1、路北区第十一中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学学科试卷卷一、选择题（共12题，每题5分）1. 已知ABC中，c6，a4，B120，则b等于()A. 76B. 2C. 27D. 2【答案】B【解析】由余弦定理，得，故选B.2. 已知，则的形状是（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形【答案】A【解析】【分析】根据向量的坐标表示可得，再利用向量数量积的坐标表示即可判断.【详解】根据已知，有，因为，所以，即故为直角三角形故选：A【点睛】本题考查了向量的坐标表示、向量数量积的坐标表示，属于基础题.3. 下列不等式中，正确的是A. 若，则B. 若，则C. 若，
2、则D. 若，则【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质和带特殊值逐一排除【详解】若，则,故B错，设,则，所以C、D错，故选A【点睛】本题考查不等式的性质，注意正负号的应用4. 设等差数列的前项之和为已知，则（ ）A. 12B. 20C. 40D. 100【答案】B【解析】分析：由等差数列的通项公式可得，由可得，从而可得结果.详解：由等差数列的前项和的公式得：，即，从而，故选B.点睛：本题主要考查数列的通项公式与求和公式，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.5. 记为等比数列的前项和，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】设公比为，则有，进而可求出，结合等比数列的性
3、质，可求出和.【详解】设公比为，则有，解得，则，故选：D.【点睛】本题考查等比数列的性质，考查等比数列的通项公式及前项和公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.6. 如图，为测得河对岸塔的高，先在河岸上选一点，使在塔底的正东方向上，测得点的仰角为60，再由点沿北偏东15方向走到位置，测得，则塔的高是（单位：）（ ）A. B. C. D. 10【答案】B【解析】【分析】设塔高为x米，根据题意可知在ABC中，ABC=90，ACB=60，AB=x，从而有BC=，在BCD中，CD=10，BCD=105，BDC=45，CBD=30，由正弦定理可求 BC，从而可求x即塔高【详解】设塔高为x米，根据
4、题意可知在ABC中，ABC=90，ACB=60，AB=x，从而有BC=，AC=，在BCD中，CD=10，BCD=60+30+15=105，BDC=45，CBD=30由正弦定理可得， 可得，BC=.则x=10；所以塔AB的高是10米；故选B【点睛】本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，即正确建立数学模型，结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据，进而选择合适的公式进行求解7. 若、满足约束条件，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，找出使得该直线在轴上截距最大时对应的最优解，代入
5、目标函数计算即可得解.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，解得，即点，平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即.故选：C.【点睛】本题考查线性目标函数最值的求解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.8. 算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（ ）A. 8岁B.
6、 11岁C. 20岁D. 35岁【答案】B【解析】【分析】九个儿子的年龄成等差数列，公差为3【详解】由题意九个儿子的年龄成等差数列，公差为3记最小的儿子年龄为，则，解得故选B【点睛】本题考查等差数列的应用，解题关键正确理解题意，能用数列表示题意并求解9. 在区间上随机取两个实数,使得 的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】画出可行域，利用几何概型概率计算公式求得概率.【详解】画出图像如下图所示，整个区域是正方形区域，符合 的是阴影部分区域.故所求的概率为.故选D.【点睛】本小题主要考查几何概型计算，考查线性规划的知识，考查二元一次不等式表示的区域判断，属于基础题.10
7、. 某单位为了了解用电量y（度）与气温x（）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温x（）1813101用电量y（度）24343864由表中数据得线性回归方程x中2，预测当气温为4时，用电量的度数约为（ ）A. 58B. 66C. 68D. 70【答案】C【解析】试题分析：由表中数据可知：样本中心点为，在线性回归方程x中2所以=60即回归方程为-2x60所以由此预测当气温为4时，用电量的度数约为68. 考点：回归直线及样本中心点.11. 记为等比数列的前项和，若数列也为等比数列，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分公比是否为进行讨论，再利用等
8、比数列的前项和公式及定义求解即可.【详解】解：设等比数列的公比为，当时，则不为等比数列，舍去，当时，为了符合题意，需，得，故.故选D【点睛】本题考查等比数列的前项和公式，定义，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题.12. 已知样本数据由小到大依次为2，3，3，7，12，137，183，20，且样本的中位数为10.5，若使该样本的方差最小，则，的值分别为（ ）A. 10，11B. 10.5，9.5C. 10.4，10.6D. 10.5，10.5【答案】D【解析】【分析】利用中位数可得，要使该样本的方差最小，只需最小，将代入，配方即可求解.【详解】由于样本共有10个值，且中间两个数为，依题
9、意，得，即因为平均数为，所以要使该样本的方差最小，只需最小又，所以当时，最小，此时故选：D【点睛】本题考查了样本数据、方差，需熟记方差的计算公式，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.卷二、填空题（共4小题，每题5分）13. 要考察某种品牌的500颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验，利用随机数表抽取种子时，先将500颗种子按001，002，500进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数3开始向右读，请你依次写出最先检测的5颗种子的编号：_，_，_，_，_（下面摘取了随机数表第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33
10、 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54【答案】 (1). 331 (2). 455 (3). 068 (4). 047 (5). 447【解析】【分析】从随机数表第7行第8列的数3开始向右读，第一个小500的数字为331，第二个为572不合题意，第三个为455，以此类推，把符合条件的5个数取出即可【
11、详解】解：从随机数表第7行第8列的数3开始向右读，第一个小500的数字为331，第二个为572不合题意，第三个为455，第四个068，第五个877，不合题意，第六个047，第七个447，所以取出的5颗种子的编号依次为331，455，068，047，447，故答案为：331，455，068，047，447，【点睛】此题考查简单随机抽样中的随机数表法，属于基础题14. 在中，则的面积为_.【答案】或【解析】【分析】根据正弦定理可求得.分类讨论，即可确定角，由三角形面积公式即可求解.【详解】由正弦定理可知，代入可得，解得，所以或，当时，由三角形面积公式可得，当时，由三角形面积公式可得，所以的面积为或
12、，故答案为：或.【点睛】本题考查了正弦定理解三角形的简单应用，三角形面积公式用法，属于基础题.15. 如图，在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AHBC于点H，M为AH的中点若，则_【答案】【解析】【分析】解直角三角形求得的长，根据，用表示，由此得到的表达式，从而求出的值，进而求得的值.【详解】.因为AB2，ABC60，AHBC，所以BH1.因为BC3，所以BHBC因为点M为AH的中点，所以 ()，又，所以，所以.【点睛】本小题主要考查解平面向量的线性运算，考查平面向量的基本定理的运用，还考查了解直角三角形的知识.对于几何图形中的向量运算，往往转化为同一个基底的向量的线性和来表示，如本题中
13、的这个向量，就转化为了这两个向量的线性和的形式，根据平面向量的基本定理，这个形式是唯一的，由此可求得的值.16. 若，则的最小值为_.【答案】12【解析】【分析】由，得，利用基本不等式即可得解.【详解】因为，所以，所以.等号成立的条件为，即时取得最小值.故答案为：12【点睛】此题考查利用基本不等式求最值，关键在于熟练掌握基本不等式的使用条件，注意考虑等号成立的条件.三、解答题（共6题）17. 城市公交车的数量若太多则容易造成资源的浪费；若太少又难以满足乘客需求.某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：分钟）：组别候车时间人数一2
14、二6三4四2五1（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）若从上表第三、四组的6人中任选2人作进一步的调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率【答案】（1）32；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）根据15名乘客中候车时间少于10分钟频数和为8，可估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）将两组乘客编号，进而列举出所有基本事件和抽到的两人恰好来自不同组的基本事件个数，代入古典概型概率公式可得答案试题解析：（1）候车时间少于10分钟的概率为，所以候车时间少于10分钟的人数为人 （2）将第三组乘客编号为，第四组乘客编号为从6人中任选两人包含以下基本事件：， 10分其中两人
15、恰好来自不同组包含8个基本事件,所以,所求概率为 考点：频率分布表；古典概型及其概率计算公式18. 已知向量，满足，且（1）求向量的坐标；（2）求向量与的夹角【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）设，根据向量模的坐标表示以及向量数量积的坐标表示列方程组，解方程组即可求解.（2）设向量与的夹角为，利用向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】解：（1）设，因为，则，又因为，且，所以，即，由解得，或，所以或（2）设向量与的夹角为，所以或，因为，所以向量与的夹角【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示、向量模的坐标表示，利用向量的数量积求向量的夹角，考查了基本运算求解能力，属于基础题.19. 已
16、知非零数列满足，且的等差中项为6.（1）求数列的通项公式；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）由知数列为以3为公比的等比数列，再利用等差中项求出首项，即可（2）将代入，计算出，再求和即可得出答案【详解】（1）非零数列满足，数列为以3为公比的等比数列；当n=1时因为 的等差中项为6，所以联立得， 所以（2）将代入得到所以所以【点睛】本题考查等比数列的通项，裂项相消求前n项和属于基础题20. ABC的内角的对边分别为,已知ABC的面积为(1)求;(2)若求ABC的周长.【答案】(1)(2) .【解析】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式，再利用正弦定理将边化成角，从而得出
17、的值；（2）由和计算出，从而求出角，根据题设和余弦定理可以求出和的值，从而求出的周长为.试题解析：（1）由题设得，即.由正弦定理得.故.（2）由题设及（1）得，即.所以，故.由题设得，即.由余弦定理得，即，得.故的周长为.点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数
18、关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.21. 某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生根据这50名师生对食堂服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为，（1）求频率分布直方图中的值；（2）若采用分层抽样的方式从评分在，的师生中抽取10人，则评分在内的师生应抽取多少人？（3）学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于75分，否则将进行内部整顿用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿【答案】（1）；（2）5人；（3）
19、76.2，食堂不需要内部整顿【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中小矩形的面积之和等于即可求解. （2）由频率分布直方图求出在这三个区间内的人数之比，再根据分层抽样比即可求解.（3）平均数等于小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即可求解.【详解】解：（1）由，解得（2）由频率分布直方图可知，评分在，内的师生人数之比为，所以评分在内的师生应抽取（人）（3）由题中数据可得师生对食堂服务质量评分的平均分为因为，所以食堂不需要内部整顿【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用、根据频率分布直方图求平均数、分层抽样，考查了基本运算能力，属于基础题.22. 在中，分别为内角的对边，且，已知，求：（1）和的值；（2）值.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）运用向量的数量积的定义，结合余弦定理，解，的方程，即可求得，；（2）由同角三角函数的基本关系求出，再由正弦定理求出，再由两角差的余弦公式，即可得到所求值【详解】（1）在中，即，由余弦定理得：，即，解得，；（2）在中，由正弦定理得：，为锐角，则.【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义，考查余弦定理和两角差的余弦公式的运用，考查运算能力，属于中档题