1、第六章 不等式、推理与证明第34讲 不等式的性质与基本不等式【学习目标】掌握不等式的性质和基本不等式ab2 ab(a，b0)，会应用不等式的性质进行数或式的大小比较，会利用不等式的性质研究不等关系，会应用基本不等式求解简单的最值问题【基础检测】1设 ab1bB.1ab1aC.a b Da2b2B2已知 0a1；log2alog2b2；log2(ba)1.其中一定成立的不等式有()A0 个B1 个C2 个D3 个C3设 a，b，cR，且 ab，则()AacbcB.1a1bCa2b2Da3b3D【解析】D 项可根据幂函数 yx3 在定义域 R上单调递增得出，对于其他选项可根据不等式性质排除或者采用
2、特值法排除 4已知关于 x 的不等式 x 1xa7 在 x(a，)上恒成立，则实数 a 的最小值为()A2 B3 C4 D5D【解析】x(a，)，xa0，x 1xa(xa)1xaa2a，当且仅当 xa1 时，等号成立，所以 2a7，a5.选 D.5下列不等式一定成立的是_(填序号)lg x214 lg x(x0)；sin x 1sin x 2(xk，kZ)；x212|x|(xR)；1x210 时，x2142x12x，所以 lgx214 lg x(x0)，故正确；而当 xk，kZ 时，sin x 的正负不定，故不正确；由基本不等式可知，正确；当 x0 时，有1x211，故不正确【知识要点】1不等
3、式的定义用不等号“_”将两个数学表达式连接起来，所得的式子叫做不等式2比较两数大小的常用方法作差比较法：作差变形(通分、因式分解等)判断符号，ab0_；ab0_；ab，ababa0，ab1_；ab1_，b0；abb_；(2)传递性：ab，bc_；(3)可加性：ab_；ab，cd_；abababbcacbcacbd (4)可乘性：ab，c0_；ab，cb0，cd0_；(5)倒数法则：ab，ab0_；(6)乘方性质：ab0_(n2，nN*)；(7)开方性质：ab0_(n2，nN*)acbcacbdanbn1an b 4基本不等式(1)a2b2_2ab；变式：a2b22_，当且仅当 ab 时等号成立
4、(2)如果 a0，b0，则ab2 _ ab；变式：abab22，当且仅当 ab 时，等号成立其中ab2 叫做正数 a、b 的_，ab叫做正数 a、b 的_算术平均值几何平均值ab22(3)几个重要的不等式baab_(a，b 同号)，a2b22ab22(a，bR)(4)利用基本不等式求最值已知 x0，y0，如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当_时，xy 有最_值是_(简记：积定和最小)如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当_时，xy 有最_值是_(简记：和定积最大)2xy小xy大2 pp24一、不等式性质的应用例1(1)设 ab1，ccb；acloga(bc)其中所有的正确结论的序号是【解析】
5、由不等式的基本性质可知对；幂函数 yxc(cb1，所以对；由对数函数的单调性可得 logb(ac)logb(bc)，又由对数的换底公式可知 logb(bc)loga(bc)，所以 logb(ac)loga(bc)，故选项正确(2)已知下列四个条件：b0a，0ab，a0b，ab0，能推出1ab，ab0 可得1a1b，、正确又正数大于负数正确，错误，故选 C.C(3)如果 a，b，c 满足 cba，且 acac Bc(ba)0Ccb2ab2 Dac(ac)0C【解析】由题意知 c0，则 A 一定正确；B 一定正确；D 一定正确；当 b0 时 C 不正确【点评】(1)对于不等式的性质，关键是理解和运
6、用，要弄清每一条性质的条件和结论，注意条件(特别是符号的限制条件)改变后，结论是否发生变化；不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两种情况，“单向性”主要用于证明不等式，“双向性”主要用于解不等式，因为解不等式必须是同解变形，因而要准确把握不等式的性质(2)判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题或填空题用特殊值验证的方法更方便 (3)不等式性质源于实数正负相关结论，因此在准确运用不等式进行不等关系推导过程中，也有必要考虑实数正负理论的运用 二、数或式的大小比较例2(1)已知 a、b、m 均为正数，且 aab；(2)已知 a0，且 a1，m
7、aa21，naa1，试比较 m 和 n 的大小【解析】(1)证明：ambmabm（ba）b（bm），0a0，m（ba）b（bm）0，ambmab.(2)mna(a21)(a1)aa(a1)，当 a1 时，a(a1)0，aa(a1)a01，mn；当 0a1 时，a(a1)a01，mn.综上可知：mn.【点评】(1)某些数或式的大小比较，可直接利用不等式的性质；(2)具有多项式结构特征，常用作差比较法，作差后常用因式分解或配方来确定“差式”的符号；(3)具有乘幂结构且同号的两个代数式，适宜用作商比较法，作商后与 1 比较大小三、利用基本不等式求最值例3(1)已知 x0，y0，且2x1y1，若 x2
8、ym22m 恒成立，则实数 m 的取值范围是()A(，24，)B(，42，)C(2，4)D(4，2)D【解析】x0，y0 且2x1y1，x2y(x2y)2x1y 44yx xy424yx xy8，当且仅当4yx xy，即 x4，y2 时取等号，(x2y)min8，要 x2ym22m 恒成立，只需(x2y)minm22m 恒成立，即 8m22m，解得4m0，b0，且 aba4b12，则 ab的最大值为_4【解析】a0，b0，由 aba4b12a4b12ab2a4b4 ab(ab6)(ab2)0 ab2ab4，ab 最大值为 4.(3)函数 f(x)1logax(a0，a1)的图象恒过定点 A，若
9、点 A 在直线 mxny20 上，其中mn0，则1m1n的最小值为_2【解析】由题知函数图象恒过点 A(1，1)，且点 A 在直线 mxny20 上，所以 mn2，其 中 mn0，所 以 1m 1n 12 1m1n(m n)122nmmn 12(22)2，当且仅当 mn1 时取得等号，故所求的最小值为 2.【点评】利用基本不等式解决问题的关键是要注意定理成立的三个条件“一正，二定，三相等”，同时要注意创设应用均值不等式的条件，合理拆分或配凑是常用的解题技巧，而“拆”与“凑”的原则在于使“和式”或“积式”为定值，“和定积最大，积定和最小”，并且注意验证等号的可取性四、基本不等式的实际应用例4某水
10、产养殖场拟建造一个无盖的长方体水产养殖网箱，为避免混养，箱中要安装一些筛网，其平面图如图所示，如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为 56 元/米，筛网(图中虚线部分)的建造单价为 48 元/米，网箱底面面积为 160 平方米，建造单价为 50 元/平方米，网衣及筛网的厚度忽略不计(1)把建造网箱的总造价 y(元)表示为网箱的长x(米)的函数，并求出最低造价(2)若要求网箱的长不超过 15 米，宽不超过 12米，则当网箱的长和宽各为多少米时可使总造价最低？(结果精确到 0.01 米)【解析】(1)由题意得 y562x160 x 2 48x160 x 3 50160 160 x256x8 0
11、001602x256x 8 00013 120，当且仅当 x256x 即 x16 时取得最小值，即最低造价为 13 120 元(2)由题意得x15，160 x 12，解得 1313x15，设 g(x)x256x 1313x15，则 g(x)1256x2（x16）（x16）x2，因为当 1313x15 时 g(x)1.2比较数(式)大小，一般用：(1)作差法，具体步骤：作差变形判断(与 0 比较)结论；(2)作商法，具体步骤：作商变形判断(与 1 比较)结论，注意分母的符号3判断不等式是否成立，一般可用不等式性质、函数性质、基本不等式进行推理，也可以利用特殊值法对命题进行否定4实际中的不等量问题
12、的建模：(1)将每个量用数或代数式表示；(2)用不等号连结5a2b22ab 成立的条件是 a，bR，而ab2 ab成立，则要求 a0，b0.6利用基本不等式求最值，要注意使用条件：一正(各数为正)，二定(和或积为定值)，三等(等号在允许取值范围内能取到)，要熟悉均值不等式的各种变形如yax2bxcxaxcxb.7连续使用以上公式中的任一个或两个，取等号的条件要在同一条件下取得，方可取到最值1(2014 重庆)若 log4(3a4b)log2 ab，则 ab 的最小值是()A62 3 B72 3C64 3D74 3D【解析】先判断 a，b 的符号，再将已知的式子转化为关于 a，b 的方程，最后根
13、据基本不等式求解 由题意得 ab0，ab0，3a4b0，所以a0，b0.又 log4(3a4b)log2 ab，所以 log4(3a4b)log4ab，所以 3a4bab，故4a3b1.所以 ab(ab)4a3b 73ab 4ba 72 3ab 4ba 74 3，当且仅当3ab 4ba 时取等号故选 D.2(2014 浙江)已知实数 a，b，c 满足 abc0，a2b2c21，则 a 的最大值是.63【解析】利用不等式求解 因为 abc0，所以 bca.因为 a2b2c21，所以a21b2c2(bc)22bca22bc，所以 2a212bcb2c21a2，所以 3a22，所以 a223，所以
14、63 a 63.所以 amax 63.1下列函数中，最小值为 4 的是()Ayx4xBysin x 4sin x(0 x0，故不能直接运用基本不等式，不对；B 中虽然 x(0，)，sin x0，但运用基本不等式后，等号成立的条件是 sin x4sin x即 sin x2，所以等号取不到，故不对；C中 3x0，可直接运用基本不等式 3x43x2 44，当且仅当 3x 43x，即 3x2，xlog32 时取等号，故正确；D 中由于没有给出 x 的范围，所以lg x 不一定大于 0，故不对2已知正整数 a、b 满足 4ab30，使得1a1b取得最小值的实数对(a，b)是()A(5，10)B(6，6)
15、C(10，5)D(7，2)A 3给出下列四个命题：若 ab0，则1a1b；若 ab0，则 a1ab1b；若 ab0，则2aba2bab；设 a，b 是互不相等的正数，则|ab|1ab2.其中正确命题的序号是_(把你认为正确命题的序号都填上)【解析】作差可得1a1bbaab，而 ab0，则baab b0，则1a1b，所以可知 a1ab1b正确 2aba2b ab b（2ab）a（a2b）（a2b）bb2a2（a2b）b（ba）（ba）（a2b）b0，错误 当 ab0 时此式不成立，错误4在ABC 中，P 是边 BC 上的动点，若APmAB nAC，则 mn 的最大值为_【解析】首先根据题设条件寻
16、找 m，n 之间的关系 设BPBC(01)，则 APAB(AC AB)，14APAC(1)AB.AB 与AC 不共线，m1，n，mn1.mnmn2214，当且仅当 mn12时取等号，故 P 是边 BC 的中点时，mn 的最大值为14.5当点(a，b)在直线 2xy10 上运动时，4a2b 的最小值为_【解析】因为点(a，b)在直线 2xy10 上，则 2ab1.又 22a 与 2b 均为正数，所以 4a2b22a2b2 22ab2 2，当且仅当 2ab12时等号成立故 4a2b 的最小值为 2 2.2 26若 a1a2，b10.a1b1a2b2a1b2a2b17现给出三个不等式：a212a；a
17、2b22ab32；7 10 3 14.其中恒成立的不等式共有_个2【解析】因为 a22a1(a1)20，所以不恒成立；对于，a2b22a2b3(a1)2(b1)210，所以恒成立；对于，(7 10)2(3 14)22 702 420，且 7 100，3 140，所以 7 10 3 14，即恒成立8求函数 yx(a2x)0 x0，y0，3xyxy1.(1)x0，y0，3xyxy12 xy1，3xy2 xy10，即 3(xy)22 xy10，(3 xy1)(xy1)0，xy1，xy1，当且仅当 xy1 时，等号成立 xy 的最小值为 1.(2)x0，y0，xy13xy3xy22，3(xy)24(xy)40，3(xy)2(xy)20，xy2，当且仅当 xy1 时取等号，xy 的最小值为 2.