1、2016-2017学年安徽省安庆市桐城中学高三（上）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1命题“nN*，f（n）N*且f（n）n”的否定形式是（）AnN*，f（n）N*且f（n）nBnN*，f（n）N*或f（n）nCn0N*，f（n0）N*且f（n0）n0Dn0N*，f（n0）N*或f（n0）n02奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x（0，1）时，f（x）=3x+，则f（log354）=（）A2BCD23已知f（x）=是定义在R上的减函数，则a的取值范围是（）ABCD4设函数f（x）=
2、（xR），集合N=y丨y=f（x），xM，其中M=a，b（ab），则使M=N成立的实数对（a，b）有（）A0个B1个C2个D无数多个5下列各命题方程+|y+1|=0的解集是，1，集合xZ|x3=x用列举法表示为1，0，1，集合M=y|y=x2+1与集合P=（x，y）|y=x2+1表示同一集合，集合A=，B=x|log2x1，则AB=（1，2）其中真命题的个数为（）A1B2C3D46函数f（x）=cosx与函数g（x）=|log2|x1|的图象所有交点的横坐标之和为（）A2B4C6D87定义域为R的函数f（x）对任意x都有f（2+x）=f（2x），且其导函数f（x）满足0，则当2a4，有（）Af
3、（2a）f（log2a）f（2）Bf（log2a）f（2）f（2a）Cf（2a）f（2）f（log2a）Df（log2a）f（2a）f（2）8已知函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称，且当x（，0）时，f（x）+xf（x）0成立（其中f（x）是f（x）的导函数），若a=（30.3）f（30.3），b=（log3）f（log3），c=（log3）f（log3），则 a，b，c的大小关系是（）AabcBcabCcbaDacb9若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（）Af（x）为奇函数Bf（x）为偶函数Cf（
4、x）+1为奇函数Df（x）+1为偶函数10若定义域为D的函数f（x）满足：f（x）在D内是单调函数；存在a，bD，使得f（x）在a，b上的值域为，则称函数f（x）为“半值函数”已知函h（x）=logc（cx+t）（c0，c1）是“半值函数”则实数t的取值范围为（）A（0，+）B（，）C（，+）D（0，）11已知函数f（x）=，若|f（x）|ax，则a的取值范围是（）A（，0B（，1C2，1D2，012设函数f（x）=ex+2xa（aR，e为自然对数的底数），若曲线y=sinx上存在点（x0，y0），使得f（f（y0）=y0，则a的取值范围是（）A1+e1，1+eB1，1+eCe，1+eD1，e
5、二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13若函数f（x）=的定义域为R，则a的取值范围是14设a1，若仅有一个常数c使得对于任意的xa，3a都有ya，a3满足方程logax+logay=c，则a的取值组成的集合为15如图放置的边长为2的正方形PABC沿x轴正半轴滚动设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f（x），则f（x）的最小正周期为；y=f（x）在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为16已知函数f（x）=x2+1，g（x）=f（f（x）2f（x），若函数g（x）在区间2，1为增函数，则的取值范围为三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
6、.）17（10分）设命题p：函数f（x）=lg（a21）x2+（a+1）x+1的值域为R；命题q：函数y=的图象与函数y=ax2的图象恰有两个交点；如果命题“pq”为真命题，且“pq”为假命题，求实数a的取值范围18（12分）定义在R上的函数y=f（x），f（0）0，当x0时，f（x）1，对任意的a，bR都有f（a+b）=f（a）f（b）且对任意的xR，恒有f（x）0；（1）求f（0）；（2）证明：函数y=f（x）在R上是增函数；（3）若f（x）f（2xx2）1，求x的取值范围19（12分）定义在正整数集上的函数f（x）对任意m，nN*，都有f（m+n）=f（m）+f（n）+4（m+n）2，且
7、f（1）=1（1）求函数f（x）的表达式；（2）若m2tm1f（x）对于任意的m1，1，xN*恒成立，求实数t的取值范围20（12分）已知函数f（x）=（1）求函数f（x）在2，4上的解析式；（2）若方程f（x）=x+a在区间2，4内有3个不等实根，求实数a的取值范围21（12分）设函数f（x）=（aR）（）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若f（x）在3，+）上为减函数，求a的取值范围22（12分）设函数f（x）=emx+x2mx（1）证明：f（x）在（，0）单调递减，在（0，+）单调递增；（2）若对于任意x1，x21，1，
8、都有|f（x1）f（x2）|e1，求m的取值范围2016-2017学年安徽省安庆市桐城中学高三（上）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1命题“nN*，f（n）N*且f（n）n”的否定形式是（）AnN*，f（n）N*且f（n）nBnN*，f（n）N*或f（n）nCn0N*，f（n0）N*且f（n0）n0Dn0N*，f（n0）N*或f（n0）n0【考点】命题的否定【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：n0N*，f（n0）N*或
9、f（n0）n0，故选：D【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础2奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x（0，1）时，f（x）=3x+，则f（log354）=（）A2BCD2【考点】函数的周期性；对数的运算性质【分析】由f（x+2）=f（x）得f（x+4）=f（x），可得到函数f（x）的周期是4，利用对数的运算性质、函数的周期性和奇偶性，将f（log354）转化为，代入函数解析式求出的值，即可得到f（log354）的值【解答】解：f（x+2）+2=f（x+2）=f（x），f（x）是以4为周期的奇函数，又，f（log354）=2，故选：A【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的综
10、合应用，以及对数的运算性质，考查转化思想，属于中档题3已知f（x）=是定义在R上的减函数，则a的取值范围是（）ABCD【考点】函数单调性的性质【分析】根据一次函数的单调性及减函数的定义便可得出，解该不等式组便可得出a的取值范围【解答】解：f（x）为定义在R上的减函数；解得；a的取值范围为故选：A【点评】考查一次函数的单调性，以及减函数的定义，分段函数单调性的判断4设函数f（x）=（xR），集合N=y丨y=f（x），xM，其中M=a，b（ab），则使M=N成立的实数对（a，b）有（）A0个B1个C2个D无数多个【考点】集合的相等【分析】由已知条件推导出f（x）是一个奇函数，且f（x）在R上是减函
11、数，所以a=，b=，解得a=b=0，与已知条件ab矛盾，故使M=N成立的实数对（a，b）不存在【解答】解：f（x）=，f（x）=f（x），f（x）是一个奇函数，x0时，f（x）=1+，是减函数f（x）在R上是减函数，xa，b值域是f（b），f（a），即a=f（b），b=f（a）a=，b=，解得a=b=0，与已知条件ab矛盾，使M=N成立的实数对（a，b）不存在故选：A【点评】本题考查集合相等的应用，解题时要认真审题，是基础题5下列各命题方程+|y+1|=0的解集是，1，集合xZ|x3=x用列举法表示为1，0，1，集合M=y|y=x2+1与集合P=（x，y）|y=x2+1表示同一集合，集合A=，
12、B=x|log2x1，则AB=（1，2）其中真命题的个数为（）A1B2C3D4【考点】命题的真假判断与应用【分析】，方程+|y+1|=0的解集是（，1），可判断；，集合xZ|x3=x=x|x（x+1）（x1）=0，可判断；，分析知集合M=y|y=x2+1为数的集合，集合P=（x，y）|y=x2+1表示点集，可判断；，分别求出集合A=x|x1与集合B=x|log2x1=x|0x2，继而可求得AB，可判断【解答】解：对于，由+|y+1|=0得：x=且y=1，所以方程+|y+1|=0的解集是（，1），故错误；对于，集合xZ|x3=x=x|x（x+1）（x1）=0，用列举法表示为1，0，1，故正确；对
13、于，集合M=y|y=x2+1为数集，集合P=（x，y）|y=x2+1为点集，二者不表示同一集合，故错误；对于，集合A=x|x1，B=x|log2x1=x|0x2，则AB=（0，2），故错误综上所述，真命题的个数为1个，故选：A【点评】本题考查集合的概念与表示方法，考查集合的运算，属于中档题6函数f（x）=cosx与函数g（x）=|log2|x1|的图象所有交点的横坐标之和为（）A2B4C6D8【考点】函数的零点；函数的图象【分析】由图象变化的法则和余弦函数的特点作出函数的图象，由对称性可得答案【解答】解：由图象变化的法则可知：y=log2x的图象作关于y轴的对称后和原来的一起构成y=log2|
14、x|的图象，在向右平移1个单位得到y=log2|x1|的图象，再把x轴上方的不动，下方的对折上去可得g（x）=|log2|x1|的图象；又f（x）=cosx的周期为=2，如图所示：两图象都关于直线x=1对称，且共有ABCD4个交点，由中点坐标公式可得：xA+xD=2，xB+xC=2故所有交点的横坐标之和为4，故选B【点评】本题考查函数图象的作法，熟练作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题7定义域为R的函数f（x）对任意x都有f（2+x）=f（2x），且其导函数f（x）满足0，则当2a4，有（）Af（2a）f（log2a）f（2）Bf（log2a）f（2）f（2a）Cf（2a）f（2）f（lo
15、g2a）Df（log2a）f（2a）f（2）【考点】函数的单调性与导数的关系；函数单调性的性质；奇偶函数图象的对称性【分析】先根据条件求出函数的对称轴，再求出函数的单调区间，然后判定2、log2a、2a的大小关系，根据单调性比较f（2）、f（log2a）、f（2a）的大小即可【解答】解：函数f（x）对任意x都有f（2+x）=f（2x），函数f（x）的对称轴为x=2导函数f（x）满足，函数f（x）在（2，+）上单调递减，（，2）上单调递增，2a41log2a242a又函数f（x）的对称轴为x=2f（2）f（log2a）f（2a），故选A【点评】本题主要考查了导数的运算，以及奇偶函数图象的对称性和
16、比较大小，根据函数导函数的符号确定函数的单调区间是解决此题的关键，根据函数的单调性比较函数值的大小，属于基础题8已知函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称，且当x（，0）时，f（x）+xf（x）0成立（其中f（x）是f（x）的导函数），若a=（30.3）f（30.3），b=（log3）f（log3），c=（log3）f（log3），则 a，b，c的大小关系是（）AabcBcabCcbaDacb【考点】函数单调性的性质；导数的运算；不等式比较大小【分析】由函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称，知f（x）为奇函数，当x（，0）时，f（x）+xf（x）0成立，所以xf（x）为减函数，由
17、此能判断a，b，c的大小关系【解答】解：当x（，0）时不等式f（x）+xf（x）0成立，即：（xf（x）0，xf（x）在 （，0）上是减函数又函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称，函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，函数y=f（x）是定义在R上的奇函数xf（x）是定义在R上的偶函数xf（x）在 （0，+）上是增函数又30.31log230=2，2=，（）f（）30.3f（30.3）（log3）f（log3），即（）f（）30.3f（30.3）（log3）f（log3）即：cab故选B【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数函数性质的合理运
18、用9若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（）Af（x）为奇函数Bf（x）为偶函数Cf（x）+1为奇函数Df（x）+1为偶函数【考点】函数奇偶性的判断【分析】对任意x1，x2R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，考察四个选项，本题要研究函数的奇偶性，故对所给的x1，x2R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1进行赋值研究即可【解答】解：对任意x1，x2R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，令x1=x2=0，得f（0）=1令x1=x，x2=x，得f（0）=f（x）+f（x）+1，f（
19、x）+1=f（x）1=f（x）+1，f（x）+1为奇函数故选C【点评】本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答10若定义域为D的函数f（x）满足：f（x）在D内是单调函数；存在a，bD，使得f（x）在a，b上的值域为，则称函数f（x）为“半值函数”已知函h（x）=logc（cx+t）（c0，c1）是“半值函数”则实数t的取值范围为（）A（0，+）B（，）C（，+）D（0，）【考点】对数函数的图象与性质；函数单调性的性质【分析】根据指数函数和对数函数的图象和性质以及复合函数的单调性可知h（x）都是R上的增函数，再根据“半值函数”的定义得到logc（cx+t）=，构造关于m的方程，根据
20、根与系数的关系，即可得到结论【解答】解：h（x）=logc（cx+t）（c0，c1），c1或0c1，h（x）都是R上的增函数，即logc（cx+t）=，即cx+t=有两不等实根，令=m（m0）t=mm2有两不等正根，解得0t故选：D【点评】本题考查了新定义，以及对数函数指数函数的图象和性质，复合函数的单调性，方程根的问题，属于中档题11已知函数f（x）=，若|f（x）|ax，则a的取值范围是（）A（，0B（，1C2，1D2，0【考点】其他不等式的解法【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合
21、可得a的范围【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x22x，求其导数可得y=2x2，因为x0，故y2，故直线l的斜率为2，故只需直线y=ax的斜率a介于2与0之间即可，即a2，0故选：D【点评】本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题12设函数f（x）=ex+2xa（aR，e为自然对数的底数），若曲线y=sinx上存在点（x0，y0），使得f（f（y0）=y0，则a的取值范围是（）A1+e
22、1，1+eB1，1+eCe，1+eD1，e【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】曲线y=sinx上存在点（x0，y0），可得y0=sinx01，1函数f（x）=ex+2xa在1，1上单调递增利用函数f（x）的单调性可以证明f（y0）=y0令函数f（x）=ex+2xa=x，化为a=ex+x令g（x）=ex+x （x1，1）利用导数研究其单调性即可得出【解答】解：曲线y=sinx上存在点（x0，y0），y0=sinx01，1函数f（x）=ex+2xa在1，1上单调递增下面证明f（y0）=y0假设f（y0）=cy0，则f（f（y0）=f（c）f（y0）=cy0，不满足f（f（y0）=y0同理假设f
23、（y0）=cy0，则不满足f（f（y0）=y0综上可得：f（y0）=y0令函数f（x）=ex+2xa=x，化为a=ex+x令g（x）=ex+x（x1，1）g（x）=ex+10，函数g（x）在x1，1单调递增e11g（x）e+1a的取值范围是1+e1，e+1故选：A【点评】本题考查了函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13若函数f（x）=的定义域为R，则a的取值范围是0，4【考点】函数的定义域及其求法【分析】根据函数成立的条件，转化为不等式ax23ax+a+50恒成立，对a讨论，即可得到结论【解答】解：
24、函数f（x）的定义域为R，则等价为不等式ax23ax+a+50恒成立，若a=0，不等式等价为50，满足条件，若a0，则不等式满足条件，即有，解得0a4，综上0a4，即a的取值范围是0，4故答案为：0，4【点评】本题主要考查函数的定义域的应用，根据条件转化为不等式恒成立是解决本题的关键14设a1，若仅有一个常数c使得对于任意的xa，3a都有ya，a3满足方程logax+logay=c，则a的取值组成的集合为3【考点】对数的运算性质【分析】由已知得y=，单调递减，从而得到，由此能求出a的取值的集合【解答】解：logax+logay=c，loga（xy）=c，xy=ac，解得y=，单调递减，当xa，
25、3a时，y，ac1，有且只有一个常数c符合题意，3+loga3=4，解得a=3，a的取值的集合为3故答案为：3【点评】本题考查实数的取值集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质、运算法则的合理运用15如图放置的边长为2的正方形PABC沿x轴正半轴滚动设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f（x），则f（x）的最小正周期为8；y=f（x）在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为4+4【考点】轨迹方程【分析】P点的运动轨迹为若干个圆周拼接而成，作出P点轨迹图象，即可得出答案【解答】解：P点从x轴上开始运动的时候，首先是围绕A点运动个圆，该圆半径为2，然后以B点为中心，滚动到C点落地，
26、其间是以BP为半径，旋转90，再以C为圆心，再旋转90，这时候以CP为半径，因此最终构成图象如下：由轨迹可知f（x）的最小正周期为8，S=222+222+（2）2=4+4故答案为：8；4+4【点评】本题考查的知识点是函数图象的变化，其中根据已知画出正方形转动过程中的一个周期内的图象，利用数形结合的思想对本题进行分析是解答本题的关键16已知函数f（x）=x2+1，g（x）=f（f（x）2f（x），若函数g（x）在区间2，1为增函数，则的取值范围为（，2【考点】二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法【分析】求出函数g（x）的解析式，通过换元，得到g（x）=g（t）=t22t+1，求出函数的对称
27、轴，根据二次函数的性质求出的范围即可【解答】解：f（x）=x2+1，g（x）=f（f（x）2f（x）=（x2+1）2+12（x2+1），令t=x2+1，x2，1，则t2，5，故g（x）=g（t）=t22t+1，对称轴是x=，若函数g（x）在区间2，1为增函数，则2，故答案为：（，2【点评】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）（2016秋桐城市校级月考）设命题p：函数f（x）=lg（a21）x2+（a+1）x+1的值域为R；命题q：函数y=的图象与函数y=ax2的图象恰有两个交点
28、；如果命题“pq”为真命题，且“pq”为假命题，求实数a的取值范围【考点】命题的真假判断与应用【分析】考虑p真，讨论a=1与当a210时0，解不等式求并集；q真时，讨论x1，x=0和0x1，x0函数图象的关系和转化为方程，求得a的范围，再由题意可得p，q中一真一假，解不等式即可到所求范围【解答】解：命题p：函数f（x）=lg（a21）x2+（a+1）x+1的值域为R，p真时当a=1时f（x）=lg（2x+1）值域为R，符合当a210时0，即（a+1）24（a21）0，解得1a，命题q：函数y=的图象与函数y=ax2的图象恰有两个交点，q真时，x1时，y=x+1与函数y=ax2的图象有一个交点，
29、可得a=1+4，即有0a4且a1；x=0时函数y=1，不成立，当0x1时，y=x1与函数y=ax2的图象有一个交点，可得a=1+，即有a0；当x0时，y=x1与函数y=ax2的图象有一个交点，可得a=1+，即有a1则q真时，0a1或1a4依命题“pq”为真命题，且“pq”为假命题，可得p，q一真一假，当p真q假时，得a=1；当p假q真时，得0a1或a4综上0a1或a4【点评】本题考查命题的真假判断，考查函数的值域为R的问题解法，注意分类讨论和结合二次函数的图象，考查函数图象的交点问题解法，注意运用分类讨论思想，考查运算能力，属于中档题18（12分）（2015秋凯里市校级期末）定义在R上的函数y
30、=f（x），f（0）0，当x0时，f（x）1，对任意的a，bR都有f（a+b）=f（a）f（b）且对任意的xR，恒有f（x）0；（1）求f（0）；（2）证明：函数y=f（x）在R上是增函数；（3）若f（x）f（2xx2）1，求x的取值范围【考点】抽象函数及其应用【分析】（1）利用a=b=0，直接求解函数值即可（2）结合已知条件，利用函数的单调性的定义直接证明即可（3）利用已知条件转化为二次不等式求解即可【解答】解：（1）令a=b=0，f（0）=f（0）2，又f（0）0，f（0）=1（2分）（2）证明：设任意x1x2，则x2x10，f（x2x1）1，f（x2）=f（x2x1）+x1=f（x2x1
31、）f（x1），f（x1）0，f（x2）f（x1），函数y=f（x）在R上是增函数；（7分）（3）f（x）f（2xx2）=f（3xx2）f（0），f（x）是R上增函数，3xx20，0x3（12分）【点评】本题考查抽象函数的应用，赋值法以及转化思想的应用，考查计算能力19（12分）（2016秋桐城市校级月考）定义在正整数集上的函数f（x）对任意m，nN*，都有f（m+n）=f（m）+f（n）+4（m+n）2，且f（1）=1（1）求函数f（x）的表达式；（2）若m2tm1f（x）对于任意的m1，1，xN*恒成立，求实数t的取值范围【考点】抽象函数及其应用【分析】（1）令m=1得到关于f（n）的递推关
32、系，利用累加法即可求f（x）的表达式；（2）利用参数分离法将不等式恒成立进行转化，结合基本不等式进行求解即可【解答】解：（1）f（m+n）=f（m）+f（n）+4（m+n）2，且f（1）=1，令m=1，则f（n+1）=f（1）+f（n）+4（1+n）2=f（n）+4n+3，即f（n+1）f（n）=4n+3，则f（2）f（1）=7f（3）f（2）=11，f（n）f（n1）=4（n1）+3=4n1，等式两边同时相加得f（n）f（1）=7+11+（4n1）=2n2+n3，则f（n）=2n2+n3+f（1）=2n2+n2即f（x）=2x2+x2xN*（2）f（x）=2x2+x2的对称轴为x=，当xN*
33、时，函数f（x）的最小值为f（1）=2+12=1，若m2tm1f（x）对于任意的m1，1，xN*恒成立，则等价为m2tm11对于任意的m1，1，xN*恒成立，即m2tm20对于任意的m1，1，xN*恒成立，当m=0时，20，恒成立，当m0时，原式等价于t在m1，0）恒成立，而函数y=m在1，0）上为增函数，则此时y=m的最小值为1+2=1，t1； 当m0时，原式等价于t在m（0，1恒成立，而函数y=m在（0，1上为增函数，此时y=m的最大值为12=1，t1 综上可得，1m0时，t1，m=0时，tR，0m1时，t1【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决本题的关键利用参数分离法结合函
34、数的单调性是求恒成立问题的基本方法20（12分）（2016秋桐城市校级月考）已知函数f（x）=（1）求函数f（x）在2，4上的解析式；（2）若方程f（x）=x+a在区间2，4内有3个不等实根，求实数a的取值范围【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】（1）利用函数的递推关系式，求解分段函数的解析式即可（2）画出函数的图象，利用函数的零点的个数推出a 的范围即可【解答】解：（1）函数f（x）=，x（0，2时，x2（2，0），可得f（x）=2（1|x1|）=22|x1|x（2，4时，x2（0，2），可得f（x）=2（22|x3|）=44|x3|，当2x4时，f（x）=（2）作出函数f（x）在区间2
35、，4上的图象，如图所示设y=x+a，由图象可知要使方程f（x）=x+a在区间2，4内有3个不等实根，则直线y=x+a应位于l1与l2之间或直线l3的位置，所以实数a的取值范围是2a0或a=1【点评】本题考查函数的图象的应用，函数的零点与方程根的关系，函数的解析式的求法，考查数形结合以及只好思想的应用21（12分）（2015重庆）设函数f（x）=（aR）（）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若f（x）在3，+）上为减函数，求a的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（I）f（x）=，由f（
36、x）在x=0处取得极值，可得f（0）=0，解得a可得f（1），f（1），即可得出曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（II）解法一：由（I）可得：f（x）=，令g（x）=3x2+（6a）x+a，由g（x）=0，解得x1=，x2=对x分类讨论：当xx1时；当x1xx2时；当xx2时由f（x）在3，+）上为减函数，可知：x2=3，解得即可解法二：“分离参数法”：由f（x）在3，+）上为减函数，可得f（x）0，可得a，在3，+）上恒成立令u（x）=，利用导数研究其最大值即可【解答】解：（I）f（x）=，f（x）在x=0处取得极值，f（0）=0，解得a=0当a=0时，f（x）=，f（x）=
37、，f（1）=，f（1）=，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为，化为：3xey=0；（II）解法一：由（I）可得：f（x）=，令g（x）=3x2+（6a）x+a，由g（x）=0，解得x1=，x2=当xx1时，g（x）0，即f（x）0，此时函数f（x）为减函数；当x1xx2时，g（x）0，即f（x）0，此时函数f（x）为增函数；当xx2时，g（x）0，即f（x）0，此时函数f（x）为减函数由f（x）在3，+）上为减函数，可知：x2=3，解得a因此a的取值范围为：解法二：由f（x）在3，+）上为减函数，f（x）0，可得a，在3，+）上恒成立令u（x）=，u（x）=0，u（x）在3，+）
38、上单调递减，au（3）=因此a的取值范围为：【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、“分离参数法”、推理能力与计算能力，属于难题22（12分）（2015新课标）设函数f（x）=emx+x2mx（1）证明：f（x）在（，0）单调递减，在（0，+）单调递增；（2）若对于任意x1，x21，1，都有|f（x1）f（x2）|e1，求m的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）利用f（x）0说明函数为增函数，利用f（x）0说明函数为减函数注意参数m的讨论；（2）由（1）知，对任意的m
39、，f（x）在1，0单调递减，在0，1单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题从而求得m的取值范围【解答】解：（1）证明：f（x）=m（emx1）+2x若m0，则当x（，0）时，emx10，f（x）0；当x（0，+）时，emx10，f（x）0若m0，则当x（，0）时，emx10，f（x）0；当x（0，+）时，emx10，f（x）0所以，f（x）在（，0）时单调递减，在（0，+）单调递增（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在1，0单调递减，在0，1单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值所以对于任意x1，x21，1，|f（x1）f（x2）|e1的充要条件是即设函数g（t）=ette+1，则g（t）=et1当t0时，g（t）0；当t0时，g（t）0故g（t）在（，0）单调递减，在（0，+）单调递增又g（1）=0，g（1）=e1+2e0，故当t1，1时，g（t）0当m1，1时，g（m）0，g（m）0，即合式成立；当m1时，由g（t）的单调性，g（m）0，即emme1当m1时，g（m）0，即em+me1综上，m的取值范围是1，1【点评】本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用属于难题，高考压轴题
