1、本章回顾1不等式的基本性质(1)比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有ab0ab；ab0ab；ab0a0，则1ab；1ab；1abbb，bcac；加法法则：abacbc；移项法则：abcacb；同向可加性：ab，cdacbd；乘法法则：ab，c0acbc或ab，c0acb0，cd0acbd；乘方法则：ab0，nN*anbn；开方法则：ab0，nN*.2不等式的解法(1)一元一次不等式的解法一元一次不等式axb0 (a0)的解集为当a0时，；当a0，或ax2bxc000方程ax2bxc0有两不等实根x1，x2(x10)的图象不等式ax2bxc0 (a0)的解集x|xx2x
2、|xR不等式ax2bxc0)的解集x|x1x0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧的平面区域(半平面)且不含边界直线；不等式AxByC0所表示的平面区域(半平面)包含边界直线(2)对于直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，使得AxByC的值的符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式AxByC0(或AxByC0)，而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式AxByC0)(3)判断不等式AxByC0所表示的平面区域，可在直线AxByC0的某一侧的半平面内选取一个特殊点，如选原点或坐标轴上的点来验证AxByC的符号的正负当C0时，常选用原点(0,0)；当C0时，
3、选用点(1,0)或(0,1)这种方法概括为“直线定边界，特殊点定区域”4均值不等式及常用变形(1)对于任意实数a、b，都有a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立(2)如果a0，b0，那么，当且仅当ab时，等号成立(3)设a，b为正实数，则有：mina，b maxa，b(4)若ab0，则2.(5)a，bR，都有ab成立(6)a，b，cR，都有a2b2c2abbcca.一、分类讨论思想在解含参数不等式中的应用例1解关于x的不等式ax2(a1)x10.分析先求出相应方程的根，再就两根的大小进行讨论解原不等式可化为(x1)(ax1)0.(1)当a0时，原不等式化为x11，所以原不等式的解集为x|x1
4、；(2)当a0，又0，x1，所以原不等式的解集为；(3)当a0时，原不等式化为(x1)0，对应方程(x1)0的两根为1和.当0a1，1x；当a1时，原不等式可化为(x1)21时，1，x1.综上所述，当a1；当0a1时，原不等式的解集为.二、数形结合思想在线性规划中的应用例2已知实数x，y满足(1)若z2xy，求z的最大值和最小值；(2)若zx2y2，求z的最大值和最小值；(3)若z，求z的最大值和最小值分析表示点(x，y)与原点(0,0)的距离，表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率解不等式组表示的平面区域如图所示图中阴影部分即为可行域由得A(1,2)；由得B(2,1)；由得M(2,3)(
5、1)z2xy，y2xz，当直线y2xz经过可行域内点M(2,3)时，直线在y轴上的截距最大，此时z也最大，zmax2237.当直线y2xz经过可行域内点A(1,2)时，直线在y轴上的截距最小，此时z也最小，zmin2124.所以z的最大值为7，最小值为4.(2)过原点(0,0)作直线l垂直直线xy30，垂足为N，则直线l的方程为yx，由得N，点N在线段AB上，也在可行域内此时可行域内点M到原点的距离最大，点N到原点的距离最小又OM，ON ，即 .x2y213，所以，z的最大值为13，最小值为.(3)kOA2，kOB，2，所以z的最大值为2，最小值为.三、分离参数在恒成立问题中的应用例3设函数f
6、(x)lg ，其中aR，nN*且n2，如果当x(，1时，f(x)有意义，求a的取值范围解由题意知，当x(，1时，12x3x(n1)xnxa0恒成立(nN*且n2)所以a，令g(x)，因为函数yx (1kn1)在(，1上递增，所以g(x)在(，1上递增，所以g(x)g(1)(n1)，所以a(n1)即为所求例4若关于x的方程4xa2xa10有实数解，求实数a的取值范围解令2xt0，换元后转化为一元二次方程在(0，)上有实数解求a的范围，另外若将参数a分离出来，则问题转化为求函数值域问题，用均值不等式很容易求解令2xt0，原方程化为t2ata10a2222.a的取值范围是a2.四、函数单调性在求最值
7、中的应用例5已知a，b为正实数，且ab1，求y的最小值解yabababab2.令abt，ab1，ab.t，yab2t2在上单调递减，ymin82.当且仅当t，ab，即ab时取“”例6(综合应用)某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示)如果池四周围墙建造单价为400元/m，中间两道隔墙建造单价为248元/m，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16 m，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价分析首先把造价表示为某一变量的
8、函数，再利用均值不等式、函数单调性等知识求出最小值解设污水处理池的长为x m，则宽为 m，再设总造价为y元，则有(1)y2x4002400248280200800x16 000216 00028001816 00044 800，当且仅当800x，即x18 m时，y取得最小值当污水池的长为18 m，宽为 m时总造价最低，为44 800元(2)0x16,016，12.5x16，x18，不能用均值不等式，但我们可用函数单调性定义证明上述目标函数在区间12.5,16上是减函数，从而利用单调性求得最小值由(1)知，y(x)80016 000 (12.5x16)对任意x1、x212.5,16，设x10.(
9、x1)(x2)，故y(x)在12.5,16上为减函数从而有(x)(16)45 000，当污水池的长度为16 m，宽为12.5 m时有最低总造价，最低总造价为45 000元五、放缩法在证明不等式中的应用例7已知0a1，x2y0，求证：loga(axay)loga2.证明0a1，左边loga(axay)loga(2)loga2logaaloga2(xy)loga2(xx2)loga22loga2右边loga(axay)loga2.六、比较法在证明不等式中的应用例8如果a2b2c21，a，b，c是实数，试证：abbcca1.证明先证：abbcca11(abbcca)(a2b2c2)(abbcca)(
10、a2b22ab)(b2c22bc)(c2a22ca)(ab)2(bc)2(ca)201abbcca即abbcca1.再证：abbcca.abbccaabbccaabbcca(a2b2c22ab2bc2ca)(abc)20.abbcca.即abbcca综上所述，abbcca1.1灵活拆项求函数最值例1求函数y的最小值解y.24.当且仅当，即x0时，取到最小值4.因为，当x0时，取到最小值.所以，ymin4.当且仅当x0时取到这一最小值2分数的小性质有着大用途例2求证：.证明由真分数的性质知：设AB易知：0AB，A2AB.即22即2.3利用一次函数的保号性证明不等式例3设|a|1，|b|1，|c|0.证明设f(x)(ab)xab1当x(1,1)时，f(x)0恒成立f(1)0且f(1)0f(1)ab1ab(a1)(b1)0且f(1)abab1(a1)(b1)0当x(1,1)时，f(x)(ab)xab10恒成立c(1,1)，f(c)acbcab10成立即abbcca10成立