1、11.1命题预习课本P23，思考并完成以下问题 1命题、真命题、假命题的概念分别是什么？2在命题“若p，则q”的形式中，p、q分别叫做命题的什么？命题点睛(1)判断一个语句是命题的两个要素：是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言；可以判断真假(2)命题的条件与结论之间的关系属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)“集合a，b，c有3个子集”是命题()(2)“x23x20”是命题()答案：(1)(2)2语句“若ab，则acbc”()A不是命题B是真命题C是假命题 D不能判断真假答案：B3下列语句中，是假命题的是()
2、A一条直线有且只有一条垂线B不相等的两个角一定不是对顶角C直角的补角必是直角D两直线平行，同旁内角互补答案：A4命题“一个正整数不是合数就是素数”的条件p为_，结论q为_答案：一个正整数不是合数就是素数命题的判断典例判断下列语句是否是命题，并说明理由(1)是有理数；(2)3x25；(3)梯形是不是平面图形呢？(4)x2x70.解(1)“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题(2)因为无法判断“3x25”的真假，所以它不是命题(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题(4)因为x2x720，所以“x2x70”是真的，故是命题判断语句是否是命题的策略(1)命题是可以判断真假的
3、陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题(2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题活学活用判断下列语句是否为命题，并说明理由(1)若平面四边形的边都相等，则它是菱形；(2)任何集合都是它自己的子集；(3)对顶角相等吗？(4)x3.解：(1)是陈述句，能判断真假，是命题(2)是陈述句，能判断真假，是命题(3)不是陈述句，不是命题(4)是陈述句，但不能判断真假，不是命题.判断命题的真假典例判断下列命题的真假，并说明理由(1)正方形既是矩形又是菱形；(2)当x4时，2x10；(3)若x3或x7，则(x3)(x7)0；(4)一个等比数
4、列的公比大于1时，该数列一定为递增数列解(1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形(2)是假命题，x4不满足2x10.(3)是真命题，x3或x7能得到(x3)(x7)0.(4)是假命题，因为当等比数列的首项a11时，该数列为递减数列命题真假的判定方法(1)真命题的判定方法：真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法(2)假命题的判定方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法活学活用下列命题中真命题有()mx22x10是一元二次方程；抛物线yax
5、22x1与x轴至少有一个交点；互相包含的两个集合相等；空集是任何集合的真子集A1个B2个C3个 D4个解析：选A中当m0时，是一元一次方程；中当44a1时，方程ax22x10有两个不等实根；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)已知x，y为非零自然数，当yx2时，y4，x2.解(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题(2)若a1，则方程ax22x10有两个不等实根，是假命题(3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真命题(4)已知x，y为非零自然数，若yx2，则y4，x2，是假命题把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐
6、含，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式不唯一活学活用把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假(1)奇数不能被2整除；(2)当(a1)2(b1)20时，ab1；(3)两个相似三角形是全等三角形；(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行解：(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题(2)若(a1)2(b1)20，则ab1，是真命题(3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题(4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，是假命题层级一学业水平达标1下列语句不是命题的有()若ab，bc
7、，则ac；x2；30，且a1)在R上是增函数A0个B1个C2个 D3个解析：选C是可以判断真假的陈述句，是命题；不能判断真假，不是命题2下列命题是真命题的是()A所有质数都是奇数B若，则abC对任意的xN，都有x3x2成立D方程x2x20有实根解析：选B选项A错，因为2是偶数也是质数；选项B正确；选项C错；因为当x0时x3x2不成立；选项D错，因为12870，所以方程x2x20无实根3已知a，b为两条不同的直线，为两个不同的平面，且a，b，则下列命题中，假命题是()A若ab，则B若，则abC若a，b相交，则，相交D若，相交，则a，b相交解析：选D由已知a，b，若，相交，a，b有可能异面4给出命
8、题“方程x2ax10没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是()A4 B2C0 D3解析：选C方程无实根时，应满足a24b1，则0logab，但tan20不成立”是真命题，则实数a的取值范围是_解析：ax22ax30不成立，ax22ax30恒成立当a0时，30恒成立；当a0时，则有解得3aa，B：x1，请选择适当的实数a，使得利用A，B构造的命题“若p，则q”为真命题解：若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x，则x1”由命题为真命题可知1，解得a4；若视B为p，则命题“若p，则q”为“若x1，则x”由命题为真命题可知1，解得a4.故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这
9、里取a1，则有真命题“若x1，则x”层级二应试能力达标1在空间中，下列命题正确的是()A平行直线的平行投影重合B平行于同一平面的两条直线平行C垂直于同一平面的两个平面平行D垂直于同一平面的两条直线平行解析：选DA中当两平行直线确定的平面不垂直于投影面时，两平行直线的平行投影不重合B中两直线也可以相交或异面C中两平面可以相交D正确故选D.2下面的命题中是真命题的是()Aysin2x的最小正周期为2B若方程ax2bxc0(a0)的两根同号，则0C如果MN，那么MNMD在ABC中，若0，则B为锐角解析：选Bysin2x，T，故A为假命题；当MN时，MNN，故C为假命题；在三角形ABC中，当0时，向量
10、与的夹角为锐角，B应为钝角，故D为假命题故选B.3下列命题为真命题的是()A若，则xyB若x21，则x1C若xy，则D若xy，则x2y2解析：选A很明显A正确；B中，由x21，得x1，所以B是假命题；C中，当xy0，则二元一次不等式xay10表示直线xay10的右上方区域(包括边界)”条件p：_，结论q：_.它是_命题(填“真”或“假”)解析：a0时，设a1，把(0,0)代入xy10得10不成立，xy10表示直线的右上方区域(包括边界)，命题为真命题答案：a0二元一次不等式xay10表示直线xay10的右上方区域(包含边界)真6定义“正对数”：lnx现有四个命题：若a0，b0，则ln(ab)b
11、lna；若a0，b0，则ln(ab)lnalnb；若a0，b0，则lnlnalnb；若a0，b0，则ln(ab)lnalnbln 2.其中的真命题有_(写出所有真命题的编号)解析：对于，当a1时，ab1，则ln(ab)ln abbln ablna；当0a1时，0ab1，即m2.命题p和q中有且只有一个是真命题，则p真q假或p假q真，即或所以1m2.故实数m的取值范围是(1,2)8试探究命题“方程ax2bx10有实数解”为真命题时，a，b满足的条件解：方程ax2bx10有实数解，要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况：当a0时，方程ax2bx10为bx10，只有当b0时，方程有实数解x；
12、当a0时，方程ax2bx10为一元二次方程，方程有实数解的条件为b24a0.综上知，当a0，b0或a0，b24a0时，方程ax2bx10有实数解11.2 & 1.1.3四种命题四种命题间的相互关系预习课本P48，思考并完成以下问题1一个命题的四种形式分别是什么？它们之间的相互关系分别是什么？2什么样的两个命题有相同的真假性？3两个互逆命题或互否命题，它们之间的真假性有没有关系？1四种命题的概念一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个命题叫做互逆命题，如果是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫做互否命题，如果是另一个命题结
13、论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题2四种命题结构3四种命题之间的关系4四种命题的真假性之间的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)一个命题的否命题和逆命题有相同的真假性()(2)原命题与逆命题之间的真假性没有关系()答案：(1)(2)2已知a，bR，命题“若ab1，则a2b2”的否命题是()A若a2b2，则ab1B若ab1，则a2b2C若ab1，则a2b210，那么x0.解
14、：(1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线；否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面；逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线(2)逆命题：如果x0，那么x10；否命题：如果x10，那么x0；逆否命题：如果x0，那么x10.四种命题真假的判断典例判断下列命题的真假(1)“若x2y20，则x，y不全为零”的否命题(2)“正三角形都相似”的逆命题(3)“若m0，则x2xm0有实根”的逆否命题解(1)原命题的否命题为“若x2y20，则x，y全为零”真命题(2)原命题的逆命题为“若三角形相似，则这些三
15、角形是正三角形”假命题(3)原命题的逆否命题为“若x2xm0无实根，则m0”因为方程x2xm0无实根，所以判别式14m0，解得m0，则x2xm0有实根”的逆命题的真假，则结果如何？解：原命题的逆命题为“若x2xm0有实根，则m0”因为方程x2xm0有实根，所以判别式14m0，所以m，故逆命题为假命题2变条件若本例(3)改为判断“若m0，则mx2x10有实根”的逆否命题的真假，则结论如何？解：原命题的逆否命题为“若mx2x10无实根，则m0”因为方程mx2x10无实根，则m0，所以判别式14m0，则m，故m0，为真命题解决此类题目的关键是牢记四种命题的概念，原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的
16、否命题与逆命题也互为逆否命题，同真同假，故只判断二者中的一个即可 等价命题的应用典例证明：已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0.证明法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)”若ab0，则ab，ba.又f(x)在(，)上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b)即原命题的逆否命题为真命题原命题为真命题法二：假设ab0，则ab，ba.又f(x)在(，)上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)f(a)f(b)2，则m2n22”由于
17、mn2，则m2n2(mn)2222，所以m2n22.故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题层级一学业水平达标1命题“若m10，则m2100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是()A原命题、否命题B原命题、逆命题C原命题、逆否命题 D逆命题、否命题解析：选C因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题2已知a，b，cR，命题“若abc3，则a2b2c23”的否命题是()A若abc3，则a2b2c23B若abc3，则a2b2c23C若abc3，则a2b2c23D若a2b2c23，则abc3解析：选Aabc3的否定是abc3，a2b2c23的否定是a2b2c23.3与命题“能
18、被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是()A能被3整除的整数，一定能被6整除B不能被3整除的整数，一定不能被6整除C不能被6整除的整数，一定不能被3整除D不能被6整除的整数，能被3整除解析：选B即写命题“若一个整数能被6整除，则一定能被3整除”的逆否命题4若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是()A互逆命题 B互否命题C互为逆否命题 D以上都不正确解析：选A设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”故q与r为互逆命题5原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()
19、A真，假，真 B假，假，真C真，真，假 D假，假，假解析：选B因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|z1|z2|，当z11，z21时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题是假的，故否命题也是假的故选B.6命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是_，这是_(填“真”或“假”)命题解析：逆命题即将原命题条件和结论互换位置答案：如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数假7已知命题“若m1xm1，则1x2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是_解析：由已知得，若1x2成立，则m1xm1也成立1m2.答案：1,28下列命题中：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；若一个四边形对角
20、互补，则它内接于圆；正方形的四条边相等；圆内接四边形对角互补；对角不互补的四边形不内接于圆；若一个四边形的四条边相等，则它是正方形其中互为逆命题的有_；互为否命题的有_；互为逆否命题的有_解析：命题可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断答案：和，和和，和和，和9写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假(1)等高的两个三角形是全等三角形；(2)弦的垂直平分线平分弦所对的弧解：(1)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等
21、高，是真命题；否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题；逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题(2)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题；否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题；逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题10判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，则a1”的逆否命题的真假解：原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a1，则关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为空集”判断其真假如下：抛物线y
22、x2(2a1)xa22的图象开口向上，判别式(2a1)24(a22)4a7.因为a1，所以4a7b，则ac2bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有()A0个B1个C2个D4个解析：选C若c0，则ac2bc2不成立，故原命题为假命题由等价命题同真同假，知其逆否命题也为假命题逆命题“设a，b，cR，若ac2bc2，则ab”为真命题，由等价命题同真同假，知原命题的否命题也为真命题，所以共有2个真命题，故选C.2命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的()A逆命题B否命题C逆否命题 D无关命题解析：选A由于这两个命题的关系是一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结
23、论和条件，所以互为逆命题，故选A.3原命题“圆内接四边形是等腰梯形”，则下列说法正确的是()A原命题是真命题 B逆命题是假命题C否命题是真命题 D逆否命题是真命题解析：选C原命题是假命题，所以逆否命题是假命题，逆命题“等腰梯形是圆内接四边形”是真命题，所以否命题是真命题，故选C.4命题“若，则tan 1”的逆否命题是()A若，则tan 1 B若，则tan 1C若tan 1，则 D若tan 1，则解析：选C否定原命题的结论作条件，否定原命题的条件作结论所得的命题为逆否命题，可知C正确5命题“若x1，则x0”的逆命题是_，逆否命题是_答案：若x0，则x1若x0，则x16在原命题“若ABB，则ABA
24、”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为_解析：逆命题为“若ABA，则ABB”；否命题为“若ABB，则ABA”；逆否命题为“若ABA，则ABB”；全为真命题答案：47已知a，b，cR，证明：若abc1，则a，b，c中至少有一个小于.证明：原命题的逆否命题为：已知a，b，cR，若a，b，c都不小于，则abc1.由条件a，b，c，三式相加得abc1，显然逆否命题为真命题所以原命题也为真命题即已知a，b，cR，若abc0)，若命题：对于任意的x11,2，存在x21,2使f(x1)g(x2)为真命题，求实数a的取值范围解：对于任意的x11,2，存在x21,2使f(x1)g(x2)，则f(x)|x1,2g(x)|x1,2又f(x)x22x在1,1上单调递减，在1,2上单调递增，所以1f(x)3.因为g(x)ax2(a0)在1,2上单调递增，所以a2g(x)2a2，于是有即a3.故实数a的取值范围为3，)