1、（12）寒假提前学：平面向量的运算2022-2023学年高一数学人教A版（2019）寒假作业基础知识1.向量加法的法则：三角形法则和平行四边形法则.三角形法则如图，已知非零向量，在平面内取任意一点A，作，则向量叫做与的和，记作，即.平行四边形法则已知两个不共线向量，作，以，为邻边作，则对角线上的向量.2.对于零向量与任意向量a，有.3.向量加法的运算律：交换律：；结合律：.4.向量形式的三角不等式：，当且仅当，方向相同时等号成立.5.相反向量：定义：与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作a，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量.性质：零向量的相反向量仍是零向量；和互为相反向量，于是；
2、若互为相反向量，则，.6.向量数乘的定义：规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：，它的长度与方向规定如下：；当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反.当或时，.7.向量数乘的运算律：设为任意实数，则有：；.特别地，有；.8.向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量，以及任意实数，恒有.9.向量共线（平行）定理：向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.10.向量的夹角：已知两个非零向量，如图，是平面上的任意一点，作，则叫做向量与的夹角.记作.当时，向量同向；当时，向量垂直，记作；当时，向量反向.11
3、.平面向量数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，把数量叫做向量与的数量积（或内积），记作，即.12.投影向量：如图，设是两个非零向量，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，这种变换称为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.13.向量数量积的性质：设是非零向量，它们的夹角是是与方向相同的单位向量，则（1）；（2）；（3）当与同向时，；当与反向时，特别地，或；（4）由可得，；（5）14.向量数量积的运算律（1）交换律：；（2）数乘结合律：；（3）分配律：.练习1.如图，在矩形ABCD中， ( )A.B.C.D.2.化简的结果是( )A.B.C.D.3.在中， ，若
4、点D满足，则( )A.B.C.D.4.已知，向量的夹角为，则( )A.B.1C.2D.5.在平行四边形ABCD中， AC，BD交于点O，则( )A.B.C.D.6.在中， .若，则( )A.-18B.C.18D.7.（多选）若点D，E，F分别为的边BC，CA，AB的中点，且，则下列结论正确的是( )A.B.C.D.8.如图，已知点O为正六边形ABCDER的中心，下列结论中正确的是( )A.B.C.D.9.设向量不平行，向量与平行，则实数_.10.已知，向量与的夹角为，且，则的值为_.11.设P为平行四边形ABCD所在平面内一点，则下列等式:;.其中成立的序号为_.12.如图所示，在平行四边形A
5、BCD中，已知.(1)求的模；(2)若，求的值.答案以及解析1.答案：B解析：在矩形ABCD中，则.故选B.2.答案：C解析：，.3.答案：A解析：由题意得.故选A.4.答案：C解析：.故选C.5.答案：B解析：如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，由平行四边形法则得，所以.故选B.6.答案：C解析：如图，在中，.若，则.故选C.7.答案：ABC解析：在中，故A正确；，故B正确；，故C正确；，故D不正确.故选ABC.8.答案：BC解析：A选项，故A错误；B选项，由正六边形的性质知，故B正确；C选项，设正六边形的边长为1，则，式子显然成立，故C正确;D选项，设正六边形的边长为1，故D错误.故选BC.9.答案：解析：因为向量不平行，向量与平行，所以存在实数，使得，即解得10.答案：解析：因为，所以.因为，向量与的夹角为，所以，即.故答案为.11.答案：解析：若成立，则，即，显然不成立，故错误；若成立，则，即，由四边形ABCD为平行四边形知，故正确；若成立，则，即，显然不成立，故错误.12.解析：(1).(2)因为，所以.