1、函数的奇偶性A级基础巩固1(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的有()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是偶函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数解析：选BCf(x)是奇函数，g(x)是偶函数，|f(x)|是偶函数，|g(x)|是偶函数根据一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)g(x)为奇函数，f(x)|g(x)|为奇函数，所以|f(x)g(x)|为偶函数，故选项A、D错误，选项C正确；由两个偶函数的和还是偶函数得选项B正确故选B、C.2已知一个奇函数的定义域为1，2，a，b，则
2、ab等于()A1B1C0 D2解析：选A因为该奇函数的定义域为1，2，a，b，且奇函数的定义域关于原点对称，所以a与b中一个等于1，一个等于2，所以ab1(2)1，故选A.3已知f(x)为奇函数，在区间3，6上是增函数，且在此区间上的最大值为8，最小值为1，则2f(6)f(3)()A15 B13C5 D5解析：选A因为函数f(x)在3，6上是增函数，所以f(6)8，f(3)1，又函数f(x)为奇函数，所以2f(6)f(3)2f(6)f(3)28115，故选A.4已知yf(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x(x2)，则当x0时，f(x)的表达式为()Af(x)x(x2) Bf(x)x
3、(x2)Cf(x)x(x2) Df(x)x(x2)解析：选D函数yf(x)是定义在R上的奇函数，f(x)f(x)当x0时，f(x)x(x2)，当x0，即x0时，f(x)f(x)(x)(x2)x(x2)故选D.5设f(x)为偶函数，且在区间(，0)内是增函数，f(2)0，则xf(x)0的解集为()A(1，0)(2，) B(，2)(0，2)C(2，0)(2，) D(2，0)(0，2)解析：选C根据题意，偶函数f(x)在(，0)上为增函数，且f(2)0，则函数f(x)在(0，)上为减函数，且f(2)f(2)0，作出函数f(x)的草图如图所示，又由xf(x)0，可得或由图可得2x2，即不等式的解集为(
4、2，0)(2，)故选C.6能说明“若f(x)是奇函数，则f(x)的图象一定过原点”是假命题的一个函数是f(x)_解析：举出x0不在定义域内的奇函数即可，如f(x).答案：(答案不唯一)7已知f(x)是奇函数，当x0时，f(x)x22x，则f(1)的值是_解析：当x0时，f(x)x22x，f(1)1，又f(x)是奇函数，故f(1)f(1)1.答案：18已知定义在R上的偶函数f(x)在0，)上单调递增，且f(2)1，若f(xa)1对x1，1恒成立，则实数a的取值范围是_解析：由题意，知f(xa)f(2)对x1，1恒成立，即2xa2对x1，1恒成立，即2xa2x对x1，1恒成立当x1，1时，(2x)
5、max2(1)1，(2x)min211，所以1a1，所以实数a的取值范围是1，1答案：1，19设函数f(x)x22|xa|3，xR.(1)王鹏同学认为，无论a取何值，f(x)都不可能是奇函数你同意他的观点吗？请说明你的理由；(2)若f(x)是偶函数，求a的值；(3)在(2)的情况下，画出yf(x)的图象并指出其单调递增区间解：(1)我同意王鹏同学的观点理由如下：假设f(x)是奇函数，则由f(a)a23，f(a)a24|a|3，可得f(a)f(a)0，即a22|a|30，显然a22|a|30无解，f(x)不可能是奇函数(2)若f(x)为偶函数，则有f(a)f(a)，即a23a24|a|3，解得a
6、0.经验证，此时f(x)x22|x|3是偶函数(3)由(2)知f(x)x22|x|3，其图象如图所示，由图可得，其单调递增区间是(1，0)和(1，)10已知函数f(x)x2(b1)x1是定义在a2，a上的偶函数，g(x)f(x)|xt|，其中a，b，t均为常数(1)求实数a，b的值；(2)试讨论函数g(x)的奇偶性；(3)若t，求函数g(x)的最小值解：(1)由题意，得解得(2)由(1)得g(x)x2|xt|1，x1，1当t0时，g(x)x2|x|1g(x)，则函数g(x)为偶函数；当t0时，g(x)为非奇非偶函数(3)g(x)f(x)|xt|所以函数g(x)在t，1上单调递增，则g(x)mi
7、ng(t)t21；函数g(x)在1，t上单调递减，则g(x)ming(t)t21.综上，函数g(x)的最小值为t21.B级综合运用11已知定义在R上的函数f(x)满足对任意x1，x2R，有f(x1x2)f(x1)f(x2)1，则()Af(x)是偶函数 Bf(x)是奇函数Cf(x)1是偶函数 Df(x)1是奇函数解析：选D法一：根据题意，对任意x1，x2R，有f(x1x2)f(x1)f(x2)1，令x1x20，可得f(0)2f(0)1，解得f(0)1.再令x1x，x2x，则有f(0)f(x)f(x)1，整理可得f(x)f(x)2，因此函数f(x)既不是偶函数也不是奇函数，A、B错误；对于f(x)
8、f(x)2，变形可得f(x)1f(x)10，因此函数f(x)1是奇函数，故C错误，D正确法二：设F(x)f(x)1，由f(x1x2)f(x1)f(x2)1，可得f(x1x2)1f(x1)1f(x2)1，则F(x1x2)F(x1)F(x2)令x1x20，得F(0)0；令x1x，x2x，得F(0)F(x)F(x)0，所以F(x)f(x)1是奇函数，故选D.12(2021安徽师大附中高一月考)已知函数f(x)是定义在(1，1)上的奇函数，且f.(1)求函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(1，1)上是增函数；(3)解关于实数t的不等式f(t1)f(t)0.解：(1)因为函数f(x)是定义在(1，1)上的奇函数，所以f(0)0，得b0.又知f，所以，解得a1，所以f(x).(2)证明：任取x1，x2(1，1)，且x1x2，则f(x2)f(x1)，由于1x1x21，所以1x1x20，所以0，即f(x2)f(x1)0，所以f(x)在(1，1)上是增函数(3)因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，所以f(t1)f(t)0等价于f(t1)f(t)f(t)，即f(t1)f(t)，又由(2)知f(x)在(1，1)上是增函数，所以解得0t，即原不等式的解集为.