1、2012届高三数学寒假作业四一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填写在答题卡相应位置.1已知向量a=，ba，且|b|=2，则向量b的坐标是 .2. 已知实数满足则的最小值是 3. 在等比数列an中，若a3a83a13=243，则的值为 .4. 若函数在上是增函数，则m的取值范围是 .5若直线过点，则以坐标原点为圆心，长为半径的圆的面积的最小值是 6.若直线被两平行线所截得的线段的长为，则直线的倾斜角是 .7. 若关于x的方程kxlnx=0有解，则k的取值范围是 .8. 设等差数列的前n项和为，若，则 . 9、过定点（1,2）的直线在正半轴上的截距分别为,则4的最小值为 。
2、10. 设是定义在上的减函数，且对一切都成立，则a的取值范围是 . 11 给定两个长度为1且互相垂直的平面向量和，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若，其中x、yR，则的最大值为 12. 设函数，则下列命题中正确命题的序号是 .当时，在R上有最大值；函数的图象关于点对称；方程=0可能有4个实根；当时，在R上无最大值；一定存在实数a，使在上单调递减. 13设,函数的定义域是，值域是，若关于的方程有唯一的实数解，则= .14. 已知数列满足： (mN)，则数列的前4m+4项的和 .二、解答题：本大题共6题，共90分. 请在答题卡规定区域写出文字说明、证明过程或演算步骤15. （本题满分14分）如图
3、，一个半径为10m的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点P到水面的距离为d（m）（P在水下，则d为负数），则d与时间t（s）之间满足关系式：，且当点P从水面上浮现时开始计算时间. 现有以下四个结论：；b=5.（1）直接写出正确结论的序号；（2）对你认为正确的结论予以证明，并改正错误的结论. 16（本小题满分14分） 已知ABC的面积为，且，向量和是共线向量. （1）求角C的大小； （2）求ABC的三边长.17. （本题满分15分）设命题：函数的定义域为；命题：不等式对一切正实数均成立如果命题或为真命题，命题且为假命题，求实数的取值范围18（本小题满分15分）如图，圆O的方程为，直线l是椭
4、圆的左准线，A、B是该椭圆的左、右焦点，点P为直线l上的一个动点，直线AQOP交圆O于点Q（）若点P的纵坐标为4，求此时点Q的坐标，并说明此时直线PQ与圆O的位置关系；（）求当APB取得最大值时P点的坐标19（本小题满分16分）设为正整数，规定：，已知（1）解不等式：； （2）设集合0，1，2，对任意，证明：；（3）探求； （4）若集合，0，2，证明：中至少包含有8个元素20（本小题满分16分）如图, 把正三角形ABC分成有限个全等的小正三角形, 且在每个小三角形的顶点上都放置一个非零实数, 使得任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等. 设点A为第一行, BC为第n行,
5、 记点A上的数为, 第i行中第j个数为. 若.(1)求;(2)试归纳出第n行中第m个数的表达式 (用含n , m的式子表示, 不必证明)(3)记证明: 2012届高三数学寒假作业四参考答案 1. 或 2、1 3. 3 4. 5. 6. 1350 7. 8. 9、32 10. 11. 2 12. 131 1415、【解】（1）. 6分（2）由题意得，点P在最高位置时，d=15m，点P在最低位置时，d=5m，于是有 解得A=10，b=5，故和都是正确的. 10分由于水轮按逆时针方向每分钟转4圈，故它的周期是T=15.所以. 因而也是正确的. 12分由题意得t=0时，d=0，所以.因为，所以. 14
6、分16、【解】（1）因为向量和是共线向量，所以， 2分即sinAcosB+cosAsinB2sinCcosC=0，化简得sinC2sinCcosC=0，即sinC(12cosC)=0. 4分因为，所以sinC0，从而， 6分（2），于是AC. 8分因为ABC的面积为，所以，即，解得 11分在ABC中，由余弦定理得所以 14分17、解：命题为真命题函数的定义域为 对任意实数均成立2 时，解集为； 或者4 命题为真命题 6命题为真命题对一切正实数均成立对一切正实数均成立 9由于，所以，所以，所以所以，命题为真命题 12根据题意知命题与为有且只有一个是真命题，当命题为真命题且命题为假命题时不存在；当
7、命题为假命题且命题为真命题时的取值范围是综上，命题或为真命题，命题且为假命题的实数的取值范围是1518【解】（）由题意得A（1，0），B（1,0），直线l的方程为x2P（2,4）-1分 AQOP -2分直线AQ的方程为即x2y1=0 -3分消去x并整理得- -4分解得 -5分当时x1，当时Q点的坐标为或（1，1）-6分当Q为（1，1）时，直线PQ的方程xy2=0圆心O到直线的距离为，PQ与圆O相切-8分同理可得，当Q为时，PQ也与圆O相切-9分（）不妨设P点在x轴上方，设P（2，m）（m0）-10分设准线l与x轴交于点Q，记BPQ，APQ，tanAPBtan（）=-12分，当且仅当m时取得等号-14分显然APB为锐角，故APB的最大值为300， 此时P点的坐标（2，）-15分19解：（1）当01时，由得，1 当12时，因恒成立12 由，得，的解集为|2 （2），当时，；当时，； 当时，即对任意，恒有（3）， ， 一般地，（N） （4）由（1）知，则由（2）知，对，或1，或2，恒有，则0，1，2 由（3）知，对， ，恒有，综上所述，0，1，2，中至少含有8个元素20.解: (1) (2分)(4分)(2)由可归纳出是公比为的等比数列, (5分)故(6分) 由可归纳出是公比为的等比数列,(8分)故即(10分)(3)由(2)知 又(13分) (16分)
