1、章末综合测评(四)数列 (满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知数列1，3，则是这个数列的()A第10项B第11项C第12项D第21项B观察可知该数列的通项公式为an(事实上，根号内的数成等差数列，首项为1，公差为2)，令212n1，解得n11，故选B2已知等差数列an满足3a34a4，则该数列中一定为零的项为()Aa6Ba7Ca8Da9B3a34a4，3a34(a3d)4a34d，a34d，ana3(n3)d4d(n3)d(n7)da70，故选B3在等比数列an中，a2，a6是方程x234x64
2、0的两根，则a4等于()A8B8C8D以上选项都不对Aa2a634，a2a664，a64，且a20，a60，a4a2q20(q为公比)，a484已知数列an的前n项和Sn满足：SnSmSnm，且a11，那么a10()A1B9C10D55Aa10S10S9由条件知S1S9S10a10(S1S9)S9S1a11，故选A5设an是公差不为0的等差数列，a12，且a1，a3，a6成等比数列，则an的前n项和Sn()A BCDn2nA设公差为d，则a1(a15d)(a12d)2，把a12代入可解得dan2(n1)nSnn2故选A6大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文
3、化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则该数列第18项为()A200B162C144D128B偶数项分别为2，8，18，32，50，即21，24，29，216，225，即偶数项对应的通项公式为a2n2n2， 则数列的第18项为第9个偶数， 即a18a29292281162，故选B7已知数列an，若a12，an1an2n1，则a2 020()A2 021B2 018C2 019D2 020Can1an2n1，an1(n1)(an
4、n)，即数列ann是以1为首项，1为公比的等比数列，ann(1)n1，ann(1)n1，a2 0202 02012 0198已知等差数列的公差不为零，其前n项和为Sn，若S3，S9，S27成等比数列，则()A3B6C9D12C由题意，知S3，S9，S27成等比数列，所以S S3 S27 ，即，整理得81a 3a2 27a14 ，所以(a14d)2(a1d)(a113d)，解得d2a1，所以9，故选C二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9已知等比数列an的前n项和为Sn，下列数列中一定是等比数列
5、的有()A Banan1CDSn，S2nSn，S3nS2nAB由数列an为等比数列可知，q(q0)，对于A， q2，故A正确；对于B，q20，故B正确；对于C，lg anlg an1lglg q，为等差数列，但是不一定为常数，即不一定为等比数列，故C错误；对于D，若an(1)n为等比数列，公比为1，则Sn有可能为0，不一定成等比数列，故D错误故选AB10设an是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S8，则下列结论正确的是()AdS5DS6与S7均为Sn的最大值ABD由an是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S8，则a6S6S50，a7S7S60，a8S8S70，a7a8S8S60，则数列an
6、为递减数列，即选项A，B正确；由S9S5a9a8a7a62(a8a7)0，即S9a2a6a70a8a9，可得S6与S7均为Sn的最大值，即选项D正确，故选ABD11已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且，则使得为整数的正整数n的值为()A2B3C4D14ACD由题意可得，则3，由于为整数，则n1为15的正约数，则n1的可能取值有3，5，15，因此，正整数n的可能取值有2，4，14故选ACD12在公比q为整数的等比数列中，Sn是数列的前n项和，若a1a432，a2a312，则下列说法正确的是()Aq2B数列是等比数列CS8510D数列是公差为2的等差数列ABC因为数列为等比数列，又a1
7、a432，所以a2a332，又a2a312，所以 或又公比q为整数，则即an2n，Sn2n12， 对于选项A，由上可得q2，即选项A正确；对于选项B，Sn22n1，2，则数列是等比数列，即选项B正确；对于选项C，S8292510，即选项C正确；对于选项D，lg an1lg an(n1)lg 2nlg 2lg 2，即数列是公差为lg 2的等差数列，即选项D错误故选ABC三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13已知各项均不为0的等差数列an，满足2a3a2a110，数列bn为等比数列，且b7a7，则b1b13_16各项均不为0的等差数列an满足2a3a2a110，
8、4a7a0，a74，b1 b13 b a 1614数列an的前n项和为Sn，若a11，an13Sn(n1)，则a6_768由an13Sn，得Sn1Sn3Sn，即Sn14Sn，所以数列Sn是首项为1，公比为4的等比数列，所以Sn4n1，所以a6S6S5454434476815张丘建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为_设第n天织布的尺数为an，可知数列an为等差数列，设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则a15，a
9、n1，Sn90，则Sn3n90，解得n30，a30a129d529d1，解得d，因此，每天比前一天少织布的尺数为16已知数列an满足a121，an1an2n，则a4_，数列的最小值为_(本题第一空2分，第二空3分)33因为an1an2n，所以an1an2n，从而anan12(n1)(n2)所以a4a3236，a3a2224，a2a1212，a121，a46422133ana1(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)2(n1)2(n2)2221212(n1)2n2n而a121，所以ann2n21，则n1，因为f(n)n1在(0，4递减，在5，)递增，当n4时，8.25，当n5时，8
10、.2，所以n5时取得最小值，最小值为四、解答题(本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知数列an为等差数列，且a35，a713(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足anlog4bn，求数列bn的前n项和Tn解(1)设ana1(n1)d，则解得a11，d2所以an的通项公式为an1(n1)22n1(2)依题意得bn4an42n1，因为16，所以bn是首项为b1414，公比为16的等比数列，所以bn的前n项和Tn(16n1)18(本小题满分12分)已知正项数列的前n项和为Sn，且Sn2(1)求a1，a2；(2)求证：数列是等差数列解(1)
11、由已知条件得：a12，a11又有a1a22，即a2a230解得a21(舍)或a23(2)证明：由Sn2得n2时，Sn12，SnSn1，即4anaa2an2an1，aa2an2an10，0，anan120，即anan12，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列19(本小题满分12分)已知数列an，bn满足an1anbn，为等比数列，且a12，a24，a310(1)试判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；(2)求an解(1)数列bn不是等比数列理由如下：由an1anbn，且a12，a24，a310得：b1a2a12，b2a3a26，又因为数列bn2为等比数列，所以可知其首项为4，公比为2 所以b
12、3242216，b314，显然b36b1b328，故数列bn不是等比数列(2)结合(1)知，等比数列bn2的首项为4，公比为2，故bn242n12n1，所以bn2n12，因为an1anbn，anan12n2(n2)令n2，(n1)，累加得an22(n1)，an2n22n22n12n，又a12满足上式，an2n12n20(本小题满分12分)已知等差数列an的前n项和为Sn，且Sn2n2knk(1)求an的通项公式；(2)若bn，求数列bn的前n项和Tn解(1)当n2时，anSnSn12n2knk22kk4nk2，当n1时，a1S12k2，又数列an为等差数列，故当n1时，a12k22k，解得k0
13、故an4n2(2)由(1)可知，bn，故Tn 故数列bn的前n项和Tn21(本小题满分12分)已知an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且a1b11，b2b32a3，a53b27(1)求an和bn的通项公式；(2)设cnanbn，nN*，求数列cn的前n项和解(1)设数列an的公比为q，数列bn的公差为d，由题意知q0由已知，得消去d，整理得q42q280因为q0，解得q2，所以d2所以数列an的通项公式为an2n1，nN*；数列bn的通项公式为bn2n1，nN*(2)由(1)有cn(2n1)2n1，设cn的前n项和为Sn，则Sn120321522(2n3)2n2(2n1)2n1，2Sn121322523(2n3)2n1(2n1)2n，上述两式相减，得Sn122232n(2n1)2n2n13(2n1)2n(2n3)2n3，所以，Sn(2n3)2n3，nN*22(本小题满分12分)设等差数列an的前n项和为Sn，且S44S2，a2n2an1(1) 求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足1，nN，求bn的前n项和Tn解(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d由S44S2，a2n2an1，得解得因此an2n1，nN(2)由已知1，nN，当n1时，；当n2时，1所以，nN由(1)知an2n1，nN，所以bn，nN所以Tn，Tn两式相减，得Tn，所以Tn3