1、2014-2015学年河北省唐山市海港高中高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是（）ABCD2为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（）A50B40C25D203在下列命题中，不是公理的是（）A平行于同一个平面的两个平面平行B过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D如果两个不重
2、合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线4对于直线m、n和平面，下面命题中的真命题是（）A如果m，n，m、n是异面直线，那么nB如果m，n，m、n是异面直线，那么n与相交C如果m，n，m、n共面，那么mnD如果m，n，m、n共面，那么mn5如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A2+BCD1+6执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A1B3C7D1573名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）ABCD8高为2的直三棱柱的俯视图是一个边长为2的正三角形，如
3、图所示，则这个直三棱柱的正视图的面积是（）A4B2C3D29正方体ABCDA1B1C1D1中AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成的角是（）A0B45C60D9010设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A8B7C2D111已知直线l平面，直线m平面，有下列四个命题lm lm lm lm其中正确的两个命题是（）A与B与C与D与12如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是（）A1，B，C，D，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
4、13如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边成为1，那么这个几何体的表面积是14已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为15在三棱锥VABC中，VB=6，AC=3，P为VAC的重心，过点P作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线VB和AC，则截面的周长为16已知正三棱柱内接于一个半径为2的球，则正三棱柱的侧面积取得最大值时，其底面边长为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17如图，在正方体A1B1C1D1ABCD中，E，F分别为A1D与D1C的中点（）证明：EF平面ABCD；（）证明：DD1EF18已知等差数列an的前n项和S
5、n满足S3=6，S5=15（）求an的通项公式；（）求数列的前n项和19如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将AED，BEF，CFD分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点P（）求证：平面PDE平面PEF；（）求P到平面DEF的距离20ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知a=3，cosA=，B=A+（）求b的值；（）求ABC的面积21如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ACB=90，CA=CB=CC1，M，P，N分别为A1C1，A1C，BC的中点（）证明平面MNP平面ABB1A1；（）求A1C与平面ABB1A1所成的角22如图，在四棱锥
6、PABCD中，PD平面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F为PC的三等分点（）证明：ACPB；（）若PD=，AD=2，BAD=60，求二面角PBCA的大小；（）在直线PB上是否存在一点G，使平面BDE平面AFG？说明理由2014-2015学年河北省唐山市海港高中高二（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是（）ABCD考点： 异面直线的判定专题： 空间位置关系与距离分析： 利用一面直线的定义
7、和正方体的性质，逐一分析各个选项中的2条直线的位置关系，把满足条件的选项找出来解答： 解：A 中的PQ与RS是两条平行且相等的线段，故选项A不满足条件B 中的PQ与RS是两条平行且相等的线段，故选项B也不满足条件D 中，由于PR平行且等于SQ，故四边形SRPQ为梯形，故PQ与RS是两条相交直线，它们和棱交与同一个点，故选项D不满足条件C 中的PQ与RS是两条既不平行，又不相交的直线，故选项C满足条件故选 C点评： 本题主要考查异面直线的定义，正方体的性质，判断2条直线的位置关系，属于基础题2为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（）A50B
8、40C25D20考点： 系统抽样方法专题： 概率与统计分析： 根据系统抽样的定义，即可得到结论解答： 解：从1000名学生中抽取40个样本，样本数据间隔为100040=25故选：C点评： 本题主要考查系统抽样的定义和应用，比较基础3在下列命题中，不是公理的是（）A平行于同一个平面的两个平面平行B过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线考点： 平面的基本性质及推论专题： 规律型分析： 根据公理的定义解答即可经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他
9、判断加以证明的命题和原理就是公理解答： 解：B，C，D经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理故是公理；而A平行于同一个平面的两个平面平行是定理不是公理故选A点评： 本题考查了公理的意义，比较简单4对于直线m、n和平面，下面命题中的真命题是（）A如果m，n，m、n是异面直线，那么nB如果m，n，m、n是异面直线，那么n与相交C如果m，n，m、n共面，那么mnD如果m，n，m、n共面，那么mn考点： 四种命题的真假关系；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系分析： 根据空间中直线与直线之间的位置关系和空间中直线与平面之间的位置关系及其性质对
10、A、B、C、D四个选项进行一一判断，从而进行求解解答： 解：A、m，n，m、n是异面直线，若nm，则n，故A错误；B、m，n，m、n是异面直线，可知n与也可以平行，故B错误；C、m，n，m、n共面，mn，故C正确；D、m，n，m、n共面，可知m与n也可以垂直，故D错误；故选C点评： 此题是一道立体几何题，主要考查直线与直线之间的位置关系：相交与平行；空间中直线与平面之间的位置关系：平行或相交，比较基础5如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A2+BCD1+考点： 斜二测法画直观图专题： 计算题；作图题分析： 原图为直角梯形，上
11、底为1，高为2，下底为1+，利用梯形面积公式求解即可也可利用原图和直观图的面积关系求解解答： 解：恢复后的原图形为一直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+，S=（1+1）2=2+故选A点评： 本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，属基础知识的考查6执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A1B3C7D15考点： 程序框图专题： 算法和程序框图分析： 算法的功能是求S=1+21+22+2k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出的S值解答： 解：由程序框图知：算法的功能是求S=1+21+22+2k的值，跳出循环的k值为3，输出S=1+2+4=7故选：C点评： 本题考查了当型循环结构的程
12、序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键73名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）ABCD考点： 古典概型及其概率计算公式专题： 概率与统计分析： 求得3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可解答： 解：3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有23=8种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有232=82=6种情况，所求概率为=故选：D点评： 本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，
13、再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数8高为2的直三棱柱的俯视图是一个边长为2的正三角形，如图所示，则这个直三棱柱的正视图的面积是（）A4B2C3D2考点： 简单空间图形的三视图专题： 空间位置关系与距离分析： 几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是一个正三角形，边长是2，侧棱长是2，三棱柱的侧视图是一个矩形，矩形的长是2，宽是，根据矩形的面积得到结果解答： 解：三棱柱的底面是一个边长为2的正三角形，三棱柱的侧棱长等于底面三角形的一条边上的高为=，三棱柱的侧面是一个矩形，长和宽分别是2和，侧视图的面积是2故选：B点评： 本题考查由三视图求空间组合体的表面积，考查由三视图还原直
14、观图，本题是一个易错题，要求矩形的长和宽一定要观察仔细9（5分）（2009武汉模拟）正方体ABCDA1B1C1D1中AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成的角是（）A0B45C60D90考点： 异面直线及其所成的角专题： 计算题；数形结合；转化思想分析： 根据异面直线所成角的定义，把直线CN平移和直线B1M相交，找到异面直线B1M与CN所成的角，解三角形即可求得结果在平移直线时经常用到遇到中点找中点的方法解答： 解：去AA1的中点E，连接EN，BE角B1M于点O，则ENBC，且EN=BC四边形BCNE是平行四边形BECNBOM就是异面直线B1M与CN所成的角，而RtBB1
15、MRtABEABE=BB1M，BMB1=AEB，BOM=90故选D点评： 此题是个基础题考查异面直线所成的角，以及解决异面直线所成的角的方法（平移法）的应用，体现了转化的思想和数形结合的思想方法10设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A8B7C2D1考点： 简单线性规划专题： 不等式的解法及应用分析： 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值解答： 解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大由，得，即A（3，2），此时z的最大值为z=3+22=7，故选：B点评：
16、本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法11已知直线l平面，直线m平面，有下列四个命题lm lm lm lm其中正确的两个命题是（）A与B与C与D与考点： 命题的真假判断与应用专题： 常规题型；空间位置关系与距离分析： 空间中线面位置关系的推理证明解答： 因为且l平面，所以l平面，又因为直线m平面，所以 lm； lm 错误； 因为lm，直线l平面，所以直线m平面，又因为直线m平面，所以； lm错误故选D点评： 空间中线面位置关系的推理证明，属于基础题12如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点
17、，若A1P平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是（）A1，B，C，D，考点： 点、线、面间的距离计算专题： 空间位置关系与距离分析： 分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，易证平面A1MN平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时A1P最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得解答： 解：如下图所示：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，M、N、E、F为所在棱的中点，MNBC1，EFBC1，MNEF，又MN平面AEF，EF平面AEF，MN平面AEF；AA1NE，AA1=NE，四边形AENA1为平行四边形，A1NAE，又A1N
18、平面AEF，AE平面AEF，A1N平面AEF，又A1NMN=N，平面A1MN平面AEF，P是侧面BCC1B1内一点，且A1P平面AEF，则P必在线段MN上，在RtA1B1M中，=，同理，在RtA1B1N中，求得A1N=，A1MN为等腰三角形，当P在MN中点O时A1PMN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，=，A1M=A1N=，所以线段A1P长度的取值范围是，故选B点评： 本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图
19、为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边成为1，那么这个几何体的表面积是考点： 由三视图求面积、体积；棱柱、棱锥、棱台的体积专题： 图表型分析： 由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，根据三视图的数据，求出三棱锥的表面积即可解答： 解：由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，所以几何体的表面积为：3个等腰直角三角形与一个等边三角形的面积的和，即：3=故答案为：点评： 本题考查由三视图求几何体的表面积，考查由三视图还原直观图形，考查四棱锥的表面积，本题是一个基础题14已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为3考点： 由三视图求面积、体积专题： 空间位置
20、关系与距离分析： 由三视图可知，两个这样的几何体能构成底面直径为2，高为2+4=6的圆柱，进而可得答案解答： 解：由三视图可知，该几何体由底面直径为2，即半径为1，高为2+4=6的圆柱，故该几何体的体积V=126=3，故答案为：3点评： 本题考查的知识点是由三视图，求体积，其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键15在三棱锥VABC中，VB=6，AC=3，P为VAC的重心，过点P作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线VB和AC，则截面的周长为8考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积专题： 空间位置关系与距离分析： 如图所示，过点P作EFAC，分别交VA，VC于点E，F过点F作FMVB交BC于点M，过点
21、E作ENVB交AB于点N由作图可知：四点EFMN共面可得，EF=MN=2同理可得：EN=FM=2解答： 解：如图所示，过点P作EFAC，分别交VA，VC于点E，F过点F作FMVB交BC于点M，过点E作ENVB交AB于点N由作图可知：ENFM，四点EFMN共面可得MNACEF，ENVBFM，可得EF=MN=2同理可得：EN=FM=2截面的周长为8故答案为：8点评： 本题考查了三角形重心的性质、线面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理，考查了推理能力用途计算能力，属于中档题16已知正三棱柱内接于一个半径为2的球，则正三棱柱的侧面积取得最大值时，其底面边长为考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积专题
22、： 空间位置关系与距离分析： 如图所示，设球心为O点，上下底面的中心分别为O1，O2设正三棱柱的底面边长与高分别为x，h可得O2A=x在RtOAO2中，利用勾股定理可得，可得由于S侧=3xh，可得=9x2h2=12x2（12x2）即可得出解答： 解：如图所示，设球心为O点，上下底面的中心分别为O1，O2设正三棱柱的底面边长与高分别为x，h则O2A=x，在RtOAO2中，化为S侧=3xh，=9x2h2=12x2（12x2）=432当且仅当x=时取等号故答案为：点评： 本题考查了正三棱柱的性质、勾股定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程
23、或演算步骤17如图，在正方体A1B1C1D1ABCD中，E，F分别为A1D与D1C的中点（）证明：EF平面ABCD；（）证明：DD1EF考点： 空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定专题： 证明题；空间位置关系与距离分析： （）先证明出EFAC，进而根据线面平行的判定定理证明出EF平面ABCD （）利用DD1平面ABCD，可得DD1AC，利用EFAC得证解答： 证明：（）连接AD1，AC，E是A1D的中点，E也是AD1的中点，又F是D1C的中点，EF是ACD1的中位线，EFAC，（3分）又EF平面ABCD，AC平面ABCD，EF平面ABCD（5分）（）DD1平面ABCD，AC平面
24、ABCD，DD1AC，（8分）又EFAC，DD1EF （10分）点评： 本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定、性质定理的应用考查了学生空间观察能力和推理能力18已知等差数列an的前n项和Sn满足S3=6，S5=15（）求an的通项公式；（）求数列的前n项和考点： 数列的求和；等差数列的前n项和专题： 等差数列与等比数列分析： （I）利用等差数列an的前n项和公式即可得出（II）利用“裂项求和”即可得出解答： 解：（）设an的公差为d，则Sn=na1+dS3=6，S5=15，解得a1=1，d=1故an的通项公式为an=n（）由（）知=（），从而数列的前n项和=（1+）=点评： 本题考查了等差数
25、列的前n项和公式、“裂项求和”方法，属于基础题19如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将AED，BEF，CFD分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点P（）求证：平面PDE平面PEF；（）求P到平面DEF的距离考点： 直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定专题： 空间位置关系与距离分析： （）由已知A=B=C=90，PDPE，PDPF，PEPF，由此能证明PD平面PEF，平面PDE平面PEF（）设P到平面DEF的距离为d，由VPDEF=VDPEF，能求出P到平面DEF的距离解答： （）证明：由已知四边形ABCD是正方形，A=B=C=90，又折叠后A，
26、B，C三点重合于点P，PDPE，PDPF，PEPF，又PEPF=P，PD平面PEF，（4分）又PD平面PDE，平面PDE平面PEF（6分）（）解：PD=2，PE=PF=1，EF=，DE=DF=，SDEF=，设P到平面DEF的距离为d，由VPDEF=VDPEF，得SDEFd=SPEFPD，（9分）d=112，d=，P到平面DEF的距离为（12分）点评： 本题考查平面与平面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养20ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知a=3，cosA=，B=A+（）求b的值；（）求ABC的面积考点： 正弦定理专题： 解三角形分析
27、： （）利用cosA求得sinA，进而利用A和B的关系求得sinB，最后利用正弦定理求得b的值（）利用sinB，求得cosB的值，进而根两角和公式求得sinC的值，最后利用三角形面积公式求得答案解答： 解：（）cosA=，sinA=，B=A+sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，b=sinB=3（）sinB=，B=A+cosB=，sinC=sin（AB）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=（）+=，S=absinC=33=点评： 本题主要考查了正弦定理的应用解题过程中结合了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，注重了基础知识的综合运用21如图，在直三棱柱
28、A1B1C1ABC中，ACB=90，CA=CB=CC1，M，P，N分别为A1C1，A1C，BC的中点（）证明平面MNP平面ABB1A1；（）求A1C与平面ABB1A1所成的角考点： 直线与平面所成的角；平面与平面平行的判定专题： 计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角分析： （）运用中位线定理和线面平行的判定定理，以及面面平行的判定定理即可得证；（）取AB中点D，连接CD，A1D，运用线面垂直的性质和判定定理，即可得到CA1D为A1C与平面ABB1A1所成的角，再通过解RtCA1D，即可得到所求的角解答： （）证明：M，P分别是A1C1，A1C的中点，MPCC1，又CC1AA1，MPAA1
29、，又MP平面ABB1A1， AA1平面ABB1A1，MP平面ABB1A1，同理PN平面ABB1A1，MPPN=P，平面MNP平面ABB1A1；（）解：取AB中点D，连接CD，A1D，AA1平面ABC，CD平面ABC，AA1CD，又AC=BC， D为AB中点，CDAB，又AA1AB=A，CD平面ABB1A1，CA1D为A1C与平面ABB1A1所成的角在RtCA1D中，CDA1=90，设CA=1，可得CD=，A1C=，sinCA1D=，CA1D=30，即A1C与平面ABB1A1所成的角为30点评： 本题考查空间两平面平行的判定定理和运用，考查空间线面所成角的求法，考查运算能力，属于中档题22如图，
30、在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F为PC的三等分点（）证明：ACPB；（）若PD=，AD=2，BAD=60，求二面角PBCA的大小；（）在直线PB上是否存在一点G，使平面BDE平面AFG？说明理由考点： 二面角的平面角及求法；平面与平面平行的判定专题： 空间位置关系与距离；空间角分析： （）由已知得PDAC，ACBD，从而AC平面PBD，由此能证明ACPB（）取BC中点H，连接HD，HC，由已知得PHD为二面角PBCA的平面角，由此能求出二面角PBCA的大小（）当G为PB中点时，连接FG，AG，设ACBD=O，连接OE，由已知得平面BDE平面AFG，由此能证明
31、当G为PB中点时，平面BDE平面AFG解答： （）证明：PD平面ABCD，AC平面ABCD，PDAC，又四边形ABCD为菱形，ACBD，又PDBD=D，AC平面PBD，又PB平面PBD，ACPB（4分）（）解：取BC中点H，连接HD，HC，由四边形ABCD为菱形，且BAD=60，得BCD为等边三角形，HDBC，PHBC，PHD为二面角PBCA的平面角，（6分）在RtPDH中，PDH=90，PD=DH=，PHD=45，即二面角PBCA的大小为45（8分）（）解：当G为PB中点时，平面BDE平面AFG下证：当G为PB中点时，连接FG，AG，设ACBD=O，连接OE，F，G分别是PE，PB的中点，FGEB，且FG平面BDE，EB平面BDE，FG平面BDE，同理，AF平面BDE，又AFFG=F，平面BDE平面AFG，当G为PB中点时，平面BDE平面AFG （12分）点评： 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，考查平面与平面平行的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养