1、第107-110课时：第十四章 复数复数的代数形式及其运算课题：复数的代数形式及其运算一教学目标：掌握复数的基本题型，主要是讨论复数的概念，复数相等，复数的几何表示，计算复数模，共轭复数，解复数方程等。二教学重点：复数的几何表示，计算复数模，共轭复数，解复数方程等。三教学过程：（一）主要知识：1共轭复数规律，；2复数的代数运算规律（1）i=1，i=i，i=1，i=i；（3）iiii=1，iiii=0；3辐角的运算规律（1）Arg（zz）ArgzArgz（3）Arg=nArgz（nN），n1。或zR。要条件是|z|a|。（6）zz0，则4根的规律：复系数一元n次方程有且只有n个根，实系数一元n次
2、方程的虚根成对共轭出现。5求最值时，除了代数、三角的常规方法外，还需注意几何法及不等式|z|z|zz|z|+|z|的运用。即|zz|z|+|z|等号成立的条件是：z，z所对应的向量共线且同向。|zz|z|z|等号成立的条件是：z，z所对立的向量共线且异向。（二）范例分析.2004年高考数学题选1.（2004高考数学试题（浙江卷，6）已知复数z1=3+4i, z2=t+i, 且是实数，则实数t=( )A B C- D-2.(2004年北京春季卷，2)当时，复数在复平面上对应的点位于 （ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.(2004年北京卷，2）满足条件的复数在复平面上对应点的轨
3、迹是( C )A一条直线 B两条直线 C圆 D椭圆.主要的思想方法和典型例题分析：1化归思想复数的代数、几何、向量及三角表示，把复数与实数、三角、平面几何和解析几何有机地联系在一起，这就保证了可将复数问题化归为实数、三角、几何问题。反之亦然。这种化归的思想方法应贯穿复数的始终。【分析】这是解答题，由于出现了复数和，宜统一形式，正面求解。解法一、设zxyi（x，yR），原方程即为用复数相等的定义得：=1，=1+3i.两边取模，得：整理得 解得 或代入式得原方程的解是=1，=1+3i.【例2】（1993全国理）设复数z=cosisin（0【解】zcos+isin=cos4isin4即，又0，当时，
4、或【说明】此题转化为三角问题来研究，自然、方便。【例3】设a，b，x，yR+，且（r0），求证：分析令=ax+byi，=bx+ayi（a，b，x，yR+），则问题化归为证明：|+|r（a+b）。证明设=ax+byi，=bxayi（a，b，x，yR+），则=|（a+b）x+（ab）yi|=|（ab）（x+yi）|（ab）r。解如图所示，设点Q，P，A所对应的复数为：即（x3a+yi）（i）（x3a+yi）由复数相等的定义得而点（x，y）在双曲线上，可知点P的轨迹方程为【说明】将复数问题化归为实数、三角、几何问题顺理成章，而将实数、三角、几何问题化归为复数问题，就要有较强的联想能力和跳跃性思维能力
5、，善于根据题设构造恰到好处的复数，可使问题迎刃而解。2分类讨论思想分类讨论是一种重要的解题策略和方法。在复数中它能使复杂的问题简单化，从而化整为零，各个击破。高考复数考题中经常用到这种分类讨论思想方法。【例5】（1990全国理）设a0，在复数集C中解方程z2|z|=a。分析一般的思路是设z=xyi（x，yR），或z=r（cosisin），若由z2|z|=a转化为z=a2|z|，则zR。从而z为实数或为纯虚数，这样再分别求解就方便了。总之，是一个需要讨论的问题。【解】解法一z=a2|z|R，z为实数或纯虚数。问题可分为两种情况：（1）若zR，则原方程即为|z|+2|z|a=0，（2）若z为纯虚数
6、，设z=yi（yR且y0），则原方程即为|y|2|y|a=0当a=0时，|y|=2即z=2i。当0a1时，当a1时，方程无实数解，即此时原方程无纯虚数解。综上所述，原方程：当a=0时，解为z0或z=2i解法二设z=xyi，x，yR，将原方程转化为3数形结合思想数与形是数学主要研究内容，两者之间有着紧密的联系和互相渗透、互相转化的广阔前景，复平面的有关试题正是它的具体表现。运用数形结合思想与方法解题是高考考查的热点之一，应引起注意。【例6】已知|z|=1，且z+z1，求z。【解】由z+z=1联想复数加法的几何性质，不难发现z，z，1所对应的三点A，B，C及原点O构成平行四边形的四个顶点，如图所示
7、，【说明】这样巧妙地运用联想思维，以数构形，以形思数，提炼和强化数形结合的思想方法，有利于培养学生思维的深刻性。【例7】复平面内点A对应复数z，点B对应复数为，O为原点，AOB是面积为的直角三角形，argz(0，)，求复数z的值xOABy图1【分析】哪一个角为直角，不清楚，需要讨论【解】因|OA|=|z|=|OB|，故A不可能是直角，因而可能AOB=90或ABO=90xOABy图2若AOB=90，示意图如图1所示因z与所对应的点关于实轴对称，故argz=45,SAOB=|OA|OB|=|z|=|z|2=于是，|z|=2，从而，z=2(cos45+isin45)=+i若ABO=90，示意图如图2
8、所示因z与所对应的点关于实轴对称，且AOB90，故argz=45令z=r(cos+isin)，则cos2=，sin2=，SAOB=|OA|OB|sin2=rr=r2=于是，r=又cos=，sin=，故z=(+i)=2+i综上所述，z=+i或z=2+i【说明】解题关键点：正确地对直角的情况进行分类讨论，正确地理解复数的几何意义，作出满足条件的示意图解题规律：复数的几何意义来源于复数z=a+bi(a、bR)与复平面上的点(a，b)之间的一一对应，它沟通了复数与解析几何之间的联系，是数形结合思想的典型表示解题技巧：复数z与它的共轭复数在复平面内对应的向量关于实轴对称这样巧妙地以形译数，数形结合，不需
9、要计算就解决了问题，充分显示了数形结合的思想方法在解题中的作用。4集合对应思想【例8】如图所示，在复平面内有三点P，P，P对应的复数应的复数为a，2a，3a，且它们有相同的辐角主值（如图所示），即A，P，P，P共线。从而2sin2因此有a=2i。5整体处理思想解复数问题中，学生往往不加分析地用复数的代数形式或三角形式解题。这样常常给解题带来繁琐的运算，导致解题思路受阻。因此在复数学习中，有必要提炼和强化整体处理的思想方法，居高临下地把握问题的全局，完善认识结构，获得解题的捷径，从而提高解题的灵活性及变通性。【例9】已知z=2i，求z3zz+5z2的值。【分析】如果直接代入，显然比较困难，将z用
10、三角式表示也有一定的难度。从整体角度思考，可将条件转化为（z2）=（i）=1，即z4z+4=1，即z4z+5=0，再将结论转化为z3zz+5z2=（z4z5）（zz）+2，然后代入就不困难了。【解】z=2i，（z2）=（i）=1即z4z+5=0z3zz+5z2=（z4z+5）（zz）+2=2。【例10】已知，求。【解】解由条件得【说明】把题中一些组合式子视作一个“整体”，并把这个“整体”直接代入另一个式子，可避免由局部运算带来的麻烦。【例11】复平面上动点z的轨迹方程为：|zz|z|，z0，另一动点z满足zz=1，求点z的轨迹。解由|zz|z|，知点z的轨迹为连结原点O和定点z的线段的垂直平分
11、线。将此式整体代入点z1的方程，得的圆（除去原点）。【例12】设zc，a0，解方程z|z|azi=0。边取模，得【说明】解复数方程，可通过整体取模，化为实数方程求解。综上所述，解答复数问题，应注意从整体上去观察分析题设的结构特征，挖掘问题潜在的特殊性和简单性，充分利用复数的有关概念、共轭复数与模的性质、复数的几何意义以及一些变形技巧，对问题进行整体化处理，可进一步提高灵活、综合应用知识的能力。6有关最值问题的多角度思考【例13】复数z满足条件|z|=1，求|2zz+1|的最大值和最小值。解法一|z|=1，z=cosisin|2zz+1|=|2（cosisin）（cosisin）1|=|（2co
12、s2cos1）（2sin2sin）i|2zz+1|=|2zz+|设z的实部为a，则1a1|2zz+1|=|2az1|，|2zz+1|=4解法三：设=x+yi（x，yR），z=abi（a，br）且a+b=1，这说明对应的点是如图所示的椭圆，问题转化为求该椭圆上各点中与原点距离的最大值和最小值。时的圆的半径。得8x2x89r0， 由相内切条件知=0,解法四由模不等式：|2zz+1|2|z|z|+1=4，等号成立的条件是2z，z，1所对应的向量共线且同向，可知z是负实数，在|z|=1的条件下，z=-1当z=1时|2zz+1|=4。但另一方面：|2zz+1|2|z|z|1=0，这是显然成立的，可是这不
13、能由此确定|2zz+1|=0，实际上等号成立的条件应为2z，z，1表示的向量共线且异向，由2z与1对应的向量共线且异向知z=i，但是当z=i时，2z与z不共线，这表明|2zz+1|的最小值不是0。以上这种求最小值的错误想法和解法是学生易犯的错误，此部分内容既为重点也为难点，应向学生强调说明，并举例，切记取等号的条件。【例14】2001年普通高等学校招生全国统一考试(理18)已知复数z1i(1i)3()求argz1及|z|；()当复数z满足|z|1，求|zz1|的最大值【分析】本小题考查复数的基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力【解】()，|z1|()设，则当时，取得最大值，从而得到
14、的最大值为四课后作业：1、下列命题中正确的是 A方程|z+5|z5i|=8的图形是双曲线B方程|z+5|=8的图形是双曲线C方程|z+5i|z5i|=8的图形是双曲线的两支D方程|z+5i|z5i|=8的图形是双曲线靠近焦点F(0，5)的一支2、方程的图形是 A圆 B椭圆 C双曲线 D直线3、在复平面上绘出下列图形：4、已知是虚数，是实数。(1)求z对应复平面内动点A的轨迹；(2)设u=3iz+1，求u对应复平面内动点B的轨迹；（3）设，求对应复平面内动点C的轨迹。5、设A，B，C三点对应的复数分别为z，z，z满足(1)证明：ABC是内接于单位圆的正三角形；(2)求SABC；6、若，求所对应的
15、点A的集合表示的图形，并求其面积7设z1，z2是两个虚数，且z1+z2=-3，|z1|+|z2|=4若1=argz1，2=argz2，求cos(1-2)的最大值8（2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海理17）已知复数z1=cosi，z2=sin+i，求|z1z2|的最大值和最小值.四、专题训练参考答案1、解：DA的图形是直线，B的图形是圆，C是图形是双曲线的一去故选D|z+5i|-|z-5i|=8才是双曲线的两支2、解：A原方程即|z(2+i)|=7故选A3、解：4、解：（1）因为z是虚数，所以，于是，即，且，因此动点A轨迹是中心在原点，半径等于2的圆，但去掉两个点(2，0)与(2，0
16、)(2)由u=3iz+1得u1=3iz由(1)及题设知|z|=2，z2，所以|u1|=6，且u16i因此动点B的轨迹是圆，中心在(1，0)，半径等于6，但去掉两点(1，6)与(1，6)(3)设z=2(cos+isin)，(0，)则再令v=x+yi(x，yR)，则5、解：(1)由(ii)知A，B，C三点都在单位圆上再结合(i)得z=(z+z)设BC中点为D，它对应复数为z，那么由于正三角形的外接圆与内切圆的圆心合一，因此ABC的内切圆圆心6、因此动点A的图形是一个圆环设此圆环面积为S，那么7解：设|z1|=r，则|z2|=4-r(0r4)将z1=r(cos1+isin1)，z2=(4r)(cos2+isin2)，代入z1+z2=-3，得两式平方相加，得r2+(4-r)2+2r(4-r)(cos1cos2+sin1sin2)=9，于是cos(1-2)=1+，当r=2时，cos(1-2)取最大值.8解：故的最大值为最小值为.高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )版权所有：高考资源网()