1、1(2012高考福建卷)如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x22py(p0)上(1) 求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y1相交于点Q，证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点解析：(1)依题意，|OB|8，BOy30.设B(x，y)，则x|OB|sin 304，y|OB|cos 3012.因为点B(4，12)在x22py上，所以(4)22p12，解得p2.故抛物线E的方程为x24y.(2)法一：由(1)知yx2，yx.设P(x0，y0)，则x00，y0x且l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得所以Q为.设M(0，y1)，令0对满足
2、y0x(x00)的x0，y0恒成立由于(x0，y0y1)，由0，得y0y0y1y1y0，即(yy12)(1y1)y00(*)由于(*)式对满足y0x(x20)的y0恒成立，所以解得y11.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)(2)法二：由(1)知yx2，yx.设P(x0，y0)，则x00，y0x，且l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得所以Q为取x02，此时P(2,1)，Q(0，1)，以PQ为直径的圆为(x1)2y22，交y轴于点M1(0,1)、M2(0，1)；取x01，此时P，Q，以PQ为直径的圆为22，交y轴于点M3(0,1)、M4.故若满足条件的点M存在，只能是M(
3、0,1)以下证明点M(0,1)就是所要求的点因为(x0，y01)，所以2y022y022y020.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)2(2012高考安徽卷)如图，点F1(c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C1(ab0)的左、右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线x于点Q.(1)如果点Q的坐标是(4,4) ，求此时椭圆C的方程；(2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点解：(1)(方法一)由条件知，P，故直线PF2的斜率为kPF2.因为PF2F2Q，所以直线F2Q的方程为yx，故Q.由题设知，4,2a4，解得a2，c1.故椭圆方程为1.(
4、方法二)设直线x与x轴交于点M.由条件知，P.因为PF1F2F2MQ，所以，即，解得|MQ|2a.所以解得故椭圆方程为1.(2)证明：直线PQ的方程为，即yxa.将上式代入1得x22cxc20，解得xc，y.所以直线PQ与椭圆C只有一个交点3(2013高考安徽卷)已知椭圆C：1(ab0)的焦距为4，且过点P(，)(1)求椭圆C的方程；(2)设Q(x0，y0)(x0y00)为椭圆C上一点过点Q作x轴的垂线，垂足为E.取点A(0,2)连接AE.过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG.问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由解析：(1)因为焦距为
5、4，所以a2b24.又因为椭圆C过点P(，)，所以1.故a28，b24，从而椭圆C的方程为1.(2)一定有唯一的公共点理由：由题意知，点E坐标为(x0,0)设D(xD,0)，则(x0，2)， (xD，2)再由ADAE知，0，即xDx080.由于x0y00，故xD.因为点G是点D关于y轴的对称点，所以点G.故直线QG的斜率kQG.又因为点Q(x0，y0)在椭圆C上，所以x2y8.从而kQG.故直线QG的方程为y.将代入椭圆C的方程，化简，得(x2y)x216x0x6416y0.再将代入，化简得x22x0xx0.解得xx0，则yy0，即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点4(2013高考山东卷)椭圆
6、C：1(ab0)的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点设直线PF1，PF2的斜率分别为k1、k2.若k0，试证明为定值，并求出这个定值解析：(1)由于c2a2b2，将xc代入椭圆方程1，得y.由题意知1，即a2b2.又e，所以a2，b1.所以椭圆C的方程为y21.(2)设P(x0，y0)(y00)，又F1(，0
7、)，F2(，0)，所以直线PF1，PF2的方程分别为lPF1：y0x(x0)yy00，lPF2：y0x(x0)yy00.由题意知.由于点P在椭圆上，所以y1.所以.因为m，2x02，可得，所以mx0.因此m.(3)设P(x0，y0)(y00)，则直线l的方程为yy0k(xx0)联立得整理得(14k2)x28(ky0k2x0)x4(y2kx0y0k2x1)0.由题意0，即(4x)k22x0y0k1y0.又y1，所以16yk28x0y0kx0，故k.由(2)知，所以()8，因此为定值，这个定值为8.5(2012高考江西卷)已知三点O(0,0)，A(2,1)，B(2,1)，曲线C上任意一点M(x，y
8、)满足|()2.(1)求曲线C的方程；(2)动点Q(x0，y0)(2x02)在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l.问：是否存在定点P(0，t)(t0)，使得l与PA，PB都相交，交点分别为D，E，且QAB与PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值；若不存在，说明理由解：(1)由M(2x,1y)，(2x,1y)，|，()(x，y)(0,2)2y，由已知得2y2，化简得曲线C的方程：x24y.(2)假设存在点P(0，t)(t0)满足条件，则直线PA的方程是yxt，PB的方程是yxt.曲线C在Q处的切线l的方程是yx，它与y轴的交点为F.由于2x02，因此11.当1t0时，1，存在x0(2,2)，使得，即l与直线PA平行，故当1t0时不符合题意当t1时，1，所以l与直线PA，PB一定相交分别联立方程组，解得D，E的横坐标分别是xD，xE，则xExD(1t).又|FP|t，有SPDE|FP|xExD|，又SQAB4，于是.对任意x0(2,2)，要使为常数，即只需t满足解得t1.此时2，故存在t1，使得QAB与PDE的面积之比是常数2.