1、第四节对数函数第1课时对数函数的概念课标要点核心素养1理解对数函数的概念，会求对数函数的定义域2能画出具体对数函数的图象，并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质1通过学习对数函数的图象，培养直观想象素养2借助对数函数的定义域的求解，培养数学运算的素养1对数函数一般地，函数y=logax称为对数函数，其中a是常数，a0且a12对数函数y=logax的一些简单性质：（1）定义域是（0，+），因此函数图象一定在y轴的右边（2）值域是R（3）函数图象一定过点（1，0）（4）当a1时，y=logax是增函数；当0a1时，对数函数的图象“上升”；当0a0可得x-1，所以函数的定义域为（-1，+），所以（
2、3）错（4）对数函数的图象都过定点（1，0）（5）由对数函数的图象可知正确答案（1）（2）（3）（4）（5）对数函数定义兴趣探究思考（1）对数函数的定义域是什么？为什么？（2）对数函数的解析式有何特征？答案（1）定义域为（0，+），因为负数和零没有对数（2）a0，且a1；logax的系数为1；自变量x的系数为1知识归纳1判断一个函数是对数函数必须是形如y=logax（a0且a1）的形式，即必须满足以下条件：（1）底数a0且a1；（2）自变量x在真数的位置上，且x0；（3）在解析式y=logax中，logax的系数必须是1，真数必须是x2求与对数函数有关的函数的定义域问题应遵循的原则（1）要保证
3、根式有意义；（2）要保证分母不为0；（3）要保证对数式有意义，即若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1提醒定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1考向例题考向一对数函数概念的应用【例1】（1）下列给出的函数：y=log5x+1；y=logax2（a0且a1）；y=log(3-1)x；y=13log3x；y=logx3（x0，且x1）；y=log2x，其中是对数函数的为（）ABCD（2）若函数y=log（2a-1
4、）x+（a2-5a+4）是对数函数，则a=解析（1）中对数式后面加1，所以不是对数函数；中真数不是自变量x，所以不是对数函数；和符合对数函数概念的三个特征，是对数函数；中log3x前的系数不是1，所以不是对数函数；中底数是自变量x，而非常数a，所以不是对数函数故正确（2）由于y=log（2a-1）x+（a2-5a+4）是对数函数，则有2a-10,2a-11,a2-5a+4=0,解得a=4答案（1）D（2）4考向二对数函数的定义域【例2】求下列函数的定义域：（1）f（x）=lg （x-2）+1x-3；（2）f（x）=1log12x+1；（3）f（x）=log（x+1）（16-4x）解析（1）要使
5、函数有意义，需满足x-20,x-30,解得x2且x3，所以函数定义域为（2，3）（3，+）（2）要使函数f（x）有意义，则log12x+10且x0，即log12x-1，解得0x0,x+10,x+11,解得-1x0或0x0，且a+11，所以a=1答案12若f（x）=1log12(2x+1)，则f（x）的定义域为（）A（-12，0）B（-12，+）C（-12，0）（0，+）D（-12，2）解析由题意知2x+10,2x+11,解得x-12且x0答案C对数函数的图象兴趣探究思考1对数函数y=logax（a0且a1）的图象过哪一定点？函数f（x）=loga（2x-1）+2（a0且a1）的图象又过哪一定点
6、呢？2从左向右，对数函数y=logax（a0且a1）的图象呈上升趋势还是下降趋势？其图象是上凸还是下凸？3如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y=loga1x，y=loga2x，y=loga3x，y=loga4x的图象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？答案1对数函数y=logax（a0且a1）的图象过定点（1，0）；在f（x）=loga（2x-1）+2中，令2x-1=1，即x=1，则f（1）=2，所以函数f（x）=loga（2x-1）+2（a0且a1）的图象过定点（1，2）2当0a0且a1）的图象从左向右呈下降趋势，此时其图象下凸；当a1时，对数函数y=logax（a0且
7、a1）的图象从左向右呈上升趋势，此时其图象上凸3作直线y=1（图略），它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小，必有a4a31a2a10知识归纳1画对数函数图象时要注意的问题（1）明确图象位置：对数函数图象都在y轴右侧，当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交（2）强化讨论意识：画对数函数图象之前要对底数a的取值范围是a1，还是0a0且a1）的图象经过点（1，0），（a，1）和（1a，-1）2常见的函数图象的变换技巧（1）y=f（x）y=f（|x|）（2）y=f（x）y=|f（x）|（3）y=f（x）y=f（-x）（4）y=
8、f（x）y=-f（x）考向例题考向一对数函数的图象【例3】（1）如图所示，曲线是对数函数y=logax的图象，已知a取3，43，35，110，则对应于c1、c2、c3、c4的a值依次为（）A3、43、35、110B3、43、110、35C43、3、35、110D43、3、110、35（2）已知f（x）=loga|x|，满足f（-5）=1，试画出函数f（x）的图象解析（1）法一：观察在（1，+）上的图象，先排c1、c2底的顺序，底都大于1，当x1时图象靠近x轴的底大，c1、c2对应的a分别为3、43然后考虑c3、c4底的顺序，底都小于1，当x1时图象靠近x轴的底小，c3、c4对应的a分别为35、
9、110综合以上分析，可得c1、c2、c3、c4的a值依次为3、43、35、110故选A法二：作直线y=1与四条曲线交于四点，由y=logax=1，得x=a（即交点的横坐标等于底数），所以横坐标小的底数小，所以c1、c2、c3、c4对应的a值分别为3、43、35、110，故选A（2）f（x）=loga|x|，f（-5）=loga5=1，即a=5，f（x）=log5|x|，f（x）是偶函数，其图象如图所示答案（1）A（2）答案见解析即时巩固1如图，若C1，C2分别为函数y=logax和y=logbx的图象，则（）A0ab1B0bab1Dba1解析作直线y=1，则直线y=1与C1，C2的交点的横坐标
10、分别为a，b，易知0ba0，a1）的图象如图，则下列结论成立的是（）Aa1，c1Ba1，0c1C0a1D0a1，0c1解析函数单调递减，0a1，当x=1时，loga（x+c）=loga（1+c）1，c0，当x=0时，loga（x+c）=logac0，即c10c0且a1）”的形式，只有D选项符合答案D2函数f（x）=1-xlg(x+1)的定义域是（）A（-1，+）B-1，+）C（-1，0）（0，+）D-1，1）（1，+）解析由题意，得x+10,x+11x-1且x0故选C答案C3函数y=x+a与函数y=logax的图象可能是（）解析因为a为对数函数y=logax的底数，所以a0且a1同时a为直线y
11、=x+a在y轴上的截距，所以排除A、D当a1时，y=logax为增函数，y=x+a在y轴上的截距大于1，所以排除B答案C4已知函数f（x）=loga（x-1）+4（a0，且a1）的图象恒过定点Q，则Q点坐标是解析令x-1=1，即x=2则f（x）=4即函数图象恒过定点Q（2，4）答案（2，4）5若函数y=loga（x+a）（a0且a1）的图象过点（-1，0）（1）求a的值；（2）求函数的定义域解析（1）将点（-1，0）代入y=loga（x+a）（a0且a1）中，有0=loga（-1+a），则-1+a=1，所以a=2（2）由（1）知y=log2（x+2），由x+20，解得x-2，所以函数的定义域为x|x-2
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