1、第1课时 参数方程的概念1参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数xft，ygt，并且对于 t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的_，联系变数 x，y 的变数 t 叫做_，简称_相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做_参数方程 参变数 参数 普通方程2参数方程的意义参数方程是曲线上点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与普通方程同等地描述，了解曲线的参数方程实际上是一个方程组，其中x，y分别为曲线上点M的_和_横坐标
2、纵坐标3关于参数几点说明(1)参数方程中参数可以有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义；(2)同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样；(3)在实际问题中要确定参数的取值范围【答案】B【解析】参数方程中，要求曲线上任意一点的坐标x，y都是参数t的函数，B中x不是t的函数，所以不是参数方程1下列方程不是参数方程的是()Axty2t1 Bx2ty2t Cx1ty2t1 Dxty2t212.(2018 年抚州期末)当参数 变化时，由点 P(2cos，3sin)所确定的曲线过点()A.(2,3)B.(1,5)C.0，2 D.(2,0)【答案】D【解析】当2cos 2，即cos 1时，3si
3、n 0.过点(2,0).3已知曲线 C 满足方程xt，y 2t1(t 为参数)，则曲线 C上点的横坐标的取值范围是_【答案】12，【解析】由 y 2t1得 2t10，t12，所以 x124若xt，tR，求3x4y70的参数方程【答案】将 xt 代入方程 3x4y70，则 y14(3t7)，所求参数方程为xt，y143t7(t 为参数)【例1】动点M做匀速直线运动，它在x轴和y轴方向的速度分别为5 m/s和12 m/s，运动开始时位于点P(1,2)，求点M运动的轨迹的参数方程【解题探究】路程由速度和时间决定，速度已经知道，且x轴和y轴方向上运动的时间是一样的，故可以选取时间t为参数求有关物理学的
4、参数方程【解析】设动点 M(x，y)，运动时间为 t，依题意，它在 x轴和 y 轴上运动的路程分别为 x5t1，y12t2，所以点 M 运动的轨迹的参数方程为x5t1，y12t2(t 为参数)本题是列出参数方程使问题简化，参数方程有时比普通方程简便1物体从高处以初速度v0(m/s)沿水平方向抛出，以抛出点为原点，水平直线为x轴，物体所经路线的参数方程为_【答案】xv0t，y12gt2(t 为参数，t0)【解析】设物体抛出的时刻为 0 s，在时刻 t s 时其坐标为M(x，y)，由于物体做平抛运动，依题意，得xv0t，y12gt2(t 为参数，t0)，这就是物体所经路线的参数方程【例 2】已知曲
5、线 C 的参数方程是x12t，yat2(t 为参数，aR)，点 M(5,4)在该曲线上(1)求常数 a；(2)若点 N(9，b)也在曲线上，求 M，N 的距离【解题探究】点在曲线上，可将点的坐标代入曲线方程，利用参数t求出a.从而求出曲线的参数方程，再将点N的坐标代入参数方程，求出b，利用两点间距离公式求出解即可参数方程的几何问题【解析】(1)由题意可知12t5，at24a1，t2，a1(2)由已知及(1)可得，曲线 C 的方程为x12t，yt2，将 N(9，b)代入参数方程，得12t9，t2bt4b16，N(9,16)，|MN|95216424 10利用参数t可分别求出x，y的值，反之，知道
6、x，y的值，也可求出参数t2曲线x1cos，y2sin(为参数)，经过点32，a，则 a_【解析】点32，a 代入曲线方程得 cos 12，a2sin 2114 3【答案】3【例3】已知等腰直角ABC，B为直角顶点且在x轴的正方向上运动，点A在y轴正方向上运动，|AB|2，求点C的轨迹的参数方程【解题探究】由条件可知，点C的变化是随CBx的变化而变化，故可选取CBx为参数，求动点C的参数方程求轨迹的参数方程【解析】如图，设CBx02，过点 C 作 CDx轴，交 x 轴于点 D，设点 C(x，y)，由几何条件有CBxBAO，则 x|OB|BD|2sin 2cos，y|CD|2sin 从而所求参数
7、方程为x2sin cos，y2sin 为参数，02 能否找准参数是参数方程是否简单的前提条件，用参数将x，y分别表示出来，不用找x，y之间的关系式，使问题简化3如图所示，OA是圆C的直径且OA2a，射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线交于B点，作PQOA且垂足为D，PBOA，试求点P的轨迹方程(用参数方程求解并化为普通方程)【解析】设 P(x，y)是轨迹上任意一点，取DOQ，由 PQOA，PBOA，连接 AQ，得xODOQcos OAcos22acos2，yABOAtan 2atan，P 点轨迹的参数方程为x2acos2，y2atan 为参数，2，2 由于1cos2tan21，代入消 得点
8、P 轨迹的普通方程为y24a22ax 1 1参数的选择要注意(1)曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；(2)(x，y)都能由参数取某一值唯一地确定出来2参数方程求法(1)建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为(x，y)；(2)选取适当的参数；(3)根据已知条件和图形的几何性质、物理意义，建立点P的坐标与参数的函数式；(4)证明这个参数方程就是所表示的曲线的方程求曲线的参数方程关键是参数的选取，选取参数的原则是曲线上任一点坐标与参数的关系比较明显，关系相对简单，与运动有关的问题选取时间t作参数，与旋转有关的问题选取角作参数，或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜角、斜率等点击进入WORD链接