1、2015-2016学年安徽省安庆市枞阳县白云中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共60分）1函数f（x）=（x+1）（x1），则f（2）=（）A3B2C4D02已知函数f（x）=x2x+2，则f（x）dx=（）ABC2D33已知a为实数，则a=（）A.1BC.D.24“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于（）A演绎推理B类比推理C合情推理D归纳推理5已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P（1，1），且在点Q（2，1）处的切线平行于直线y=x3，则抛物线方程为（）Ay=3x211x+9By=3x2+11x+9Cy=3x211x9Dy=3x211x+96命
2、题p：xR，使得3xx；命题q：若函数y=f（x1）为偶函数，则函数y=f（x）关于直线x=1对称，则（）Apq真Bpq真Cp真Dq假7在复平面内，复数+（1+i）2对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限8如图，阴影部分的面积是（）A2B2CD9函数f（x）=sin2x的导数f（x）=（）A2sinxB2sin2xC2cosxDsin2x10下列说法正确的是（）A函数y=|x|有极大值，但无极小值B函数y=|x|有极小值，但无极大值C函数y=|x|既有极大值又有极小值D函数y=|x|无极值11下列函数在点x=0处没有切线的是（）Ay=3x2+cosxBy=xsinxCD12已
3、知抛物线C的方程为x2=y，过点A（0，1）和点B（t，3）的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（）A（，1）（1，+）B（，）（，+）C（，2）（2，+）D（，）（，+）二、填空题（每小题5分，共20分）13函数f（x）=x3+x2单调递减区间是14若复数z=（a22a）+（a2a2）i为纯虚数，则实数a的值等于15已知函数f（x）=x3+3x2+9x+m在区间2，2上的最大值是20，则实数m的值等于16通过观察下面两等式的规律，请你写出一般性的命题：sin230+sin290+sin2150=sin25+sin265+sin2125=三、解答题（共6小题，满分70分）17已知抛
4、物线y=x2+bx+c在点（1，2）处的切线与直线x+y+2=0垂直，求函数y=x2+bx+c的最值18求函数y=x42x2+5在区间2，2上的最大值与最小值19求曲线y=x2过点P（1，1）的切线方程20已知ABC中，点A，B的坐标分别为A（，0），B（，0）点C在x轴上方（1）若点C坐标为（，1），求以A，B为焦点且经过点C的椭圆的方程：（2）过点P（m，0）作倾斜角为的直线l交（1）中曲线于M，N两点，若点Q（1，0）恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值21已知函数f（x）=ax3+cx+d（a0）在R上满足 f（x）=f（x），当x=1时f（x）取得极值2（1）求f（x）的单调区间
5、和极大值；（2）证明：对任意x1，x2（1，1），不等式|f（x1）f（x2）|4恒成立22在各项为正的数列an中，数列的前n项和Sn满足Sn=（an+），（1）求a1，a2，a3；（2）由（1）猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想2015-2016学年安徽省安庆市枞阳县白云中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1函数f（x）=（x+1）（x1），则f（2）=（）A3B2C4D0【考点】导数的运算【分析】直接求出原函数的导函数，在导函数中取x=2得答案【解答】解：由f（x）=（x+1）（x1）=x21，得f（x）=2x，f（2）=22
6、=4故选：C2已知函数f（x）=x2x+2，则f（x）dx=（）ABC2D3【考点】定积分【分析】根据定积分法则计算即可【解答】解： f（x）dx=（x2x+2）dx=（x2x2+2x）|=+2=，故选：B3已知a为实数，则a=（）A.1BC.D.2【考点】复数的基本概念【分析】化简复数的左侧部分为a+bi的形式，虚部为0，求出实部满足不等式的a的值即可【解答】解： =，所以a=时=2；故选B4“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于（）A演绎推理B类比推理C合情推理D归纳推理【考点】演绎推理的基本方法【分析】本题考查的是演绎推理的定义，判断一个推理过程是否是演绎推理关键是
7、看他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分【解答】解：在推理过程“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”中所有金属都能导电，是大前提铁是金属，是小前提所以铁能导电，是结论故此推理为演绎推理故选A5已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P（1，1），且在点Q（2，1）处的切线平行于直线y=x3，则抛物线方程为（）Ay=3x211x+9By=3x2+11x+9Cy=3x211x9Dy=3x211x+9【考点】直线与抛物线的位置关系；利用导数研究曲线上某点切线方程；直线与圆锥曲线的关系【分析】先求导数y=2ax+b，而根据条件知抛物线过点P（1，1），Q（2，1），以
8、及在Q点的切线斜率为1，这样便可得出关于a，b，c的方程组，解出a，b，c便可得出抛物线的方程【解答】解：y=2ax+b，抛物线在点Q（2，1）处的切线斜率为：4a+b；根据条件知抛物线过P，Q点，过Q的切线斜率为1；解得；抛物线方程为y=3x211x+9故选：A6命题p：xR，使得3xx；命题q：若函数y=f（x1）为偶函数，则函数y=f（x）关于直线x=1对称，则（）Apq真Bpq真Cp真Dq假【考点】复合命题的真假【分析】容易判断p为真命题，知道f（x）的图象是由f（x1）的图象向左平移1个单位得到，根据f（x1）为偶函数便知f（x1）的图象关于x=0对称，从而得出f（x）的图象关于x=
9、1对称，从而判断出命题q为假命题，从而可判断pq为真，A便是正确选项【解答】解：命题p：命题p为真命题，比如a=1时311；命题q：f（x1）为偶函数，f（x1）的图象关于x=0对称；f（x）的图象是将f（x1）的图象向左平移1个单位得到；f（x）的图象关于x=1对称；命题q是假命题；pq真，pq假，p假，q真故选A7在复平面内，复数+（1+i）2对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念【分析】利用复数的除法及乘法法则化简复数，利用复数的几何意义求出复数对应的点，据点坐标的符号判断所在象限【解答】解：=复数对应的点为（）该点在第二象
10、限故选项为B8如图，阴影部分的面积是（）A2B2CD【考点】定积分在求面积中的应用【分析】利用定积分的几何意义表示出阴影部分的面积，然后计算【解答】解：由题意，结合图形，得到阴影部分的面积是=（3x）|=；故选C9函数f（x）=sin2x的导数f（x）=（）A2sinxB2sin2xC2cosxDsin2x【考点】简单复合函数的导数【分析】将f（x）=sin2x看成外函数和内函数，分别求导即可【解答】解：将y=sin2x写成，y=u2，u=sinx的形式对外函数求导为y=2u，对内函数求导为u=cosx，故可以得到y=sin2x的导数为y=2ucosx=2sinxcosx=sin2x故选D10
11、下列说法正确的是（）A函数y=|x|有极大值，但无极小值B函数y=|x|有极小值，但无极大值C函数y=|x|既有极大值又有极小值D函数y=|x|无极值【考点】函数的图象【分析】根据函数y=|x|的图象，得出结论【解答】解：根据函数y=|x|的图象，可得函数y有极小值，但无极大值，故选：B11下列函数在点x=0处没有切线的是（）Ay=3x2+cosxBy=xsinxCD【考点】导数的运算【分析】根据导数的定义可得答案【解答】解：在x=0处不可导故选D12已知抛物线C的方程为x2=y，过点A（0，1）和点B（t，3）的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（）A（，1）（1，+）B（，）（
12、，+）C（，2）（2，+）D（，）（，+）【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】设过A的直线方程，与抛物线方程联立，根据判别式求得k，求得过A的抛物线的切线与y=3的交点，则当过点A（0，1）和点B（t，3）的直线与抛物线C没有公共点，进而求得t的范围【解答】解：如图，设过A的直线方程为y=kx1，与抛物线方程联立得x2kx+=0，=k22=0，k=2，求得过A的抛物线的切线与y=3的交点为（，3），则当过点A（0，1）和点B（t，3）的直线与抛物线C没有公共点，实数t的取值范围是（，）（，+），故选D二、填空题（每小题5分，共20分）13函数f（x）=x3+x2单调递减区间是，0【考点】利
13、用导数研究函数的单调性【分析】根据f（x）的导函数建立不等关系，可得f（0）0，建立不等量关系，求出单调递减区间即可【解答】解：f（x）=3x2+2x，3x2+2x0，解得x0，函数f（x）=x3+x2单调递减区间是，0，故答案为：，014若复数z=（a22a）+（a2a2）i为纯虚数，则实数a的值等于0【考点】复数的基本概念【分析】由纯虚数的定义可知，解之可得【解答】解：由纯虚数的定义可知，由方程可解得a=0，或a=2，但a=2时a2a2=0，矛盾，故答案为：015已知函数f（x）=x3+3x2+9x+m在区间2，2上的最大值是20，则实数m的值等于2【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分
14、析】先将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值，再根据条件求出m的值，最小值即可求得【解答】解：f（x）=x3+3x2+9x+m（m为常数）f（x）=3x2+6x+9令f（x）=3x2+6x+9=0，解得x=1或3（舍去）当2x1时，f（x）0，当1x2时，f（x）0当x=1时取最小值，而f（2）=22+mf（2）=2+m，即最大值为22+m=20，m=2，故答案为：216通过观察下面两等式的规律，请你写出一般性的命题：sin230+sin290+sin2150=sin25+sin265+sin2125=sin2（60）+sin2+sin2（+60
15、）=【考点】归纳推理【分析】已知条件中：sin230+sin290+sin2150=，sin25+sin265+sin2125=可以发现等式左边参加累加的三个均为正弦的平方，且三个角组成一个以60为公差的等差数列，右边是常数，由此不难得到结论【解答】解：由已知中sin230+sin290+sin2150=，sin25+sin265+sin2125=归纳推理的一般性的命题为：sin2（60）+sin2+sin2（+60）=证明如下：左边=+= cos（2120）+cos2+cos（2+120）=右边结论正确故答案为：sin2（60）+sin2+sin2（+60）=三、解答题（共6小题，满分70分
16、）17已知抛物线y=x2+bx+c在点（1，2）处的切线与直线x+y+2=0垂直，求函数y=x2+bx+c的最值【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，求出b，c的值，利用二次函数的性质即可得到结论【解答】解：y=x2+bx+c，函数的导数为f（x）=2x+b，抛物线在点（1，2）处的切线斜率k=2+b，切线与直线x+y+2=0垂直，2+b=1，即b=1，点（1，2）也在抛物线上，1+b+c=2，得c=2即函数y=x2+bx+c=x2x+2=（x）2+，当x=时，函数取得最小值，函数无最大值18求函数y=x42x2+5在区间2，2上的最大值与最小值【考
17、点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】利用导数研究函数的单调性、极值、最值并列出表格即可得出【解答】解：先求导数，得y=4x34x，令y0，即4x34x0，解得1x0或x1；令y0，即4x34x0，解得x1或0x1如下表：X2（2，1）1（1，0）0（0，1）1（1，2）2y0+00+y1345413从上表知，当x=2时，函数有最大值13，当x=1时，函数有最小值419求曲线y=x2过点P（1，1）的切线方程【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】设出切点Q（a，a2），求出导数，求得切线的斜率，求出切线的方程，代入点P，解得a，即可得到所求切线的方程【解答】解：设Q（a，a2）点是过
18、P点的切线与y=x2的切点，y=x2过的导数为y=2x，即有切线斜率2a，切线方程为：ya2=2a（xa）又切线过P（1，1），即有1a2=2a（1a），解得a=1，故切线方程为y=（2+2）x（3+2）或y=（22）x（32）20已知ABC中，点A，B的坐标分别为A（，0），B（，0）点C在x轴上方（1）若点C坐标为（，1），求以A，B为焦点且经过点C的椭圆的方程：（2）过点P（m，0）作倾斜角为的直线l交（1）中曲线于M，N两点，若点Q（1，0）恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（1）设椭圆方程为（ab0），确定椭圆的几何量，即
19、可求出以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；（2）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及Q恰在以MN为直径的圆上，即可求实数m的值【解答】解：（1）设椭圆方程为（ab0），则c=，C，A，2a=|AC|+|BC|=4，b=，椭圆方程为（2）直线l的方程为y=（xm），令M（x1，y1），N（x2，y2），将y=（xm）代入椭圆方程，消去y可得6x28mx+4m28=0，若Q恰在以MN为直径的圆上，则，即m2+1（m+1）（x1+x2）+2x1x2=0，3m24m5=0解得21已知函数f（x）=ax3+cx+d（a0）在R上满足 f（x）=f（x），当x=1时f（x）取得极值2（1）求f（x
20、）的单调区间和极大值；（2）证明：对任意x1，x2（1，1），不等式|f（x1）f（x2）|4恒成立【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）由f（x）=f（x）（xR）得d=0，求得f（x）的导数，由题意可得f（1）=0，f（1）=2，解得a=1，c=3，求得f（x）的导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间，进而得到极大值；（2）求出f（x）在1，1的最大值M和最小值m，对任意的x1，x2（1，1），恒有|f（x1）f（x2）|Mm，即可得证【解答】解：（1）由f（x）=f（x）（xR）得d=0，f（x）=ax3+c
21、x，f（x）=ax2+c由题设f（1）=2为f（x）的极值，必有f（1）=0，解得a=1，c=3，f（x）=3x23=3（x1）（x+1）从而f（1）=f（1）=0当x（，1）时，f（x）0，则f（x）在（，1）上是增函数；在x（1，1）时，f（x）0，则f（x）在（1，1）上是减函数，当x（1，+）时，f（x）0，则f（x）在（1，+）上是增函数f（1）=2为极大值（2）证明：由（1）知，f（x）=x33x在1，1上是减函数，且f（x）在1，1上的最大值M=f（1）=2，在1，1上的最小值m=f（1）=2对任意的x1，x2（1，1），恒有|f（x1）f（x2）|Mm=2（2）=422在各项为正的数列an中，数列的前n项和Sn满足Sn=（an+），（1）求a1，a2，a3；（2）由（1）猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想【考点】归纳推理；数学归纳法【分析】（1）由题设条件，分别令n=1，2，3，能够求出a1，a2，a3（2）由（1）猜想数列an的通项公式：，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立【解答】解：（1）易求得；（2）猜想证明：当n=1时，命题成立 假设n=k时，成立，则n=k+1时， =，所以，即n=k+1时，命题成立由知，nN*时，2017年1月15日