1、第47讲 空间中的垂直关系 【学习目标】1熟练掌握直线和平面垂直的定义，判定定理和性质定理，并能依据条件，灵活运用2掌握两个平面垂直的判定定理、性质定理，并能进行论证和解决有关问题3熟悉线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化强化空间垂直感觉【基础检测】1在空间中，有如下命题：如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面；如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；垂直于同一个平面的两条直线互相平行；若两个平面相互垂直，则一个平面内的任意一条直线必定垂直于另一个平面内的无数条直线其中正确命题的个数是()A1 B2 C3 D4C【解析】若一条直线垂
2、直于一个平面内的一组平行线，则该直线不一定垂直于此平面，故不正确；由直线与平面垂直的判定定理知正确；正确；正确，故选 C.2用 a、b、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题：若 ab，bc，则 ac；若 ab，bc，则ac；若 ay，by，则 ab；若 ay，by，则ab.以上正确的是()ABCD【解析】垂直与平行的对比复习C3已知 m，n，l 为三条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中正确的是()A ，m，n mnBl，lCm，mnnD，llD【解析】对于 A，m，n 平行或异面；对于 B，可能出现 l 与 相交或 l这两种情形；对于 C，可能出现 n这种情形4设 a，b
3、是两条直线，是两个平面，则 ab的一个充分条件是()Aa，b，Ba，b，Ca，b，Da，b，C【解析】选项 A 中，a，b，若 b，则 ab，故 A 错误；选项 B 中，a，则有 a，又 b，所以 ab，因此 B 错误；选项 C 中，因为a，所以 a，又因为 b，所以 ab.反之，若 ab，则不一定有 a，b，所以 C 正确；选项 D 中，当 a 时，ab，所以 D 也不对5若 m，n 是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列命题：若 m，n，则 mn；若，则；若 m，n，则 mn；若，m，则 m其中正确命题的个数为()A1 B2 C3 D4【解析】正确，错误，可能平行也可能相交；直线 m
4、，n 可能平行、相交、异面B6在正四面体 PABC 中，D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是()ABC平面 PDFBDF平面 PAEC平面 PDF平面 ABCD平面 PAE平面 ABCC【知识要点】1直线与平面垂直的判定(1)(定义)如果一条直线和平面内_都垂直，那么这条直线和这个平面垂直(2)判 定 定 理：如 果 一 条 直 线 和 一 个 平 面 内 的_都垂直，那么这条直线垂直于这个平面用符号语言表示为：m，n，mnB，lm，lnl.任意一条直线两条相交直线(3)如果两条平行线中的一条_一个平面，那么另一条也垂直于这个平面用符号语言表示为：_垂直于ab
5、，ab2直线和平面垂直的性质如果两条不重合的直线_于一个平面，那么这两条直线平行，即 a，bab.(4)(面面垂直的性质定理)如果两个平面垂直，那么在一个_垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面(5)(两平面平行的性质定理)如果两个平面平行，那么与其中一个平面_的直线也与另一个平面垂直(6)如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的_也垂直于第三个平面平面内垂直交线同垂直3两平面垂直的判定(1)(定义)两个平面相交，如果所成的二面角是_，那么这两个平面互相垂直；(2)(判定定理)如果一个平面_另一个平面的一条_，那么这两个平面互相垂直即_，a .4两平面垂直的性质如果两个平面垂直，那么在一个
6、平面内垂直于它们_的直线垂直于另一个平面即，l，_，a a.直二面角经过垂线a交线al一、线线垂直例1如图所示，ABCD 为正方形，SA 垂直于 ABCD所在的平面，过 A 且垂直于 SC 的平面分别交 SB、SC、SD 于 E，F，G.求证：AESB，AGSD.【解析】SA面 ABCD，SABC，又 ABBC，SAABA，BC面 SAB，又 AE面 SAB，BCAE，又SC面 AEFG，SCAE，BCSCC，AE面 SBC，AESB，同理可证 AGSD.【点评】要证线线垂直，可构造线面垂直二、直线与平面垂直的判定与性质例2如图所示，已知圆 O 的直径 AB 长度为 4，点 D为线段 AB 上
7、一点，且 AD13DB，点 C 为圆 O 上一点，且 BC 3AC.点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D，PDBD.求证：CD平面 PAB.【解析】连接 CO，由 3ADDB 知，点 D 为 AO的中点，又AB 为圆 O 的直径，ACCB，由 3ACBC 知，CAB60，ACO 为等边三角形，从而 CDAO.点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D，PD 平 面 ABC，又 CD 平 面 ABC，PDCD，由 PDAOD 得，CD平面 PAB.【点评】证明线面垂直，常转化为证明线线垂直亦可利用面面垂直证明三、平面与平面垂直的判定与性质例3如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中
8、，E、F 分别为 DD1，DB 的中点(1)求证：平面 CFB1平面 EFB1；(2)若三棱锥 B1EFC 的体积为 1，求此正方体的棱长【解析】(1)证明：E，F 分别为 D1D，DB 的中点，则 CFBD，又 CFD1D，CF平面 BB1D1D.CF平面 CFB1，平面 CFB1平面 EFB1.(2)设正方体棱长为 1，CF平面 BDD1B1，CF平面 EFB1，CFBF22 a，EF12BD132 a，B1FBB21BF2 62 a，B1E B1D21ED2132a EF2B1F2B1E2，即EFB190，VB1EFCVCB1EF13SB1EFCF13 22 a12 62 a 32 a1
9、8a3.由 VB1EFC1 解得 a2.【点评】在证明面面垂直时，关键是在一个平面中找到一条与另一个平面垂直的直线，而根据性质定理，这样的直线往往应优先考虑与交线垂直的直线实在找不到时，可以作辅助线 要证面面垂直，一般要转化为线面垂直，即考虑证明一个平面内的一条直线垂直于另一个平面，然后进一步转化为线线垂直，为此要熟练掌握“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”之间相互转化关系特别地，若已知两个平面垂直时，一般要用性质定理，将其转化为线面垂直进行应用四、垂直中的“探索性”问题例4如图，三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA1BC，A1BBB1.(1)求证：A1CCC1；(2)若 AB2，AC 3
10、，BC 7，问 AA1 为何值时，三棱柱 ABCA1B1C1 体积最大，并求此最大值【解析】(1)证明：由 AA1BC 知 BB1BC.又 BB1A1B，故 BB1平面 BCA1，即 BB1A1C.又 BB1CC1，所以 A1CCC1.(2)解法一：设 AA1x，在 RtA1BB1 中，A1B A1B21BB21 4x2.同理，A1C A1C21CC21 3x2.在A1BC 中，cosBA1CA1B2A1C2BC22A1BA1Cx2（4x2）（3x2），sinBA1C127x2（4x2）（3x2），所以 SA1BC12A1BA1CsinBA1C 127x22.从而三棱柱 ABCA1B1C1 的
11、体积 VS直lSA1BCAA1x 127x22.因为x127x212x27x47x2672367，故当 x67 427，即 AA1 427 时，体积 V 取到最大值3 77.解法二：如图所示，过 A1 作 BC的垂线，垂足为 D，连接 AD.由 AA1BC，A1DBC，故 BC平面 AA1D，BCAD.又BAC90，所以 AD2 217.设 AA1x，在 RtAA1D 中，A1D AD2AA21127 x2，SA1BC12A1DBC 127x22.从而三棱柱 ABCA1B1C1 的体积 VS直lSA1BCAA1x 127x22.因为 x 127x2 12x27x4 7x2672367，故当 x
12、67 427，即 AA1 427 时，体积 V 取到最大值3 77.备选题例5已知几何体 ABCED 的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为 4 的等腰直角三角形，正视图为直角梯形(1)求此几何体的体积；(2)求异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值；(3)探究在 DE 上是否存在点 Q，使得 AQBQ，并说明理由【解析】(1)由该几何体的三视图可知 AC 垂直于底面 BCED，且 ECBCAC4，BD1，S 梯形 BCED12(41)410，VABCED13S 梯形 BCEDAC13104403，所以此几何体的体积为403.(2)过点 B 作 BFED 交 EC 于 F，连接 AF
13、，则FBA 或其补角即为异面直线 DE 与 AB 所成角，在BAF 中，AB4 2，BFAF 1695，cosABFBF2AB2AF22BFAB2 25，即异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值为2 25.(3)在 DE 上存在点 Q，使得 AQBQ；取 BC 中点 O，过点 O 作 OQDE 于点 Q，则点 Q 为所求点；连接 EO、DO，在 RtECO 和 RtOBD 中，ECCOOBBD2，RtECO RtOBD，CEOBOD，EOCCEO90，EOCDOB90，EOD90，OE CE2CO22 5，OD OB2BD25，OQOEODED2 5 552，以 O 为圆心，BC 为直径的圆
14、与 DE 相切，切点为 Q，连接 BQ、CQ，可得 BQCQ；AC平面 BCED，BQ平面 BCED，ACBQ，BQ平面 ACQ，AQ平面 ACQ，AQBQ.1证明线面垂直的方法主要有：(1)利用线面垂直的定义：a 与 内任何直线垂直a；(2)利用判定定理：(3)利用第二判定定理：ab，ab；(4)利用面面平行的性质定理：，aa.(5)利用面面垂直的性质定理：，l，a，ala.2证明面面垂直的方法有：(1)利用定义：和 所成的二面角为直二面角；(2)利用判定定理：a，a .3掌握性质定理：(1)，l，a，ala，用来证明线面垂直，也用来确定点到平面的垂线段(2)，点 P，Pa，aa.4注意线线
15、垂直线面垂直面面垂直的相互转化(2014 湖北)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1 中，E，F，P，Q，M，N 分别是棱 AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1 的中点求证：(1)直线 BC1平面 EFPQ；(2)直线 AC1平面 PQMN.【解析】(1)连接 AD1，由 ABCDA1B1C1D1 是正方体，知 AD1BC1，因为 F，P 分别是 AD，DD1 的中点，所以 FPAD1.从而 BC1FP.而 FP平面 EFPQ，且 BC1平面 EFPQ，故直线 BC1平面 EFPQ.(2)如图，连接 AC，BD，则 ACBD.由 CC1平面 ABCD，BD平面 ABCD，可得 CC
16、1BD.又 ACCC1C，所以 BD平面 ACC1.而 AC1平面 ACC1，所以 BDAC1.因为 M，N 分别是 A1B1，A1D1 的中点，所以 MNBD，从而 MNAC1.同理可证 PNAC1.又 PNMNN，所以直线 AC1平面 PQMN.1已知三条不重合的直线 m，n，l，两个不重合的平面，有下列四个命题：若 mn，n，则 m；若 l，m，且 lm，则；若 m，n，m，n，则；若，m，n，nm，则 n.其中正确命题的个数为()A1 B2 C3 D4B【解析】m 与 的位置关系不确定，m 不一定成立，不成立；由于 m 与 n 几何位置关系不确定，的条件不具备，不成立；都符合有关判定的
17、条件，正确的命题有两个2已知三棱锥 SABC 的三视图如图所示，在原三棱锥中给出下列命题正确的是()A异面直线 SB 与 AC 所成的角是 90BBC平面 SABCBC平面 SACD平面 SBC平面 SABC3如图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别是 AB1、BC1 的中点，则以下结论中不成立的是()AEF 与 BB1 垂直BEF 与 BD 垂直CEF 与 CD 异面DEF 与 A1C1 异面D【解析】连接 B1C，AC，则 B1C 交 BC1 于 F 且 F为 B1C 的中点，又 E 为 AB1 的中点，所以 EF 綊12AC，而 B1B平面 ABCD，所以 B1BAC
18、，所以 B1BEF；又 ACBD，所以 EFBD；显然 EF 与 CD 异面由EF 綊12AC，ACA1C1 得 EFA1C1，故选 D.4设，是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列命题：若，则；若 l 上有两点到 的距离相等，则 l；若 l，l，则；若，l，且 l，则 l.其中正确的命题是()ABC D【解析】命题中 和 可能平行或相交；命题中l 和 可能相交，故选 D.D5正四棱锥 SABCD 的底面边长为 2，高为 2，E是边 BC 的中点，动点 P 在表面上运动，并且总保持PEAC，则动点 P 的轨迹的周长为_2 6【解析】由题意知：点 P 的轨迹为如图所示的三角形 EFG，其中 G
19、、F 为中点，EF12BD 2，GEGF12SB 62，轨迹的周长为 2 6.6.如图，在多面体 ABCDE 中，AB平面 ACD，DE平面 ACD，ACADCDDE2，AB1，F为 CD 的中点(1)求证：AF平面 CDE；(2)求异面直线 AC 与 BE 所成角的余弦值【解析】(1)DE平面 ACD，AF平面 ACD，DEAF，又ACAD，F 为 CD 的中点，AFCD，又 DECDD，AF平面 CDE.(2)DEAB，取 DE 中点 M，连结 AM，CM，则四边形 AMEB 为平行四边形，AMBE，则CAM 为 AC 与 BE 所成的角，在ACM 中，AC2，AM AD2DM2 41 5
20、，CM CD2DM2 41 5，由余弦定理得：cosCAM22（5）2（5）222 5 55，异面直线 AC 与 BE 所成的角的余弦值为 55.7.如图，四棱锥 PABCD 的底面是正方形，PD底面 ABCD，点 E 在棱 PB 上(1)求证：平面 AEC平面 PDB；(2)当 PD 2AB 且 E 为 PB 的中点时，求三棱锥PAEC 的体积【解析】(1)四边形 ABCD 是正方形，ACBD.PD底面 ABCD，PDAC.AC平面 PDB.平面 AEC平面 PDB.(2)VPAECVPABCDVPACDVEABC 131 21312 21312 22 23 26 212 212.8 如 图
21、，在 长 方 体 ABCD A1B1C1D1 中，ABAD1，AA12，M为棱 DD1 上的一点(1)求三棱锥 AMCC1 的体积；(2)当 A1MMC 取得最小值时，求证：B1M平面 MAC.【解析】(1)AD平面 CDD1C1，点 A 到平面CDD1C1 的距离等于 AD1，又 SMCC112CC1CD12211.VAMCC113ADSMCC113.因此，BC平面 SAC，BC平面 SBC，可得平面 SAC平面 SBC.(2)将侧面 CDD1C1 绕 DD1 逆时针转 90展开，与侧面 ADD1A1 共面，当 A1，M，C共线时，A1MMC 取得最小值 由 ADCD1，AA12，得 M 为 DD1 的中点 连接 C1M，在C1MC 中，MC1 2，MC 2 CC12，CC21MC21MC2，得CMC190，即 CMMC1，又 B1C1C1MC1，CM平面 B1C1M，得CMB1M；同理可证，B1MAM，又 AMMCM，B1M平面 MAC.