1、第31讲 简单递推数列【学习目标】了解递推公式是给出数列的一种方法，掌握几种简单的递推数列转化为特殊数列(等差数列、等比数列)的方法与途径，提升学生的转化化归思想和能力【基础检测】1在数列an中，若 a11，且 anamanm(n，mN*)，则 an()AnB2n Cn2 Dn3【解析】nm1 时，a2a112，n1，m2 时，a3a21an1an1an为等差数列an1(n1)n.A2在数列bn中，b12，且 bnbmbnm，则bn()An Bn2 C2n Dn2nC【解析】nm1 时，b2b1b14，bn1bnb12bn.故bn是首项为 b12，公比为 q2 的等比数列，bn22n12n.3
2、已知数列an中，a12，an1ann，则a100()A4 952 B5 052 C4 853 D5 154【解析】a12，a2a11，a3a22，a100a9999，a100（199）99224 952.A4在数列an中，若 a11，ann1n an1，则 an_【解析】由an1an nn1得：a2a112，a3a223，anan1n1n.以上各式累乘：an1223n1n 1n.1n5数列an中，a11，an2an11(n2)，则数列an的通项公式为 an【解析】由 an2an11 得 an12(an11)an1(a11)2n12n，an2n1.2n1【知识要点】1递推数列的概念如果已知数列a
3、n的第 1 项(或前 k 项)，且任一项 an 与它的前一项 an1(或前若干项)间的关系可以用一个公式来表示，即 anf(an1)(或 anf(an1，an 2)，那 么 这 个 公 式 就 叫 做 这 个 数 列的，由递推公式确定的数列叫做递推数列2已知数列的递推关系求通项一般有三种途径：一是归纳、猜想；二是转化化归为等差、等比数列；三是逐项迭代递推公式一、累加法、累乘法求通项例1(1)已知数列an满足 a112，an1an1n2n，求 an；(2)已知数列an中，an12nan，且 a11，求 an.【解析】(1)由条件知：an 1an1n2n1n（n1）1n 1n1，分别令 n1，2，
4、3，n1，代入上式得(n1)个等式累加之，即(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)112 1213 1314 1n11n，所以 ana111n.a112，an1211n321n.(2)由 an12nan，a11，得a2a12，a3a222，anan12n1，将 n1 个式子累乘，得ana12n（n1）2.a11，an2n（n1）2.【点评】由递推公式求数列的通项公式(1)“累加法”求 an 已知 a1 且 anan1f(n)(n2)，可以用“累加法”，即 anan1f(n)，an1an2f(n1)，a3a2f(3)，a2a1f(2)所有等式左右两边分别相加，代入 a1，得 an.即
5、恒等式 ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)(2)“累乘法”求 an 已知 a1 且 anan1f(n)(n2)可用“累乘法”即 anan1f(n)，an1an2f(n1)，a3a2f(3)，a2a1f(2)所有等式左右两边分别相乘，代入 a1，得 an.即用恒等式 ana1a2a1a3a2 anan1.二、化归为等差、等比数列求通项例2已知数列an中，a11，an12an3，求 an.【解析】解法一：设递推公式 an12an3 可以转化为 an1t2(ant)即 an12antt3.故递推公式 an132(an3)，令 bnan3，则 b1a134，且bn1bn an13an3 2
6、.所以bn是以 b14 为首项，2 为公比的等比数列，则 bn42n12n1，所以 an2n13.解法二：由递推公式 an12an3 得 n2 时an2an13，相减得：an1an2(anan1)，令 bnan1an，则 b1a2a14.bnbn12，bn是以 b14 为首项，2 为公比的等比数列，则 bn42n12n1.即 an1an2n1，an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1 2n2n123221 4（2n11）2112n13.即 an2n13.解法三：(迭代法)由已知得 an2an13 2(2an23)322an2233 22(2an 33)23323an 32
7、23233.2n1a12n23223233 2n1(2n22221)3 2n12n1121 3 2n13，所以 an2n13.解法四：(解方程组法)由已知 an12an3，由解法二得：an1an2n1，由，得 2an3an2n1，an2n13.【点评】由递推公式求数列的通项公式除“累加法”、“累乘法”外，还可以用“作新数列法”：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列求通项，或用“迭代法”、“解方程组法”等备选题例3已知数列an满足 a11，2an1an3an1an20.(1)求证：1an1 是等差数列；(2)求数列an的通项公式【解析】(1)证明：由条件得an1（an2）2
8、an3，所以 an11 an12an3，则1an112an3an1 2（an1）1an11an12，即1an111an12，所以1an1 是首项为12，公差为 2 的等差数列(2)由(1)得1an11a11(n1)2122n2 4n32，所以 an124n3，所以 an24n3154n4n3.递推数列的七种类型及通项公式的求法1an1and(d 为常数)型形如 an1and(d 为常数)的递推数列求通项公式，将此类数列变形得 an1and，再由等差数列的通项公式 ana1(n1)d 可求得 an.例 1：已知数列an中，a12，an1an3，求 an.【解析】an1an3，an1an3，an是
9、以 a12 为首项，3 为公差的等差数列，an23(n1)3n1.2an1anf(n)(f(n)是可求和数列)型形如 an1anf(n)(f(n)是可求和数列)的递推数列求通项公式，可变形为 an1anf(n)的形式，再利用累加法求解例 2：已知数列an中，a11，an1ann，求 an.【解析】因为 an1ann，所以 a2a11，a3a22，a4a33，anan1(n1)，将这 n1 个等式左右两边分别相加，得 ana1(1)(2)(3)(n1)，ann2n22(n2)，当 n1 时，ann2n22显然也成立，故 ann2n22.3an1qan(q 为常数，且 q0)型形如 an1qan(
10、q 为常数，且 q0)的递推数列求通项公式，将此类数列变形得an1an q，再由等比数列的通项公式 ana1qn1 可求得 an.例 3：已知数列an中，a13，an15an，求an.【解析】an15an，an1an 5，an是以a13 为首项，5 为公比的等比数列，an35n1.4an1f(n)an(f(n)是可求积数列)型形如 an1f(n)an(f(n)是可求积数列)的递推数列求通项公式，可变形为an1an f(n)的形式，再利用累乘法求解例 4：已知数列an中，a13，an15nan，求 an.【解析】an15nan，an1an 5n.anan1an1an2an2an3an3an4a3
11、a2a2a1 5n15n25n35255n（n1）2，an35n（n1）2(n2)，当 n1 时，an35n（n1）2显然也成立，故 an35n（n1）2.5an1cand(c，d 为常数)型形如 an1cand(c，d 为常数)的递推数列求通项公式，可通过适当换元，转换成等比数列求解例 5：已知数列an中，a13，an2an11(n2)，求 an.【解析】an2an11，an12(an11)设 bnan1，则有 bn2bn1，bnbn12(n2)bn是以 b1a112 为首项，2 为公比的等比数列，bn(2)2n1，anbn1(2)2n112n1.6an1kanf(n)(k 为常数)型形如
12、an1kanf(n)(k 为常数)的递推数列求通项公式，可对已知递推式适当变形，通过累加法或累乘法求得通项公式例 6：已知数列an满足 a11，且 an2an12n(n2，nN*)求证：数列an2n 是等差数列，并求出数列an的通项公式【解析】an2an12n，an2nan12n11，即an2nan12n11(n2，nN*)，数列an2n 是等差数列，公差 d1，首项a12112.an2n12(n1)1，故数列an的通项公式为 an(2n1)2n1.7an2can1dan(c，d 为常数)型例 7：设数列an满足 a10，a22，且对任意的nN*，有 an22an1an2，求an的通项公式【解
13、析】由 an22an1an2，得 an2an1an1an2，即(an2an1)(an1an)2，所以数列an1an是首项为 a2a12，公差 d2的等差数列 an1an22(n1)2n ana1(a2a1)(a3a2)(anan2)024(2n2)n(n1)(n2)当 n1 时，a10n(n1)成立，故 ann(n1)8递推数列在新教材中难度不大，复习本节时注意适当取舍(2014 全国大纲)数列an满足 a11，a22，an22an1an2.(1)设 bnan1an，证明bn是等差数列；(2)求an的通项公式【解析】(1)由 an22an1an2 得 an2an1an1an2，即 bn1bn2
14、.又 b1a2a11，所以bn是首项为 1，公差为 2 的等差数列(2)由(1)得 bn12(n1)2n1，即 an1an2n1.于是 所以 an1a1n2，即 an1n2a1.又 a11，所以an的通项公式为 ann22n2.【点评】由递推关系转化为等差数列，叠加法的运用111()(21),nnkkkkaak(2)由(1)知，nann2n1.记数列n2n1的前 n 项和为 Bn，于是 Bn122322n2n1，2Bn12222323n2n.得 Bn12222n1n2n2n1n2n.从而 Bn1(n1)2n.【点评】本题主要考查了数列的前 n 项和的求法以及 an 与 Sn 的关系，考查了综合
15、分析问题的能力，难度适中1若数列an满足：a12，anan1 nn1(n2)，则 a4 等于()A.43B1 C.45 D.23C2已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2an1(nN*)，则 a5()A16 B16C31 D32B【解析】由已知得 a12a11，a11.Sn1Sn(2an11)(2an1)，an1(2an11)(2an1)，an12an，因此数列an是以 1 为首项、2 为公比的等比数列，于是有 a5a12416，故选 B.3已知数列an满足 a11，an 13an3n(nN*)，则通项 an【解析】由 an13an3n，得an13n1an3n13，数列an3n 是以首
16、项为a13 13，公差为13的等差数列，an3n1313(n1)n3，ann3n1.n3n14已知 a112，an1an1n23n2(nN*)，则 an【解析】a112，an 1an1n23n21（n1）（n2）1n1 1n2，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)121213 13141n 1n1 1212 1n1 nn1.nn15给定正整数 n(n4)，构造如图所示的倒立三角形数表，第一行上的数依次为 1，2，n，在每一行的两个数的正中间下方分别写这两个数的和，得到下一行的数(比上一行少一个)依此类推，最后一行(第 n 行)只有一个数，记为 f(n)，则(1)f(5)_；(2)f(
17、n)48(n1)2n2(n4)【解析】(1)将 n5 代入数表，易得 f(5)48，以 f(n)2f(n1)2n2，两边同除以 2n 得，f（n）2nf（n1）2n114，故数列f（n）2n是以12为首项，14为公差的等差数列，则f（n）2n1214(n1)，故 f(n)(n1)2n2.6已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a112，an2SnSn10(n2，nN*)(1)问：数列1Sn 是否为等差数列？并证明你的结论；(2)求 Sn 和 an；(3)求证：S21S22S23S2n12 14n.【解析】(1)由已知有 S1a112，1S12，当 n2 时，anSnSn12SnSn1，所
18、以 1Sn 1Sn12，即1Sn 是以 2 为首项，2 为公差的等差数列(2)由(1)得 1Sn2(n1)22n，Sn 12n，当 n2 时，an2SnSn112n（n1）.当 n1 时，a112，不满足此式 所以 an12（n1），12n（n1）（n2）.(3)证明：当 n1 时，S211412 141成立 当 n2 时，S21S22S23S2n141422143214n2141 122 132 1n2 141 112 1231（n1）n 14111n 12 14n.综上有 S21S22S23S2n12 14n.7在数列an中，已知 a11，且 an12an3n4(nN*)(1)求证：数列a
19、n1an3是等比数列；(2)求数列an的通项公式 an；(3)求和：Sn|a1|a2|a3|an|(nN*)【解析】(1)令 bnan1an3，则 bn1an2an13 2an13(n1)42an3n43 2(an1an3)2bnbn1bn 2，数列bn为公比为 2 的等比数列(2)a22a113，b1a2a131bnan1an32n1，2an3n4an32n1，an2n13n1(nN*)(3)设数列an的前 n 项和为 Tn，Tn2n1n（23n1）22n1n（3n1）2，Sn|a1|a2|an|.n4 时，an4 时，an0，n4 时，SnTn1n（3n1）22n，n4 时，SnTn2T42n21n（3n1）2.
