角
14、速度 转动，盘面上离转轴距离 2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为 32(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为 30，g 取 10 m/s2。则 的最大值是()A.5 rad/sB.3 rad/sC1.0 rad/s D0.5 rad/s解析 物体随圆盘做圆周运动，运动到最低点时最容易滑动，因此物体在最低点且刚好要滑动时的转动角速度为最大值，这时，根据牛顿第二定律可知，mgcos 30mgsin 30mr2，求得 1.0 rad/s，C 项正确，A、B、D 项错误。答案 C题型 2 轻杆控制下的圆周运动例 2 如图所示，在倾角为 30的光滑斜
15、面上，有一根长为 L0.8 m 的轻杆，一端固定在 O 点，另一端系一质量为 m0.2 kg 的小球，沿斜面做圆周运动，取 g10 m/s2，若要小球能通过最高点 A，则小球在最低点 B 的最小速度是()A4 m/s B2 10 m/sC2 5 m/s D2 2 m/s解析 小球受轻杆控制，在 A 点的最小速度为零，由2mgLsin 12mvB2 可得 vB4 m/s，A 正确。答案 A题型 3 轻绳控制下的圆周运动 例 3(2017开封模拟)如图所示，一块足够大的光滑平板放置在水平面上，能绕水平固定轴 MN 调节其与水平面所成的倾角。板上一根长为 l0.60 m 的轻细绳，它的一端系住一质量
16、为 m 的小球 P，另一端固定在板上的 O 点。当平板的倾角固定为 时，先将轻绳平行于水平轴 MN 拉直，然后给小球一沿着平板并与轻绳垂直的初速度 v03.0 m/s。若小球能保持在板面内做圆周运动，倾角 的值应在什么范围内？(取重力加速度 g10 m/s2)解析 小球在倾斜平板上运动时受到绳子拉力、平板弹力、重力。在垂直平板方向上合力为 0，重力在沿平板方向的分量为 mgsin 小球在最高点时，由绳子的拉力和重力沿平板方向的分力的合力提供向心力，有 FTmgsin mv12l 研究小球从释放到最高点的过程，根据动能定理有mglsin 12mv1212mv02 若恰好能通过最高点，则绳子拉力 FT0 联立解得 sin 12，解得 30故 的范围为 030。答案 030通法归纳与竖直面内的圆周运动类似，斜面上的圆周运动也是集中分析物体在最高点和最低点的受力情况，列牛顿运动定律方程来解题。只是在受力分析时，一般需要进行立体图到平面图的转化，这是解斜面上圆周运动问题的难点。课时达标检测点击此处阶段综合评估点击此处