1、【A级】基础训练1(2014宁波模拟)下列函数中，最小值为4的个数为()yxysin x(0x)yex4ex ylog3x4logx3A4B3C2 D1解析：中，由于x的符号不确定，故不满足条件；中，0sin x1，而应用不等式时等号成立的条件为sin x2，故不满足条件；正确；中log3x，logx3的符合不确定，故不满足条件，综上只有满足条件答案：D2(2012高考浙江卷)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是()A. BC5 D6解析：由x3y5xy，得5(x0，y0)，则3x4y(3x4y)(1312)5，当且仅当，即x2y时，“”成立此时，由解得故选C.答案：C3已知a0
2、，b0，ab2，则y的最小值是()A. B4C. D5解析：由ab2，得1，2(等号当且仅当b2a时取得)答案：C4若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是_解析：因为x0，所以x2(当且仅当x1时取等号)，所以有，即的最大值为，故a.答案：a5(2014杭州模拟)设x，yR，a1，b1，若axby4且ab2，则的最大值为_解析：由axby4得xloga4，ylogb4，故log4alog4blog4ab.又a1，b1，ab2，故log4ablog42log42，等号当且仅当ab，即xy4时等号成立的最大值为.答案：6已知函数f(x)log2k(x4)21恒过定点P，且点P在直线2(a，bR)
3、上，则3a2b的最小值为_解析：由函数f(x)log2k(x4)21可知，当x4时，f(x)2，即P点坐标为(4,2)，又P在直线2(a，bR)上，故2，即1，3a2b(3a2b)88284，当且仅当3a24b2，即a2，b1时等号成立3a2b的最小值为84.答案：847(1)设0x，求函数y4x(32x)的最大值；(2)当点(x，y)在直线x3y40上移动时，求表达式3x27y2的最小值；(3)已知x，y都是正实数，且xy3xy50，求xy的最小值解：(1)0x，32x0.y4x(32x)22x(32x)22.当且仅当2x32x，即x时，等号成立，函数y4x(32x)的最大值为.(2)由x3
4、y40得x3y4，3x27y23x33y222222220，当且仅当3x33y且x3y40，即x2，y时取“”(3)由xy3xy50得xy53xy.25xy53xy.3xy250，(1)(35)0，即xy，等号成立的条件是xy.此时xy，故xy的最小值是.8若x，yR，且满足(x2y22)(x2y21)180.(1)求x2y2的取值范围；(2)求证：xy2.解：(1)由(x2y2)2(x2y2)200，得(x2y25)(x2y24)0，因为x2y250，所以有0x2y24，即x2y2的取值范围为0,4(2)证明：由(1)知x2y24，由基本不等式得xy2，所以xy2.【B级】能力提升1(201
5、4陕西西安二模)已知x0，y0，lg 2xlg 8ylg 2，则的最小值是()A2 B2C4 D2解析：由lg 2xlg 8ylg 2得lg 2x3ylg 2，x3y1，(x3y)24.故选C.答案：C2(2014鄂州模拟)某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A5 km处 B4 km处C3 km处 D2 km处解析：令y1，y2k2x，当x10 km时，y12万元，y28万元，2，即k120，且
6、8k210，即k2，yy1y2x28.当且仅当，即x5 km时取“”答案：A3已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值是()A3 B4C. D解析：方法一：因为x2y2xy8，所以y，所以x2yxx(x1)2224，故选B.方法二：因为x2y2，所以2xy2，所以x2y2xyx2y，设x2yA，则A8.即A24A320，解此不等式得A8(舍去)或A4，即x2y4，故选B.答案：B4(2014开封模拟)已知函数f(x)，若f(x)2x0，在(0，)上恒成立，则a的取值范围是_解析：因为f(x)2x2x0在(0，)上恒成立，即2在(0，)上恒成立，24，当且仅当x1时等号成立4，解得a0或
7、a.答案：(，0)5(2013高考四川卷)已知函数f(x)4x(x0，a0)在x3时取得最小值，则a_.解析：借助基本不等式求最值的条件求解f(x)4x24(x0，a0)，当且仅当4x，即x时等号成立，此时f(x)取得最小值4.又由已知x3时，f(x)min4，3，即a36.答案：366在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)的图像交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是_解析：由题意可知f(x)的图像关于原点对称，而与过原点的直线相交，则两交点必关于原点对称，故可设两交点分别为P与Q，由两点间距离公式可得|PQ|4等号当且仅当x22，即x时取得答案：47(创新题)某工厂去年
8、某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元，今年工厂第一次投入100万元(科技成本)，并计划以后每年比上一年多投入100万元(科技成本)，预计产量年递增10万只第n次投入后，每只产品的固定成本为g(n)(k0，k为常数，nZ且n0)，若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元(1)求k的值，并求出f(n)的表达式；(2)问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？(利润销售额固定成本科技成本)解：(1)g(n)，当n0时，g(0)8，解得k8.f(n)(10010n)100n.(2)f(n)(10010n)100n1 0001 000801 000802520.当且仅当，即n8时取等号从今年算起第8年工厂的利润最高，最高利润为520万元