1、第3课时 三个正数的算术几何平均不等式1如果 a，b，cR，那么 a3b3c3_，当且仅当_时等号成立2如果 a，b，cR，那么abc3_，当且仅当_时等号成立3abc abc3 abc abc1若正实数 a，b，c 满足 abc1，则 abc 的最大值是()A1B13C 127D19【答案】C【解析】a，b，cR，abcabc33 127，当且仅当 abc13时，取“”号故 abc 的最大值是 127.2若正实数x，y，z满足xyz8，则()Axyz的最大值是6Bxyz的最小值是6Cxyz的最大值是8Dxyz的最小值是8【答案】B【解析】x，y，zR，xyz33 xyz2.故选 B.3设x，
2、y，zR且xyz6，则lg xlg ylg z的取值范围是_【答案】(，3lg 2【解析】因为 x，y，zR，所以 xyzxyz338，从而 lg(xyz)lg 83lg 2，即 lg xlg ylg z3lg 2.故 lg xlg ylg z 的取值范围为(，3lg 24设 x，y，zR且 xyz1.求证：x2y2z213.【证明】由 xyz1 得，x2y2z22xy2yz2zx1.又 x2y22xy，y2z22yz，z2x22zx，所以 2(x2y2z2)2(xyyzzx)，即 x2y2z2xyyzzx.从而 1x2y2z22xy2yz2zxx2y2z22(x2y2z2)，即 x2y2z2
3、13.【例1】已知x，yR且x2y4，试求xy的最小值及达到最小值时x，y的值【解题探究】依据约束条件x2y4进行配凑，使用平均不等式即可获得所求用算术几何平均不等式求最值【解析】x，yR且 x2y4，xy12x12xy33 14x2y33 1443，当且仅当 x2，y1 时，xy 取最小值 3.若 a2b 为常数，ab 型通常拆成a2a2b(平均拆分)再利用平均不等式1若 n0，则 n32n2的最小值是_【答案】6【解析】n32n2n2n232n233 n2n232n26，当且仅当n4 时等号成立，即 n32n2的最小值是 6.【例2】一块正方形铁皮边长为a，从它的四个角各剪去一个边长为x的
4、正方形，把它余下的铁皮做一个无盖水箱，则x为多少时，水箱的容积最大？【解题探究】根据已知条件建立关系式，再根据结构合理配凑，利用平均不等式用算术几何平均不等式解决实际问题【解析】设无盖水箱的容积为 V，0 xa2，则 Vx(a 2x)2 x(a 2x)(a 2x)14 4x(a 2x)(a 2x)144xa2xa2x33 227a3，当且仅当 a2x4x，即 xa6时取等号故当 xa6时，水箱的容积最大，且为 227a3.若ab是常数，通常a2b型配凑成4a2a2b，再利用平均不等式2如图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长为2，高为1，将此钢板切割成等腰梯形的形状，记CD2x，梯形面积为
5、S.求S的最大值【解析】建立如图所示的坐标系，设抛物线的标准方程为x22py(p0)，则 B(1，1)，代入抛物线方程可得 2p1，抛物线方程为 x2y.CD2x，D(x，x2)，则梯形的高为 1x2.梯形的面积为 S12(2x2)(1x2)(1x)(1x2)，x(0,1)S(1x)(1x2)(1x)(1x)(1x)12(1x)(1x)(22x)121x1x22x333227，当且仅当 x122x，即 x13时，S 取得最大值且最大值为3227.用算术几何平均不等式证明不等式【例 3】设 a，b，c R ，求 证：(a b c)1ab 1bc 1ca 92.【解题探究】即证 2(abc)1ab
6、 1bc 1ca 9，注意到(ab)(bc)(ca)2(abc)，所以只需将左边配凑即可【解析】a，b，cR，2(abc)(ab)(bc)(ca)，(ab)(bc)(ca)33 abbcca.又 1ab 1bc 1ca331ab 1bc 1ca，(abc)1ab 1bc 1ca 92，当且仅当 abc 时，等号成立要善于观察不等式的结构，合理配凑，加强目标意识，利用基本不等式进行证明3设 a，b，c 为正实数，求证：1a3 1b31c3abc2 3.【证明】a，b，c 为正实数，1a3 1b31c3331a3 1b31c3 3abc.则 1a3 1b31c3abc 3abcabC又 3abcabc23abcabc2 3，1a3 1b31c3abc2 3，当且仅当 abc6 3时等号成立利用基本不等式解决实际问题的步骤：(1)理解题意，设出变量，一般设变量时，把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)回答实际问题点击进入WORD链接