1、函数的奇偶性 (建议用时：40分钟)一、选择题1函数f(x)x的奇偶性是()A奇函数B偶函数C非奇非偶函数D既是奇函数又是偶函数答案C2已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)x1，则当x0的解集为()A(2,0)(2，)B(，2)(0,2)C(，2)(2，)D(2,0)(0,2)B0 或 .又f (2)f(2)0，f(x)在(0，)上为减函数，故x(0,2)(，2)4. 已知f(x)ax2bx是定义在区间上的偶函数，那么ab的值是()A. BCDB依题意b0，且2a(a1)，b0，且a，ab.5已知yf(x)是偶函数，则函数yf(x1)的图象的对称轴是()Ax1Bx1CxDxByf(x1)
2、的图象是由yf(x)的图象向左平移一个单位得到的，而yf(x)的图象的对称轴为x0，故选B.二、填空题6已知函数yf(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)0的所有实根之和是_0由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另外两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.7已知函数f(x) (xR)为奇函数，f(x2)f(x)1，则f(3)等于_令x1，得f(1)f (1)1f(1)1，f(1).令x1，得f(3)f(1)11.8已知yf(x)x2是奇函数，且f(1)1，若g(x)f(x)2，则g(1)_.1因
3、为yf(x)x2为奇函数，所以f(x)x2f(x)x2，所以f(x)f(x)2x2，所以g(1)f(1)2f(1)22f(1)1.三、解答题9判断下列函数的奇偶性(1)y；(2)f(x) 解(1)函数的定义域为，不关于原点对称，该函数不具有奇偶性(2)f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x0时，x0，f(x)(x)22(x22)f(x)；当x0时，x0，f(x)(x)22(x22)f(x)；当x0时，f(0)0，也满足f(x)f(x)故该函数为奇函数10已知定义在(1,1)上的函数f(x).(1)试判断f(x)的奇偶性及在(1,1)上的单调性；(2)解不等式f(t1)f(2t)0.解(1)因
4、为f(x)，所以f(x)f(x)故f(x)为奇函数任取x1，x2(1,1)且x10,1x1x20且分母x10，x10，所以f(x2)f(x1)，故f(x)在(1,1)上为增函数(2)因为定义在(1,1)上的奇函数f(x)是增函数，由f(t1)f(2t)0，得f(t1)f(2t)f(2t)所以有即解得0t.故不等式f(t1)f(2t)0的解集为.11(多选)已知函数f(x)x，x(1,0)(0,1)，则正确的判断是()Af(x)是奇函数Bf(x)是偶函数Cf(x)在(0,1)上单调递减Df(x)在(1,0)上单调递减ACD函数f(x)x的定义域为x|x0，因为xx|x0都有xx|x0，且f(x)
5、(x)f(x)，所以f(x)x为奇函数因为y和yx都在(0,1)上单调递减，所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，根据f(x)为奇函数可知f(x)在(1,0)上也单调递减综上知A、C、D正确，B错误12设f(x)为偶函数，且在区间(，0)内是增函数，f(2)0，则xf(x)0的解集为()A(1,0)(2，)B(，2)(0,2)C(2,0)(2，)D(2,0)(0,2)C根据题意，偶函数f(x)在(，0)上为增函数，且f(2)0，则函数f(x)在(0，)上为减函数，且f(2)f(2)0，作出函数f(x)的草图如图所示，又由xf(x)0，可得或由图可得2x2，即不等式的解集为(2,0)(2，)故
6、选C.13函数f(x)在(，)上为减函数，且为奇函数若f(1)1，则满足1f(x2)1的x的取值范围是_x|1x3f(x)为奇函数，f(x)f(x)f(1)1，f(1)f(1)1.故由1f(x2)1，得f(1)f(x2)f(1)又f(x)在(，)上为减函数，1x21，1x3.14已知函数f(x) 为奇函数，则ab_.0由函数f(x)为奇函数，得f (1)f(1)0，又f(1)0，f(1)ab，所以ab0.15已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意a，bR都满足f(ab)af(b)bf(a)(1)求f(0)，f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论解 (1)令ab0，则f(0)0f(0)0f(0)0.令ab1，则f(1)1f(1)1f(1)，即f(1)2f(1)，f(1)0.(2)f(x)是奇函数证明：令ab1，则由f(ab)af(b)bf(a)，得f(1)f(1)f(1)f(1)0，2f(1)0，f(1)0.令a1，bx，则f(x)f(x)xf(1)f(x)f(x)又f(x)的定义域关于原点对称，f(x)为奇函数.