1、二十四等差数列的性质及应用(习题课) (15分钟30分)1在数列an中，a12，2an12an1，则a101的值为()A49 B50 C51 D52【解析】选D.因为2an12an1，所以an1an.故数列an是首项为2，公差为的等差数列所以a101a1100d210052.2数列an是等差数列，a1a2a324，a18a19a2078，则a10a11()A16 B18 C20 D22【解析】选B.因为an是等差数列，所以a1a20a2a19a3a18，又a1a2a324，a18a19a2078，所以a1a20a2a19a3a1854.所以3(a1a20)54，所以a1a2018.所以a10a
2、11a1a2018.3(2021杭州高二检测)已知an为递增的等差数列，a4a72，a5a68，则公差d_【解析】因为an为递增的等差数列，且a4a72，a5a68，所以a5a62，所以a5，a6是方程x22x80的两个根，且a5a6，所以a52，a64，所以da6a56.答案：64(2021泰州高二检测)已知是等差数列，且a1a4a8a12a152，则a3a13的值为_【解析】由是等差数列，a1a15a4a122a8，所以a1a4a8a12a15a82，所以a3a132a84.答案：45已知等差数列an中，a1a4a715，a2a4a645，求此数列的通项公式【解析】因为a1a72a4，所以
3、a1a4a73a415，所以a45.又因为a2a4a645，所以a2a69，即(a42d)(a42d)9，(52d)(52d)9，解得d2.所以当d2时，a11，an2n3，当d2时，a111，an132n.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1(2021厦门高二检测)若公差d0，且a1，a2是关于x的方程x2a3xa40的两个根，则an()A2n B2n1Cn2 D3n2【解析】选A.因为a1，a2是方程x2a3xa40的解，所以由为等差数列，得a1d2，所以通项公式为an2(n1)22n.2.已知数列是等差数列，且a32，a1530，则a9等于()A12 B24 C16 D
4、32【解析】选A.令bn，由题意可知b3，b152，则等差数列bn的公差d，则b9b3(93)d，所以a99b912.3已知等差数列an的前n项和为Sn，若a1a200，且A、B、C三点共线(该直线不过点O)，则a99a102()A1 B2 C4 D8【解析】选A.因为a1a200，且A、B、C三点共线，所以a1a2001，所以a99a102a1a2001.4(2021哈尔滨高二检测)已知是等差数列，若a1a5a98，则cos 的值为()A BC D【解析】选D.是等差数列，a1a5a983a5得a5，a3a72a5，cos cos .二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不
5、全的得3分，有选错的得0分)5若a，b，c成等差数列，则函数yax22bxc的图象与x轴的交点的个数为()A0 B1 C2 D3【解析】选BC.因为a，b，c成等差数列，所以2bac，所以4b24ac(ac)24ac(ac)20.所以二次函数yax22bxc的图象与x轴的交点个数为1或2.6(2021济南高二检测)已知等差数列的公差不为零，且a5ana10a20m(m，nN*)，则()Amn25B当且仅当n12时mn最大Cmn10Dmn的最大值是156【解析】选AD.因为等差数列中，a5ana10a20m，所以5n1020m，即mn25，A正确，C不能确定，所以mn(25n)nn225n2，又
6、nN*，所以n12或13时，mn取得最大值156，B错误，D正确三、填空题(每小题5分，共10分)7若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为_【解析】设这三个数为ad，a，ad，则解得或所以这三个数为1，3，7或7，3，1.所以这三个数的积为21.答案：218(2021石家庄高二检测)等差数列中，a11，a921，则a3与a7等差中项的值为_【解析】根据题意，等差数列中，a11，a921，则有a1a9a3a722，则a3与a7等差中项为11.答案：11四、解答题(每小题10分，共20分)9已知an是等差数列，a158，a6020，求a75的值【解析】解法1：因为a15a
7、114d，a60a159d，所以解得故a75a174d7424.解法2：因为an为等差数列，所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，其公差为d，a15为首项则a60为其第四项，所以a60a153d，得d4，所以a75a60d20424.10(2021汕头高二检测)在等差数列中，已知a1a2a321，a1a2a3231.(1)求该数列中a2的值(2)求该数列的通项公式an.【解析】(1)由等差数列性质得a1a2a33a221，所以a27；(2)设等差数列公差为d，所以a1a2a3(a2d)a2(a2d)77231，解得d4，所以ana2d，即an4n1或an4n15.1在1和17之间插入n2个数，使这n个数成等差数列，若这n2个数中第一个为a，第n2个为b，当取最小值时，n的值为()A6 B7 C8 D9【解析】选D.由已知得ab18，则2，所以当且仅当b5a时取等号，此时a3，b15，可得n9.2已知奇函数f(x)是定义在R上的增函数，数列是一个公差为2的等差数列，满足f(x7)f(x8)0，试求x2 020的值【解析】设x7x，则x8x2，因为f(x7)f(x8)0，所以f(x)f(x2)0，所以f(x2)f(x)f(x)，所以x2x，所以x1，则数列的通项公式为xnx72(n7)2n15，所以x2 02022 020154 025.