1、【A级】基础训练1一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O的一个定点，点A是圆周上一动点，把纸片折叠使点A与点Q重合，然后抹平纸片，折痕CD与OA交于点P，当点A运动时，点P的轨迹为()A椭圆B双曲线C抛物线 D圆解析：折痕所在的直线是AQ的垂直平分线，|PA|PQ|，又|PA|OP|r，|PQ|OP|r，由椭圆的定义知点P的轨迹是椭圆，故选A.答案：A2设线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|5，则点M的轨迹方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：设M(x，y)，A(x0,0)，B(0，y0)，由，得(x，y)(x0,0)(0，y0)，则解得由|AB|5，得2225，化
2、简得1，故选A.答案：A3(2014天津和平一模)在ABC中，A为动点，B，C为定点，B，C且满足条件sin Csin Bsin A，则动点A的轨迹方程是()A.1(y0)B.1(x0)C.1(y0)的左支D.1(y0)的右支解析：sin Csin Bsin A，由正弦定理得|AB|AC|BC|a(定值)A点的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的右支，其中实半轴长为，焦距为|BC|a.虚半轴长为a，由双曲线标准方程得动点A的轨迹方程为1(y0)的右支答案：D4已知椭圆y21，则斜率为1的弦的中点的轨迹方程是_解析：设弦的两个端点及中点的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)、M(x，y)则有y
3、1，y1，两式相减得(yy)0.又x1x22x，y1y22y，1，所以x2y0.因为弦的中点在椭圆内，所以x.答案：x2y05(2014南昌模拟)与双曲线1共焦点，且过点(2,1)的圆锥曲线的方程为_解析：(1)若该曲线为双曲线，则设方程为1(a0，b0)，则a2b26，1，联立得a2b23，方程1.(2)若该曲线为椭圆，设方程为1(mn0)，则m2n26，1.m28，n22，方程为1.综上，所求圆锥曲线方程为1或1.答案：1或16已知A(2，1)，B(1,1)，O为坐标原点，动点M满足mn，其中m，nR且2m2n22，则M的轨迹方程为_解析：设M(x，y)，则(x，y)m(2，1)n(1,1
4、)，代入2m2n22，得x22y22.答案：x22y227(2013高考重庆卷)如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A两点，|AA|4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P，过P，P作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外若PQPQ，求圆Q的标准方程解析：(1)由题意知，A(c,2)在椭圆上，则1.从而e21.由e，得b28，从而a216.故该椭圆的标准方程为1.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0,0)又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2(xx0)2y2x22x0xx8(x2x0)2x8(x
5、4,4)设P(x1，y1)，由题意知，点P是椭圆上到点Q的距离最小的点，因此，上式当xx1时取最小值又因为x1(4,4)，所以上式当x2x0时取最小值，从而x12x0，且|QP|28x.因为PQPQ，且P(x1，y1)，所以(x1x0，y1)(x1x0，y1)0，即(x1x0)2y0，由椭圆方程及x12x0，得x80，解得x1，x0，从而|QP|28x.故这样的圆有两个，其标准方程分别为2y2，2y2.【B级】能力提升1已知点M(3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为()Ax21(x1)Bx21(x1)Cx21(
6、x0) Dx21(x1)解析：设另两个切点为E、F，如图所示，则|PE|PF|，|ME|MB|，|NF|NB|.从而|PM|PN|ME|NF|MB|NB|422|MN|，所以P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支所以a1，c3，所以b28.故方程为x21(x1)答案：A2设P为圆x2y21上的动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，若，(其中为正常数)，则点M的轨迹为()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线解析：设M(x，y)，P(x0，y0)，则Q(x0,0)，由，得(0)由于xy1，x2(1)2y21.M的轨迹为椭圆答案：B3设动点P在直线x1上，O为坐标原点，以OP为直角边、点O为直角顶
7、点作等腰直角OPQ，则动点Q的轨迹是()A圆 B两条平行直线C抛物线 D双曲线解析：设P(1，t)，Q(x，y)，由题意知|OP|OQ|，x2y21t2又0，xty0，t，y0.把代入，得(x2y2)(y21)0，即y1.所以动点Q的轨迹是两条平行直线答案：B4(2014深圳模拟)已知动圆：x2y22axcos 2bysin 0(a，b是正常数，ab，是参数)，则圆心的轨迹方程为_解析：设圆心坐标为(x，y)，将原方程配方得(xacos )2(ybsin )2a2cos2b2sin2，故有(a，b为正常数，ab，为参数)，消去得221即1(a0，b0，ab)答案：1(a0，b0，ab)5已知双
8、曲线中心在原点且一个焦点为F(，0)，直线yx1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是_解析：依题意a2b2c27，则设双曲线方程为1，在双曲线上任取A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，联立得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，又由x1x22x，y1y22y，x，yx1，k1，得a22.1.答案：16(2014昆明模拟)设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM、ON为邻边，作平行四边形MONP，则点P的轨迹方程为_解析：设P(x，y)，圆上的动点N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为，又因为平行四边形的对角线互
9、相平分，所以有：可得又因为N(x0，y0)在圆上，所以N点坐标应满足圆的方程即有(x3)2(y4)24，但应除去两点和.答案：(x3)2(y4)247(创新题)在平面直角坐标系中，已知向量a(x，y)，b(kx，y)(kR)，ab，动点M(x，y)的轨迹为T.(1)求轨迹T的方程，并说明该方程表示的曲线的形状；(2)当k时，已知点B(0，)，是否存在直线l：yxm，使点B关于直线l的对称点落在轨迹T上？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由解：(1)ab，ab(x，y)(kx，y)0，得kx2y220，即kx2y22，当k0时，方程表示两条与x轴平行的直线；当k1时，方程表示以原点为圆心，以为半径的圆；当k0且k1时，方程表示椭圆；当k0时，方程表示焦点在y轴上的双曲线(2)当k时，动点M的轨迹T的方程为1，设满足条件的直线l存在，点B关于直线l的对称点为B(x0，y0)，则由轴对称的性质可得：1，m，解得：x0m，y0m，点B(x0，y0)在轨迹T上，1，整理得3m22m20，解得m或m，直线l的方程为yx或yx，经检验yx和yx都符合题意，满足条件的直线l存在，其方程为yx或yx.