1、高考资源网（） 您身边的高考专家第100-102课时：第十三章 导数导数的应用(3)课题：导数的应用3：切线与速度的问题(3课时)一用导数求曲线的切线函数在处导数的几何意义，就是曲线在点处切线的斜率，也就是说，曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是：。利用上述结论，可以求解曲线的切线以及相关的问题。用求导法求曲线的切线的斜率是行之有效的方法，它不仅适用于二次曲线，对于任何可导函数都适用。如果要求的切线过某点，一定要注意验证这点是否在曲线上。如果这点在曲线上，可直接通过求这点的导数（斜率）来求切线方程，如果这点在曲线之外，一般需设切点，求出这点的导数，然后通过解方程组来确定切点，最后根据两
2、点式确定切线方程。二用导数求瞬时速度 物体在时刻时的瞬时速度就是物体运动规律在时的导数，即有。利用导数的这个物理意义，可以帮助我们获得按规律运动的物体的瞬时速度。三范例分析例1求过抛物线y=ax2+bx+c（a0）上一点P（x0，y0）处的切线方程，并由此证实抛物线的光学性质。分析：为求斜率，先求导函数：y=2ax+b，故切线方程为yy0=(2ax0+b)(xx0)即y=(2ax0+b)xax+c，亦即y=(2ax0+b)xax+c.抛物线焦点：F（,），它关于切线的对称点之横坐标当x0，说明从焦点发出的光线射到（x0，y0）经抛物面反射后反射光线平行于对称轴，反之亦然。要求过曲线上一点处的切
3、线方程，一般先求出该点的导数值（斜率），再用点斜式写出后化简，同时我们还可以据此写出该点处的法线方程。解：显然，y0=ax+bx0+cy=2ax+b 故在P点处切线斜率为2ax0+b，切线方程y(ax+bx0+c)=(2ax0+b)(xx0)，亦即y=(2ax0+b)xax+c.由于y=ax2+bx+c按向量=平移即得到y=ax2，只须证明过其上一点（x0，ax）的切线l ：y=2ax0xax 满足：焦点关于l的对称点为（m，n）.当x00时，消去n. 知 m=x0.当x0=0时，切线为y=0，F之对称点横坐标显然是0，故从焦点发出的光线射到（x0，ax）后被抛物面反射后的方程为x=x0（与对
4、称轴平行）；反之，与对称轴平行的光线被抛物面反射后必聚汇于焦点.例2求函数y=x4+x2 图象上的点到直线y=x4的距离的最小值及相应点的坐标.分析：首先由得x4+2=0 知，两曲线无交点.y=4x3+1，切线要与已知直线平行，须4x3+1=1，x=0.故切点：（0 , 2）一般地，当直线l与y=f(x)的图像无交点时，与l平行的切线与l间距离应为图像上点到l的 距离的最值，以最小值为例（如图）与l平行的 直线若与曲y=f(x)相交，（A为一交点），则l与l间必存在y=f(x)上的点C，显然，C点到l的距离小于l与l间的距离，亦即A到l的距离.当然，我的也可用参数直接考虑：设(x0，x+x02
5、)为y=f(x)图象上任意一点，它到l的距离，故距离最小距离为上述等号当且仅当x=0时取得，故相应点坐标为（0，2）。解：y= 4x3+1，令4x3+1=1，x=0. 由此知过曲线上点（0，2）的切线方程y=x+2 与已知直线平行，它到 已知直线距离最近，为.例3已知一直线l经过原点且与曲线yx33x22x相切，试求直线l的方程。分析： 设切点为（x0，y0），则y0x033x022x0，由于直线l经过原点，故等式的两边同除以x0即得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点x0处的切线斜率，便可建立关于x0的方程。在两边同除以x0时，要注意对x0是否为0进行讨论。解：设直线l：ykx 。
6、y3x26x2， y|x=02，又直线与曲线均过原点，于是直线ykx与曲线yx33x22相切于原点时，k2。若直线与曲线切于点(x0，y0) (x00)，则k，y0x033x022x0，=x023x02，又ky|3x026x02，x023x023x026x02，2x023x00，x00，x0，kx023x02，故直线l的方程为y2x或yx。例4已知曲线及其上一点，过作C的切线，与C的另一公共点为（不同于），过作C的切线，与C的另一公共点为（不同于），得到C的一列切线，相应的切点分别为，。（1）求的坐标；（2）设到的角为，求之值。解：（1）设，过作C的切线。C在处的切线的方程为：，代入，并整理得
7、。即（舍去）或。由题意，从而，（nN*）即；（2）的斜率。的斜率。例5在直线轨迹上运行的一列火车，从刹车到停车这段时间内，测得刹车后t秒内列车前进的距离s27t0.45t2（单位是米），这列火车在刹车后几秒钟才停车？刹车后又运行了多少米？解：当火车运行速度为0时，火车停车。vs(27t0.45t2)270.9t，令270.9t0，得t30（秒），则s27300.45302405（米），故这列火车在刹车后30秒钟才停车，刹车后又运行了405米。例6求曲线y在横坐标为x0的点处的切线方程，并求此曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度。分析：先根据导数的几何意义求出曲线在点x0处的切线方程，从而求出
8、切线被两坐标轴所截线段，再用基本不等式求其最小值。解：由导数的定义可得y /，则过()点的切线方程为，由此得切线在x轴与y轴上的交点分别为A(x0，0)，B(0，)。则|AB|2，|AB|，当且仅当，即x0时，等号成立。故最短长度为。例7如图，已知圆心为O，半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧AC的长为，直线PC与直线AO交于点M。又知当AP=时，点P的速度为v，求这时点M的速度。（1984年全国高考附加题）分析： 设AP的长为x，AM的长为y，用x表示y，并用复合函数求导法则对时间t进行求导。解：如图，作CDAM，并设AP=x，AM=y，COA=，由题意弧
9、AC的长为，半径OC=1，可知=，考虑（0，）。APMDCM，。DM=y- (1-cos)，DC=sin， 。上式两边对时间t进行求导，则 。=当时，代入上式得点M的速度。例8已知在R上单调递增，记的三内角的对应边分别为，若时，不等式恒成立（）求实数的取值范围；（）求角的取值范围； （）求实数的取值范围解：(1)由知，在R上单调递增，恒成立，且，即且， 当，即时，时，时，即当时，能使在R上单调递增，(2)，由余弦定理：，(3)在R上单调递增，且，所以，故，即，即，即例9已知函数在区间单调递增，在区间单调递减.（）求a的值；（）若点A（x0,f(x0)）在函数f(x)的图象上，求证点A关于直线x
10、=1的对称点B也在函数f(x)的图象上；（）是否存在实数b，使得函数的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的值；若不存在，试说明理由.解：（）由函数单调递减，（）（）函数四、专题训练1一质点在运动中经过的路程S和经历的时间t有关系S=53t2，则它在1,+t内的平均速度为（ C ）（A）3t+6 （B）3t+6 （C）3t6 （D）3t6提示： 选（C）2曲线y=x3x2+5，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为 （ D ）（A） （B） （C） （D）提示：y=x22x. 当x=1时，y=1 选（D）3设曲线在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为（ C ）
11、A（3，9）B（3，9）C（）D（）4某质点的运动方程是，则在t=1s时的瞬时速度为（ B ）A1B3C7D135函数处的切线方程是（ D ）ABCD6某物体的运动方程为，则该物体在时的瞬时速率是（ A ）（A）36 （B）26 （C）14 （D）287曲线与曲线的公共切线的条数是 （ B ）A1条 B2条 C3条 D0条8曲线y=x3+x-2在点P0处的切线平行于直线y=4x-1，则点P0点的坐标是（ B ） A(0,1) B.(1,0) C.(-1,0) D.(1,4)9给出下列命题：(1)若函数f(x)=|x|，则f(0)=0；(2)若函数f(x)=2x2+1，图象上P(1,3)及邻近上
12、点Q(1+x,3+y)，则=4+2x(3)加速度是动点位移函数S(t)对时间t的导数；(4)y=2cosx+lgx，则y=-2cosxsinx+其中正确的命题有（ B ） A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个8函数处的切线方程是（ D ）ABCD9已知函数的图象与x轴切于点（1，0），则的极值为（ A ）A极大值，极小值0B极大值0，极小值C极小值，极大值0D极大值，极小值010已知二函数，若它们的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则切斜线率为（ C ）A0B12C0或12D4或111如果曲线处的切线互相垂直，则x0的值为 . （）12曲线上一点M处的切线与直线垂直，则切线的方程是_
13、或13求曲线y = sinx在点x=处的切线方程。提示：根据导数的几何意义求出曲线y = sinx在点x=处的切线斜率。解：y=cosx，切线的斜率k= -1，切线方程为 y- 0=- (x- )，即x+y-=0。14求过点P（2，2）且与曲线y=x2相切的直线方程.解：y=2x，过其上一点（x0，x）的切线方程为yx=2x0(xx0)，过P（2，2），故2x=2x0（2x0）x0=2. 故切线方程为y=(4)x(6).15由y=0，x=8，y=x2围成的曲边三角形，在曲线弧OB上求一点M，使得过M所作的y=x2的切线PQ与OA，AB围成的三角形PQA面积最大。答案：（16/3，256/3）1
14、6路灯距地面8m，一身高1.6m的人沿穿过灯下的直路以84m/min的速度行走，则人影长度变化速率是多少？（要求以m/s为单位）解：.OM= 4BM同理ON=4CN两式相减，知，影长变化BMCN= (OMON)=MN=t84m/min.17已知直线y=3x+1是曲线y=x32x+a的一条切线，求a的值.解：y=3x22. 令3x22=3， x=.代入切线方程知y0=1，a=y0+2x0x .18设曲线S：y=x36x2x+6，S在哪一点处的切线斜率最小？设此点为P（x0，y0）求证：曲线S关于P点中心对称.解：y=3x212x1当x=2时有最小值.故P：（2, 12）.S在（2，12）处的切线
15、斜率最小，为13.又y=(x2+2)36(x2+2)2(x2+2)+6=(x2)313(x2) 12故曲线C的图象按向量=(2，+12)平移后方程为y=x 13x为奇数，关于原点对称，故P（2，12）为曲线S的对称中心.19曲线y=x(x+1)(2x)上有一点P，它的坐标均为整数，且过P点的切线斜率为正数，求此点坐标及相应的切线方程.解：y=x3+x2+2x y=3x2+2x+2令y0 知x(， )又xz x=0或1 P点坐标为（0，0）或（1，2）.切线斜率k=2或1，切线方程为y=2x或y=x+1.20曲线：y=ax3+bx2+cx+d在（0，1）点处的切线为l1：y=x+1，在（3,4）点处的切线为l2：y=2x+10，求曲线C的方程。分析：已知两点均在曲线C上，y=3ax2+2bx+c (0)=c， (3)=27a+6b+cl1：y=cx+1 l2：y=(27a+6b+c)(x3)+4与已知比较，分别求出d=1，c=1，a=，b=1.答案：C：y=x3+x2+x+1.说明：求曲线过一点处的切线，先求斜率即导函数在x0处的值，再用点斜式写出化简.高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )版权所有：高考资源网()- 10 - 版权所有高考资源网