1、山西省2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题：1.已知集合，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据交集的概念，即可得出结果.【详解】因为集合，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查求集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型.2.某商场在售的三类食品共200种的分布情况如图所示，质检部门要从中抽取一个容量为40的样本进行质量检测，则抽取的植物油类食品的种数是( )A. 8B. 12C. 24D. 30【答案】B【解析】【分析】根据统计图中植物油类食品所占比例，直接计算，即可得出结果.【详解】由统计图可得，植物油类食品占，因此抽取的植物油类食品的种
2、数是.故选：B【点睛】本题主要考查扇形统计图的应用，会分析统计图即可，属于基础题型.3.已知，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据分段函数解析式，直接计算函数值，即可得出结果.【详解】因为，所以，因此.故选：D.【点睛】本题主要考查分段函数求值的问题，直接代入即可，属于基础题型.4.下列函数既是奇函数，又在上是减函数的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数奇偶性，以及幂函数的单调性，逐项判断，即可判断出结果.【详解】A选项，因为，且函数的定义域为，所以函数是偶函数，排除A；B选项，因为且函数的定义域为，所以函数是奇函数；但，根据幂函数的单调
3、性，可得，函数单调递增，排除B；C选项，因为，所以显然是偶函数，排除C；D选项，因为，所以是奇函数；又根据幂函数的单调性可得：在上单调递增，所以在上是减函数.故选：D.【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与单调性确定函数解析式，熟记奇偶性的概念，以及幂函数的单调性即可，属于基础题型.5.任取，则事件“”发生的概率是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别解不等式，求出的范围，区间长度比即为所求概率.【详解】由得，解得：；其对应的区间长度为个单位；由得，解得：，其对应的区间长度为个单位；因此，所求概率为.故选：A.【点睛】本题主要考查与长度有关的几何概型，熟记概率计算公式，以及指
4、数与对数不等式的解法即可，属于基础题型.6.若，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据对数函数单调性，先比较的大小，确定大致范围；再根据指数函数的性质，确定，即可得出结果.【详解】因为函数是单调递减函数，所以；又根据指数函数的性质可得：，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查比较对数与指数幂的大小，熟记指数函数与对数函数的性质即可，属于常考题型.7.函数的值域为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由二次函数的性质，求出内函数的值域，再由对数函数的性质，即可求出结果.【详解】令，因为是开口向上，对称轴为的二次函数，所以在上单调递减，在上单调递增；因此，
5、即；又函数单调递增，所以时，.故选：A.【点睛】本题主要考查求对数型复合函数的值域，熟记对数函数的性质，以及二次函数的性质即可，属于常考题型.8.函数的图象大致为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义，先判断奇偶性，排除CD选项，再计算，排除A，即可得出结果.【详解】由得，所以函数的定义域为，又，所以函数为偶函数，其图像关于轴对称；排除CD选项；又，排除A.故选：B.【点睛】本题主要考查函数图像的识别，熟记函数奇偶性，灵活运用特殊值法处理即可，属于常考题型.9.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝
6、才得到其关，要见末日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地.这个问题用程序框图表示如下，若输入，则输出的结果为( )A. 6B. 12C. 24D. 48【答案】A【解析】【分析】根据题意，逐步执行程序框图，即可得出结果.【详解】由题意，初始值为：，；逐步执行框图如下：第一步：，进入循环，计算；第二步：，进入循环，计算；第三步：，进入循环，计算；第四步：，进入循环，计算；第五步：， 结束循环，输出.故选：A.【点睛】本题主要考查求循环结构框图的输出值，只需逐步执行框图即可，属于常考题型.10.
7、如图是某电商2019年12月1日至12月16日的日销售量（单位：件）统计图，销量小于100称为该商品滞销，销量大于200称为该商品畅销，则下列关于该商品在这16天的销量的说法不正确的是( )A. 该商品出现过连续4天畅销B. 该商品畅销的频率为0.5C. 相邻两天该商品销量之差的最大值为195D. 该商品销量的平均数小于200【答案】C【解析】【分析】根据统计图，逐项判断，即可得出结果.【详解】A选项，由统计图可得，12月12号至12月15号四天销量都大于200，故A正确；B选项，由统计图可得，16天内共有8天销量大于200，故畅销的频率为0.5，故B正确；C选项，由统计图可得，12月7号与1
8、2月8号两天的销量只差最大，为，故C错；D选项，由统计图可得：16天的总销量为，所以其平均数为，故D正确.故选：C.【点睛】本题主要考查折线图的应用，会分析折线图即可，属于常考题型.11.已知函数，则不等式的解集为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据奇偶性的概念，判断函数的奇偶性，再结合函数单调性，即可解所求不等式.【详解】因为的定义域为，由可得，函数是奇函数；根据幂函数单调性可得，单调递增；所以函数是增函数；所以不等式可化为，因此，解得：.故选：D【点睛】本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式，熟记函数奇偶性的概念，会根据函数解析式判定单调性即可，属于常考题型.12
9、.已知函数若关于的方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先画出函数图像，令，将原方程化为，根据函数图像，得到关于的方程有两不等的实根，且两根分别介于和之间；再令，根据二次函数零点分布情况，即可列出不等式，求出结果.【详解】画出函数的图像如下： 令，则方程可化为方程，由图像可得：当时，函数与直线有个不同的交点；当时，函数与直线有个不同的交点；又关于的方程有五个不同的实数根，所以只需关于的方程有两不等的实根，且两根分别介于和之间；令，则有，即，解得，.故选：C.【点睛】本题主要考查由方程根的个数求参数的问题，熟记二次函数零点分布情况，灵活
10、运用数形结合的方法即可求解，属于常考题型.二、填空题：13.函数的定义域是_.【答案】【解析】【分析】根据函数解析式，列出不等式求解，即可得出结果.【详解】为使有意义，只需，解得：.故答案为：.【点睛】本题主要考查求具体函数的定义域，只需求出使解析式有意义的自变量的范围即可，属于基础题型.14.计算：_.【答案】80【解析】【分析】根据指数幂与根式的互化，由指数运算法则，以及对数运算法则，直接计算，即可得出结果.【详解】.故答案为：.【点睛】本题主要考查指数幂与对数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.15.成语“半斤八两”意思是一个半斤，一个八两，“半斤”是指用“十两秤”来称某种物体的重量
11、，“八两”是指用“十六两秤”来称该物体的重量为八两，比喻彼此一样，不相上下.成语出自宋无名氏张协状元戏文第28出：“两个半斤八两，各家归去不须嗔.”事实上“十六两秤”是我国古代曾经使用非常广泛的一种称重衡器，秤杆上一两一星，每斤共计16克星，分别代表北斗七星、南斗六星和福禄寿.买卖交易时，短1两“减福”，短2两“亏禄”，缺3两“折寿”，商家以“货真价实，童叟无欺”自律.“十六两秤”的计数采用的是十六进制，即“逢十六进一”，若用A表示10，那么转换为十进制为_.（用数字作答）【答案】2576【解析】【分析】根据进位制的转换公式，直接计算，即可得出结果.【详解】.故答案为：.【点睛】本题主要考查由
12、其它进位制转换为十进制，熟记公式即可，属于基础题型.16.已知函数是奇函数，且在上单调递减，则实数_；实数的取值范围用区间表示为_.【答案】 (1). 1 (2). 【解析】【分析】先由奇函数的性质，得到，求出；再由二次函数的单调性，以及奇函数的性质，得到函数在区间上单调递减，进而可求出结果.【详解】因为函数是奇函数，所以，即，解得：；因此根据二次函数的性质，可得，当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；又因为，所以由奇函数的性质可得：函数在区间上单调递减；因为函数在上单调递减，所以只需： ，即，解得.故答案为：；.【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数，以及函数在某区间的单调性求参数的
13、问题，熟记分段函数的性质，以及奇函数的性质即可，属于常考题型.三、解答题：17.设.(1)求函数的解析式；(2)指出函数的单调区间（不必证明）.【答案】(1)；(2)的单调增区间是，单调减区间是.【解析】【分析】（1）根据换元法，令，即可结合已知条件求出结果；（2）根据指数函数单调性，即可得出单调区间.【详解】(1)令，即，代入，可得，所以(2)因为，根据指数函数单调性，可得：函数的单调增区间是，单调减区间是.【点睛】本题主要考查求函数解析式，以及求指数型函数的单调区间，灵活运用换元法求解析式，熟记指数函数的单调性即可，属于常考题型.18.从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数
14、的概率如下表所示：红灯个数0123456个及6个以上概率0.020.10.350.20.10.03(1)求表中字母的值；(2)求至少遇到4个红灯的概率；(3)求至多遇到5个红灯的概率.【答案】(1)0.2；(2)0.33；(3)0.97.【解析】【分析】（1）根据概率之和为1，由题中数据，即可列出等式，求出的值；（2）根据互斥事件的概率计算公式，由题中数据，即可求出结果；（3）根据对立事件的概率计算公式，即可求出结果.【详解】(1)由题意可得，解得.(2)设事件为遇到红灯的个数为4，事件为遇到红灯的个数为5，事件为遇到红灯的个数为6个及以上，则事件“至少遇到4个红灯”为，因为事件互斥，所以，即
15、至少遇到4个红灯的概率为0.33.(3)设事件为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件.则.【点睛】本题主要考查互斥事件的概率计算，以及概率的性质的应用，熟记概率计算公式，以及概率的性质即可，属于常考题型.19.一商场对5年来春节期间服装类商品的优惠金额（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间的关系进行分析研究并做了记录，得到如下表格.日期2014年2015年2016年2017年2018年245683040605070(1)画出散点图，并判断服装类商品的优惠金额与销售额是正相关还是负相关；(2)根据表中提供的数据，求出与的回归方程；(3)若2019年春节期间商场预定的服装类商品的优惠
16、金额为10万元，估计该商场服装类商品的销售额.参考公式：参考数据：【答案】(1)散点图见解析，正相关；(2)；(3)万元.【解析】【分析】（1）根据题中数据，描点，即可得出散点图；从而可得相关性；（2）根据题中数据，求出，根据最小二乘法求出与，即可得出回归直线方程；（3）根据（2）的结果，将代入，即可求出结果.【详解】(1)散点图如图所示.由图可知，服装类商品的优惠金额与销售额是正相关.(2)，所以线性回归方程为.(3)由(2)可知，当时，即服装类商品的优惠金额为10万元时，该商场服装类商品的销售额约为万元.【点睛】本题主要考查绘制散点图，求回归直线方程，以及由回归直线方程进行预测，熟记最小二
17、乘法求回归直线方程即可，属于常考题型.20.滨海市政府今年加大了招商引资的力度，吸引外资的数量明显增加.一外商计划在滨海市投资两个项目，总投资20亿元，其中甲项目的10年收益额（单位：亿元）与投资额（单位：亿元）满足，乙项目的10年收益额（单位：亿元）与投资额（单位：亿元）满足，并且每个项目至少要投资2亿元.设两个项目的10年收益额之和为.(1)求；(2)如何安排甲、乙两个项目的投资额，才能使这两个项目的10年收益额之和最大？【答案】(1)28亿元；(2)甲项目投资额为2亿元，乙项目投资额为18亿元时，这两个项目的10年收益额之和最大为80亿元.【解析】【分析】（1）根据题意，先得到甲乙两项目
18、投资额，进而可求出收益；（2）根据题意，列出函数关系式，得到，再由二次函数的性质，即可得出最值.【详解】(1)由题意可知甲项目投资为10亿元，乙项目投资亿元，所以（亿元）.(2)由题意可知乙项目的投资额为，且解得，所以，所以当时，的最大值为（亿元）.即甲项目投资额为2亿元，乙项目投资额为18亿元时，这两个项目的10年收益额之和最大，为80亿元.【点睛】本题主要考查函数模型的应用，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型.21.某企业对设备进行技术升级改造，为了检验改造效果，现从设备改造后生产的大量产品中抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，统计整理为如图所示的频率分布直方图：(1)估计该
19、企业所生产产品的质量指标的平均数和中位数（中位数保留一位小数）；(2)若产品的质量指标在内，则该产品为残次品，生产并销售一件残次品该企业损失1万元；若产品的质量指标在范围内，则该产品为特优品，生产一件特优品该企业获利3万元.把样本中的残次品和特优品取出合并在一起，在从中任取2件产品进行销售，那么该企业收入为多少万元的可能性最大？【答案】(1)17.08，17.1；(2)2万元.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图，由每组的中间值乘以该组的频率，再求和，即可得出平均值；由中位数两侧频率之和均为，根据题中数据，即可求出结果；（2）先由题意得，在这100件产品中，残次品有2件，设为，特优品有4件
20、，设为；用列举法，分别列举出“这6件产品中随机抽取2件”，“抽到2件残次品”，“抽到1件残次品”，“抽到2件特优品”对应的基本事件，基本事件个数比即为所求概率，比较概率大小，即可得出结果.【详解】(1)由频率分布直方图可得估计平均数为：；设中位数为，则易知中位数，所以，解得，即产品的质量指标的中位数约为17.1.(2)由频率分布直方图可知在这100件产品中，残次品有2件，设，特优品有4件，设为.从这6件产品中随机抽取2件包含以下基本事件：，共15个基本事件.若抽到2件残次品，该企业损失2万元，即收入为万元，该事件包含1个基本事件，则概率为若抽到1件残次品，1件特优品，该企业收入2万元，该事件包
21、含8个基本事件：则概率为.若抽到2件特优品，该企业收入6万元，其概率为综上可知，该企业收入2万元的可能性最大，为【点睛】本题主要考查由频率分布直方图求平均数与中位数，以及计算古典概型的概率，熟记概率计算公式，以及平均数与中位数的求法即可，属于常考题型.22.已知函数（为自然底数），且.(1)当时，对任意的，都有不等式，求实数的取值范围；(2)若函数是上的减函数，求的取值范围.【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）根据得，将原不等式化为，推出对任意的恒成立，求出的最大值，即可得出结果；（2）先由函数单调性的定义，判断函数在上是增函数，根据题意，得到在上恒大于0或恒小于0，进而可求出结果.【详解】(1)当时，因为，所以，所以不等式可化为，即对任意的恒成立，又在上单调递减，所以，因此只需，即实数的取值范围为.(2)设，且，所以因为，且，所以即所以函数在上是增函数，若要使函数是上的减函数，则在上恒大于0或恒小于0，即或，所以或，又因为，所以或.综上，若函数是上的减函数，则取值范围是【点睛】本题主要考查由不等式恒成立求参数，以及由函数在给定区间的单调性求参数的问题，熟记函数单调性，以及指数函数的性质即可，属于常考题型.