1、第39讲 推理与证明(二)【学习目标】1结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法，了解分析法和综合法的思考过程、特点2结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法，了解反证法的思考过程、特点【基础检测】1下列表述：综合法是由因导果法；综合法是顺推法；分析法是执果索因法；分析法是逆推法；反证法是间接证法其中正确的有()A2 个B3 个C4 个D5 个D2要证：a2b21a2b20，只要证明()A2ab1a2b20Ba2b21a4b420C.（ab）221a2b20D(a21)(b21)0D【解析】由分析法，只要证(a21)(b21)0，即可3用反证法证明某命
2、题时，对结论：“自然数 a，b，c 中恰有一个偶数”正确的反设是()Aa，b，c 中至少有两个偶数Ba，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数Ca，b，c 都是奇数Da，b，c 都是偶数【解析】自然数 a，b，c 的情况为：a，b，c 全为偶数，a，b，c 有两个为偶数，a，b，c 有一个为偶数，a，b，c 全为奇数，反设是 a，b，c 中至少有两个偶数或都为奇数B 4设 a 3 2，b 6 5，c 7 6，则 a，b，c 的大小顺序是()AabcBbcaCcab Dacb【解析】a13 2，b16 5，c17 6.0 3 2 6 516 517 6，abc.A C5在实数的原有运算法则中，我们补
3、充定义新运算“”如下(“”和“”仍为通常的乘法和减法)：当 ab 时，aba；当 ab 时，abb2.则函数 f(x)(1x)x(2x)(x2，2)的最大值等于()A1 B1 C6 D12【知识要点】1直接证明(1)从原命题的条件逐步推得命题成立的证明称为_综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方法(2)从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止这种证明方法常称为_直接证明综合法推证过程如下：已知条件 结论.用文字表示为：“因为所以”或“由得”，其思维过程是由因导果(3)从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件逐步上
4、溯，直到使结论成立的条件与已知条件或 已 知 事 实 吻 合 为 止 这 种 证 明 方 法 常 称 为_推论过程如下：结论 已知条件.用文字表示为：“要证只需证”，“即证”，其思维过程是执果索因分析法2间接证明反证法(1)假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做_(2)反证法证题的步骤：先假设原命题结论_ 成立，即假设结论反面成立；由假设出发进行正确的推理，直至推出矛盾为止所得矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等；由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立简言之：否定归谬断言反证法不一、
5、用综合法证明问题例1设 a，b，c 为任意三角形三边长，abc1，Sabbcca，证明 4S1.【解析】证明：由 12(abc)2a2b2c22(abbcca)a2b2c22S，a，b，c 为任意三角形三边长，abc，bca，cab，a2a(bc)，b2b(ca)，c2c(ab)，即(a2abac)(b2bcba)(c2cacb)0，a2b2c22(abbcca)0，a2b2c22S，a2b2c22S1.【点评】(1)本题考查三角形中不等式关系的综合应用综合法的思维特点是：由已知推出结论另外，用综合法证明不等式中常用的重要不等式有：a20；a2b22ab(a，bR)；ab2 ab(a，bR)；
6、baab2(a，b 同号)等(2)由于作为综合法证明依据的不等式本身是可以根据不等式的意义、性质或比较法证出的，所以用综合法可以获证的不等式往往可以直接根据不等式的意义、性质或比较法来证明二、用分析法证明问题例2已知 a0，求证：a2 1a2 2a1a2.【解析】要证a2 1a2 2a1a2，只要证a2 1a22a1a 2.a0，故只要证a2 1a22 2a1a 22，即 a2 1a24a2 1a24a22 1a22 2a1a 2，从而只要证 2a2 1a2 2a1a.只要证 4a2 1a2 2a22 1a2，即 a2 1a22，而该不等式显然成立，故原不等式成立【点评】逆向思考是分析法证题的
7、主要思想，通过反推寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向是使问题迅速获解的关键三、用反证法证明问题例3已知 a，b，c(0，1)，求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a 不同时大于14.【解析】假设(1a)b14，(1b)c14，(1c)a14.0a1，1a0.（1a）b2（1a）b 14 12，同理可得：（1b）c212，（1c）a212，得：1ab21bc21ca232即3232，这与3232相矛盾 假设不成立，因此(1a)b，(1b)c，(1c)a不同时大于14.【点评】(1)用反证法证明命题“若 p，则 q”时，可能出现以下三种情况：导出非 p 为真，即与原命题的条件矛盾；导出
8、q 为真，即与假设“非 q 为真”矛盾；导出一个恒假命题(2)一般地，以下题型宜用反证法：当结论的反面比结论本身更简单、更具体、更明确时，宜考虑用反证法去证 否 定 型 命 题(命 题 的 结 论 是“不 可 能的”，“不能表示为”，“不是”，“不存在”，“不等于”，“不具有某种性质”等)，唯一性命题，存在性命题，“至少”、“至多”型命题，某些命题的逆命题等都可用反证法去证 有的肯定式命题，由于已知或结论涉及到无限个元素，如“无限多个数”，“无穷多个交点”，“无限不循环小数”等，因为我们要直接证明无限的情形比较困难，因而也往往采用反证法(3)反证法的原理是“正难则反”，它常常是解决某些“疑难”
9、问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器备选题例4已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，且 2nSn12(n1)Snn2n(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)证明：22 1（n1）（n2）1a21 2a22 3a23 na2n 2 22(nN*)【解 析】(1)由 2nSn 1 2(n 1)Sn n2n(nN*),得 Sn1n1Snn 12，所以数列Snn 是以S11 1 为首项，12为公差的等差数列 Snn S1 (n 1)12 n12，得 Sn n（n1）2，当 n2 时，anSnSn 1n（n1）2（n1）n2n，经检验，a11 也满足上式 综上所述，ann(nN*)(2
10、)证明：由(1)可知 ann(nN*)，所以 na2n nn2 1n3，所以即证 22 1（n1）（n2）1 123133 1n3 n1 n1，所以当n2时，1n3 1n（n1）（n1）2（n1）（n1）2 n 2（n1）（n1）（n1 n1）n1 n1（n1）（n1）1n11n1，所以 1 123 133 1n311 13 12 14 1n11n1 2 22(nN*)，而当 n1 时，显然 12 22 成立，所以 1 123 133 1n3 n2 n，所以1n31n（n1）（n2）n2 nn（n1）（n2）1n（n1）1（n1）（n2），1 123 133 1n31121231231341n
11、（n1）1（n1）（n2）22 1（n1）（n2）.【点评】本题主要考查数列相关知识的应用及不等式的证明，考查运算求解能力，推理论证能力分析法与综合法各有特点，在解决实际问题时，常把分析法与综合法结合起来运用1关于综合法与分析法综合法的特点：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件分析法的特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实质上是要寻找它的充分条件从而看出，综合法与分析法是两种思路截然相反的证明方法，既对立又统一用综合法证题前往往用分析法寻找解题思路，即所谓的“分析”因此，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程并且在解决较
12、复杂问题时，往往是分析法与综合法相互结合使用2关于反证法使用反证法证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公式、事实矛盾等反证法的步骤：(1)反设；(2)推出矛盾；(3)下结论矛盾的主要类型：(1)与假设矛盾；(2)与数学公式、法则、公理、定理、定义或已被证明了的结论矛盾；(3)与公认的简单事实矛盾；(4)自相矛盾(2014 山东)用反证法证明命题“设 a，b 为实数，则方程 x3axb0 至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程 x3axb0 没有实根B方程 x3axb0 至多有一个实根C方程 x3axb0 至多有两个实根D方程
13、 x3axb0 恰好有两个实根A【解析】依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定方程x3axb0 至少有一个实根的反面是方程 x3axb0 没有实根，故应选 A.1用反证法证明命题“如果 ab，那么3 a3 b”时，假设的内容应是()A.3 a3 bB.3 a3 bD.3 a3 b，或3 a3 bD2已知实数 a，b 满足等式12a13b，下列五个关系式0ba，ab0，0ab，ba0，ab.其中不可能成立的关系式有()A1 个B2 个C3 个D4 个B 3在非等边三角形中，a 为最大边，要想得到 A 为钝角的结论，则 a，b，c 三边应满足的条件是()Aa2b2c2
14、Da2b2c2C【解析】由 cos Ab2c2a22bc0，知 b2c2a2b2c2，选 C.4若 a，bR，则下面四个式子中恒成立的是()Alg(1a2)0Ba2b22(ab1)Ca23ab2b2D.ab0，q0，则不等式 logx(pq)1成立的一个充分条件是()A0 x14 B.14x12C.12x1D 6下列条件：ab0，ab0，b0，a0，b0 且ab0，即 a，b 不为 0 且同号即可，故有 3 个7试比较下列各式的大小(不写过程)1 2与 2 3；2 3与 3 4.通过上式请你推测出 n1 n与 n n1(n2 且 nN)的大小，并用分析法加以证明【解析】1 2 2 3；2 3
15、34.由上式可推测出 n1 n n n1，用 分 析 法 证 明：要 证n1 n n n1，只需证：n1 n12 n，两边平方化简得：2n2 n214n，只需证：n21n，两边平方，即 n21n2，显然成立 所以 n1 n n n1.8已知数列an中，Sn 是它的前 n 项和，并且 Sn14an2(n1，2，)，a11.(1)设 bnan12an(n1，2，)，求证：数列bn是等比数列；(2)设 cnan2n(n1，2，)，求证：数列cn是等差数列；(3)求数列an的通项公式及前 n 项和公式【解析】(1)证明：Sn14an2，Sn24an12，两式相减，得 Sn2Sn14an14an(n1，
16、2，)，即 an24an14an，变形得 an22an12(an12an)，bnan12an(n1，2，)，bn12bn.由此可知，数列bn是公比为 2 的等比数列(2)证明：由 S2a1a24a12，a11.得 a25，b1a22a13，故 an2n(n1，2，)，cn1cnan12n1an2nan12an2n1 bn2n1.将 bn32n1 代入得 cn1cn34(n1，2，)，由此可知，数列cn是公差为34的等差数列，它的首项 c1a12 12，故 cn34n14(n1，2，)(3)cn34n1414(3n1)an2ncn(3n1)2n2(n1，2，)，当 n2 时，Sn4an12(3n4)2n12.由于 S1a11 也适合于此公式，所以an的前 n 项和公式为 Sn(3n4)2n12.