1、三十四基本初等函数的导数 (15分钟30分)1(2021徐州高二检测)若函数f(x)x2，则f(x)在x1处的导数为()A2x B2 C3 D4【解析】选B.因为f(x)2x，所以f(1)2.2下列结论正确的是()A若ycos x，则ysin xB若ysin x，则ycos xC若y，则yD若y，则y【解析】选C.因为(cos x)sin x，所以A不正确；因为(sin x)cos x，所以B不正确；因为()，所以D不正确3若f(x)sin x，f()，则下列的值中满足条件的是()A B C D【解析】选A.因为f(x)sin x，所以f(x)cos x.又因为f()cos ，所以2k(kZ)
2、.当k0时，.4已知直线ykx是曲线y3x的切线，则k的值为_【解析】设切点为(x0，y0).因为y3xln 3，所以k3x0ln 3，所以y3x0ln 3x，又因为(x0，y0)在曲线y3x上，所以3x0ln 3x03x0，所以x0log3e.所以keln 3.答案：eln 35求曲线y与yx2在它们交点处的两曲线的切线与x轴所围成的三角形的面积【解析】联立两条曲线方程解得故交点坐标为(1，1).因为k1|x12，所以两条切线的方程分别为xy20，2xy10，与x轴所围成的图形如图(阴影部分)所示因为两条切线与x轴的交点分别为(2，0)，.所以三角形的面积S1. (30分钟60分)一、单选题
3、(每小题5分，共20分)1下列命题正确的是()A(logax)B(logax)C(3x)3x ln 3 D(ln x)ex【解析】选C.根据基本初等函数的导数公式知，(logax)，(3x)3x ln 3，(ln x).所以A，B，D均不正确，C正确2已知曲线yx3在点(2，8)处的切线方程为ykxb，则kb()A4 B4 C28 D28【解析】选C.因为y3x2，所以点(2，8)处的切线斜率kf(2)12.所以切线方程为y812(x2)，即y12x16，所以k12，b16，所以kb28.3若曲线y在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是()A4 B4 C2 D2
4、【解析】选A.y，y|xa|xa，所以切线方程为y(xa).令x0，得y，令y0，得xa.由题意知Sa2，解得a4.【补偿训练】若曲线y在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a_【解析】因为y，所以曲线y在点处的切线方程为：y (xa)，令x0得y，令y0得x3a，所以3a18，解得a64.答案：644对任意的x，有f(x)4x3，f(1)1，则此函数解析式为()Af(x)x3 Bf(x)x42Cf(x)x31 Df(x)x41【解析】选B.由f(x)4x3知f(x)中含有x4项，然后将x1代入选项中验证可得【补偿训练】已知曲线yx3在点P处的切线斜率为k，则当k3时的P点坐标为
5、()A(2，8)B(1，1)或(1，1)C(2，8) D【解析】选B.因为y3x2，k3，所以3x23，所以x1.故P点坐标为(1，1)或(1，1).二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5下列曲线的切线中，不存在互相垂直的切线的曲线是()Af(x)ex Bf(x)x3Cf(x)ln x Df(x)sin x【解析】选ABC.若存在互相垂直的切线，则其斜率之积为1，或一条切线的斜率不存在，另一条切线的斜率为0.A中，f(x)ex0，B中f(x)3x20，C中f(x)(x0)，故ABC中均不存在互相垂直的切线而D中f(x)cos x，其可正可负，一
6、定存在使cos x1cos x21的情形6直线yxb能作为下列函数图象的切线是()Af(x) Bf(x)x4Cf(x)sin x Df(x)ex【解析】选BCD.f(x)，故f(x)，无解，故A排除；f(x)x4，故f(x)4x3，故x，即曲线在点处的切线为yx，B正确；f(x)sin x，故f(x)cos x，取x，故曲线在点处的切线为yx，C正确；f(x)ex，故f(x)ex，故xln 2，曲线在点处的切线为yxln 2，D正确三、填空题(每小题5分，共10分)7点P是f(x)x2上任意一点，则点P到直线yx1的最短距离是_【解析】与直线yx1平行的f(x)x2的切线的切点到直线yx1的距
7、离最小设切点为(x0，y0)，则f(x0)2x01，所以x0，y0.即P到直线yx1的距离最短，所以d.答案：8函数f(x)，则f(x)_，f_【解析】因为f(x)x，所以f(x).f.答案：四、解答题(每小题10分，共20分)9已知P(1，1)，Q(2，4)是曲线yx2上的两点，(1)分别求过P点，Q点的曲线yx2的切线方程；(2)求与直线PQ平行的曲线yx2的切线方程【解析】(1)因为y2x.P(1，1)，Q(2，4)都是曲线yx2上的点过P点的切线的斜率k1y|x12，过Q点的切线的斜率k2y|x24，过P点的切线方程为y12(x1)，即2xy10.过Q点的切线方程为y44(x2)，即4
8、xy40.(2)因为y2x，直线PQ的斜率k1，切线的斜率ky|xx02x01，所以x0，所以切点M，与PQ平行的切线方程为yx，即4x4y10.10设曲线yxn1(nN*)在点(1，1)处的切线与x轴交点的横坐标为xn，令anlg ，计算a1a2a3a2 019.【解析】因为yxn1，所以y(n1)xn，所以曲线在(1，1)处的切线斜率为kn1，切线方程为y1(n1)(x1).令y0，得x，即xn，所以anlg lg (n1)lg n，所以a1a2a3a2 019lg 2lg 1lg 3lg 2lg 4lg 3lg 2 020lg 2 019lg 2 0201lg 202.1设f0(x)si
9、n x，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，则f2 020(x)()Asin x Bsin xCcos x Dcos x【解析】选A.f0(x)sin x，f1(x)f0(x)(sin x)cos x，f2(x)f1(x)(cos x)sin x，f3(x)f2(x)(sin x)cos x，f4(x)f3(x)(cos x)sin x，所以4为最小正周期故f2 020(x)f4(x)sin x2已知两条曲线y1sin x，y2cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处的两曲线的切线互相垂直？并说明理由【解析】不存在理由如下：设两条曲线y1sin x，y2cos x的一个公共点为P(x0，y0).则两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1y1|xx0cos x0，k2y2|xx0sin x0，若使两条切线互相垂直，必须有cos x0(sin x0)1，即sin x0cos x01，即sin 2x02，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两曲线的切线互相垂直