1、单元素养评价(四)(第5章)(120分钟150分)一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列各式正确的是()A(sin a)cos a(a为常数)B(cos x)sin xC(sin x)cos xD(x5)x6【解析】选C.由导数公式知选项A中(sin a)0；选项B中(cos x)sin x；选项D中(x5)5x6.2如果物体的运动方程为s2t(t1)，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在2秒末的瞬时速度是()A米/秒 B米/秒C米/秒 D米/秒【解析】选A.因为ss(t)2t，所以s(t)2.故物体在2秒末的瞬时速度s(
2、2)2.3若函数f(x)x3f(1)x2x，则f(1)的值为()A0 B2 C1 D1【解析】选A.f(x)x22f(1)x1，则f(1)122f(1)11，解得f(1)0.4已知函数f(x)ax3bx(a，bR)的图象如图所示，则a，b的关系是()A.3ab0 B3ab0Ca3b0 Da3b0【解析】选B.由函数图象知，x1为函数的极大值点，x1为函数的极小值点，即1，1是f(x)0的两个根，又f(x)3ax2b，所以3ab0.5已知yf(x)是定义在R上的函数，且f(1)1，f(x)1，则f(x)x的解集是()A(0，1) B(1，0)(0，1)C(1，) D(，1)(1，)【解析】选C.
3、不等式f(x)x可化为f(x)x0，设g(x)f(x)x，则g(x)f(x)1，由题意g(x)f(x)10，所以函数g(x)在R上单调递增，又g(1)f(1)10，所以原不等式g(x)0g(x)g(1).所以x1.6若函数f(x)ln |x|f(1)x23x2，则f(1)()A2 B2 C8 D10【解析】选C.当x0时，f(x)ln xf(1)x23x2，f(x)2f(1)x3，f(1)42f(1)；当x0，得x2，由f(x)0，得2x2，所以函数f(x)在(，2)上递增，在2，2上递减，在(2，)上递增，故选项C正确；所以当x2时，f(x)取得极大值f(2)(2)34(2)2，当x2时，f
4、(x)取得极小值f(2)23422，故选项A正确；当x3，4时，f(x)为单调递增函数，所以当x3时，f(x)取得最小值f(3)334321，当x4时，f(x)取得最大值f(4)43442，故选项B不正确；因为f(0)4，所以曲线yf(x)在点(0，2)处的切线方程为y24(x0)，即y4x2，故选项D正确10函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，以下命题错误的是()A.3是函数yf(x)的极值点B1是函数yf(x)的最小值点Cyf(x)在区间(3，1)上单调递增Dyf(x)在x0处切线的斜率小于零【解析】BD.根据导函数的图象可知，当x(，3)时，f(x)0，当x(3，1)时，f(
5、x)0，所以函数yf(x)在(，3)上单调递减，函数yf(x)在(3，1)上单调递增，则3是函数yf(x)的极值点；因为函数yf(x)在(3，1)上单调递增，则1不是函数yf(x)的最小值点；因为函数yf(x)在x0处的导数大于0，则yf(x)在x0处切线的斜率大于零11若函数f(x)2x3ax2(a0)在上有最大值，则a的取值可能为()A6 B5 C4 D3【解析】选ABC.令f(x)2x(3xa)0，得x10，x2(a0)，当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0，则f(x)的增区间为，(0，)，减区间为，即f(x)在x处取得极大值f.由f(x)，得0，解得x或x，又f(x)在上有最大值
6、，所以1时，y0，此时，函数y在区间(1，)上单调递减，A选项符合题意；对于B选项，f(x)x，则y，当x1时，y.当1xe时，ye时，y0.此时，函数y在区间(1，)上不单调，B选项不符合题意；对于C选项，f(x)，则y，当x1时，y1时，y.当1x时，y时，y0.此时，函数y在区间(1，)上不单调，D选项不符合题意三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13若曲线yex上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_【解析】设P(x0，y0)，因为yex，所以yex，所以点P处的切线斜率为ke2，所以x0ln 2，所以x0ln 2，所以y0eln 22，所以点P的坐标为(ln
7、2，2).答案：(ln 2，2)14已知函数f(x)xsin x，x(0，)，则f(x)的最小值为_【解析】令f(x)cos x0，得x.当x时，f(x)0，f(x)在x处取得极小值又f(x)在(0，)上只有一个极值点，易知f即为f(x)的最小值答案：15已知函数f(x)xexc有两个零点，则c的取值范围是_.【解析】因为f(x)ex(x1)，所以易知f(x)在(，1)上是减函数，在(1，)上是增函数，且f(x)minf(1)ce1，由题意得ce10，得ce1.因为当c0时，x(，1)时，f(x)xexc0.综上0c.答案：(0，)16已知函数f(x)xln (xa)，若a2时，则f(0)_；
8、又若f(x)的最小值为0，其中a0，则a的值为_(本题第一空2分，第二空3分)【解析】f(x)的定义域为(a，)，f(x)1.当a2时，f(x)1，所以f(0)1.又由f(x)0，解得x1aa.当ax1a时，f(x)0，f(x)在(a，1a)上单调递减；当x1a时，f(x)0，f(x)在(1a，)上单调递增因此，f(x)在x1a处取得最小值，由题意知f(1a)1a0，故a1.答案：1四、解答题(本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知函数f(x)x33xf(a)(其中aR)，且f(a)，求：(1)f(x)的表达式；(2)曲线yf(x)在xa处的切线方程【
9、解析】(1)f(x)x23f(a)，于是有f(a)a23f(a)f(a)，所以f(x)x3x，又f(a)，即a3a3a1，f(x)x3x.(2)由(1)知切点为，切线的斜率f(a)，所以切线方程为y(x1)，即3x6y40.18(12分)已知a为实数，f(x)(x24)(xa).(1)求导数f(x)；(2)若f(1)0，求f(x)在2，2上的最大值和最小值【解析】(1)由原式得f(x)x3ax24x4a，所以f(x)3x22ax4.(2)由f(1)0，得a，此时有f(x)(x24)，f(x)3x2x4.令f(x)0，得x或x1.又f，f(1)，f(2)0，f(2)0，所以f(x)在2，2上的最
10、大值为，最小值为.19(12分)(2021长沙高二检测)已知函数f(x)excos xax.(1)当a2时，证明：f(x)在(，0)上单调递减；(2)若对任意x0，f(x)xcos x恒成立，求实数a的取值范围【解析】(1)当a2时，函数f(x)excos x2x，f(x)exsin x2，若x0，则ex1.因为sin x1，所以f(x)exsin x20时，由f(x)xcos x，整理得a1.设g(x)1，则g(x).令g(x)0，得x1，则g(x)在(1，)上单调递增；令g(x)0，得0x1，则g(x)在(0，1)上单调递减所以g(x)ming(1)e1，ae1.综上，实数a的取值范围是(
11、，e1.20(12分)(2021徐州高二检测)如图，已知海岛A与海岸公路BC的距离AB为50 km，B，C间的距离为50 km，从A到C，需要先乘船至海岸公路BC上的登陆点D，船速为25 km/h，再乘汽车至C，车速为50 km/h.设BAD.(1)用表示从海岛A到C所用的时间f()，并写出的取值范围；(2)登陆点D应选在何处，能使从A到C所用的时间最少？【解析】(1)在RtABD中，AB50，BAD，所以AD，BD50tan ，所以CD5050tan ，所以f()tan ，又tan BAC，所以BAC，所以的取值范围是.(2)f()，由f()0得sin，又，所以，所以当0时，f()0；当0，
12、所以当时，f()有极小值，即最小值；此时BD50tan .答：登陆点D与B的距离为 km时，从A到C所用的时间最少21(12分)设f(x)a ln x，其中a为常数，讨论函数f(x)的单调性【解析】函数f(x)的定义域为(0，).f(x).当a0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增当a0时，令g(x)ax2(2a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1)，当a时，0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减当a时，0，g(x)0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减当a0时，0.设x1，x2(x1x2)是函数g(x)的两个零点，则x1，x2，由x10，所以x(0，x1
13、)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减，x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增，x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减，综上可得：当a0时，函数f(x)在(0，)上单调递增；当a时，函数f(x)在(0，)上单调递减；当a0时，函数f(x)在，上单调递减，在上单调递增22(12分)已知函数f(x)x2m ln x，h(x)x2xa.(1)当a0时，f(x)h(x)在(1，)上恒成立，求实数m的取值范围；(2)当m2时，若函数k(x)f(x)h(x)在区间1，3上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围【解析】(1)由f(x)h(x)在(1，)上恒成立，得m在(1，)上恒成立，令g(x)，则g(x)，故g(e)0，当x(1，e)时，g(x)0.故g(x)在(1，e)上单调递减，在(e，)上单调递增，故当xe时，g(x)的最小值为g(e)e.所以me.(2)由已知可知k(x)x2ln xa，函数k(x)在1，3上恰有两个不同零点，相当于函数(x)x2ln x与直线ya有两个不同的交点，(x)1，故(2)0，所以当x1，2)时，(x)0，所以(x)单调递增所以(1)1，(3)32ln 3，(2)22ln 2，且(1)(3)(2)0，所以22ln 2a32ln 3.所以实数a的取值范围为(22ln 2，32ln 3.