1、第3课时圆的方程1掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程2初步了解用代数方法处理几何问题的思路对应学生用书P132【梳理自测】一、圆的定义及圆的标准方程1(教材改编)圆心为点(0，1)，半径为2的圆的标准方程为()A(x1)2y24Bx2(y1)22Cx2(y1)24 D(x1)2y222已知点A(1，1)，B(1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()Ax2y21 Bx2y2Cx2y22 Dx2y24答案：1.C2.C以上题目主要考查了以下内容：(1)圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆(2)圆的标准方程方程(xa)2(yb)2r2(r0)表示圆心为(a，b)，半径为
2、r的圆的标准方程特别地，以原点为圆心，半径为r(r0)的圆的标准方程为x2y2r2二、圆的一般方程1(教材改编)方程x2y2mx2y30表示圆，则m的范围是()A(，)(，)B(，2)(2，)C(，)(，)D(，2)(2，)2圆x2y24x6y0的圆心坐标是()A(2，3) B(2，3)C(2，3) D(2，3)3(教材精选题)过三点O(0，0)，A(1，0)，B(0，1)的圆的方程是_答案：1.B2.D3.x2y2xy0以上题目主要考查了以下内容：方程x2y2DxEyF0可变形为.故有：(1)当D2E24F0时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；(2)当D2E24F0时，方程表示一个点；(3)
3、当D2E24F0时，方程不表示任何图形三、点与圆的位置关系若点(1，1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是()A1a1 B0a1Ca1或a1 Da1答案：A此题主要考查了以下内容：P(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2(r0)的位置关系(1)若(x0a)2(y0b)2r2，则点P在圆外；(2)若(x0a)2(y0b)2r2，则点P在圆上；(3)若(x0a)2(y0b)2r2，则点P在圆内【指点迷津】1一种互化圆的标准方程一般方程2两种方法求圆的方程可选用两种方法直接法：直接求出圆心和半径，用圆的标准方程待定系数法：设出圆的标准方程或一般方程，求出a，b，r或D，E，F
4、.3三个常用性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)直径所对的圆周角为直角对应学生用书P133考向一求圆的方程根据下列条件，求圆的方程：(1)经过P(2，4)、Q(3，1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；(2)圆心在直线y4x上，且与直线l：xy10相切于点P(3，2)【审题视点】(1)设圆的一般方程(2)设圆的标准方程也可利用圆的性质求【典例精讲】(1)设圆的方程为x2y2DxEyF0，将P、Q点的坐标分别代入得又令y0，得x2DxF0.设x1，x2是方程的两根，由|x1x2|6有D24F36，由、解得D2，E4，F8，或D6，E8，F0.故所求圆
5、的方程为x2y22x4y80，或x2y26x8y0.(2)方法一：如图，设圆心(x0，4x0)，依题意得1，x01，即圆心坐标为(1，4)，半径r2，故圆的方程为(x1)2(y4)28.方法二：设所求方程为(xx0)2(yy0)2r2，根据已知条件得解得因此所求圆的方程为(x1)2(y4)28.【类题通法】(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程；(2)待定系数法：若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a、b、r的方程组，从而求出a、b、r的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、
6、F的方程组，进而求出D、E、F的值1求过两点A(1，4)、B(3，2)且圆心在直线y0上的圆的标准方程解析：方法一：设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2.圆心在y0上，b0.圆的方程为(xa)2y2r2.又该圆过A(1，4)、B(3，2)两点，解得故所求圆的方程为(x1)2y220.方法二：设圆的一般方程为x2y2DxEyF0，因为圆心在x轴上，则0，即E0.又该圆过A(1，4)和B(3，2)，所以解得所以圆的方程为x2y22x190.故标准方程为(x1)2y220.方法三：圆过A(1，4)、B(3，2)两点，圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，又kAB1.l的斜率为1.又AB的中点为(2
7、，3)，故AB的垂直平分线l的方程为y3x2，即xy10.又知圆心在直线y0上，圆心坐标为C(1，0)半径r|AC|.即所求圆的方程为(x1)2y220.考向二与圆有关的最值问题已知实数x，y满足方程x2y24x10.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值【审题视点】首先求出圆心和半径后，利用代数或几何意义求解【典例精讲】(1)原方程化为(x2)2y23，表示以点(2，0)为圆心，半径为的圆设k，即ykx，当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时有，解得k.故的最大值为，最小值为.(2)设yxb，即yxb，当yxb与圆相切时，纵截距
8、b取得最大值或最小值，此时，即b2.故(yx)max2，(yx)min2.(3)x2y2表示圆上点与原点距离的平方，由平面几何知识知在原点和圆心连线与圆的两个交点处x2y2取得最大值或最小值又圆心到原点的距离为2，故(x2y2)max(2)274，(x2y2)min(2)274.【类题通法】研究与圆有关的最值问题时，可以借助代数式的几何意义，利用数形结合求解常见的最值问题与处理方法如下：(1)形如u型的最值问题，可转化为过点(a，b)和(x，y)的直线的斜率的最值问题；(2)形如taxby型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题(3)形如(xa)2(yb)2型的最值问题，可转化为动点到定点
9、的距离的平方的最值问题2已知M为圆C：x2y24x14y450上任意一点，且点Q(2，3)(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值解析：(1)由C：x2y24x14y450，可得(x2)2(y7)28，圆心C的坐标为(2，7)，半径r2.又|QC|4.|MQ|max426，|MQ|min422.(2)可知表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y3k(x2)，即kxy2k30，则k.由直线MQ与圆C有交点，所以2.可得2k2，所以的最大值为2，最小值为2.考向三与圆有关的轨迹问题设定点M(3，4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MON
10、P，求点P的轨迹【审题视点】M、O是定点，P因N而动，利用OP和MN的中点相同，用P点坐标表示N点坐标代入圆的方程【典例精讲】如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，故，.从而.N(x3，y4)在圆上，故(x3)2(y4)24.因此所求轨迹为圆：(x3)2(y4)24，但应除去两点和(点P在直线OM上时的情况)【类题通法】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程；(4)代
11、入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等3已知圆C：(x1)2(y1)29，过点A(2，3)作圆C的任意弦，求这些弦的中点P的轨迹方程解析：法一(直接法)：设P(x，y)，圆心C(1，1)P点是过A的弦的中点，.又(2x，3y)，(1x，1y)(2x)(1x)(3y)(1y)0，P点的轨迹方程为(y2)2.法二(定义法)：PAPC，由圆的性质知点P在以AC为直径的圆上，圆心C(1，1)，而AC中点为，|AC|，所以半径为.所求动点P的轨迹方程为(y2)2.对应学生用书P134有关圆的轨迹及最值的求法(2014武汉市调研)从圆C：x2y26x8y240外一点P向该圆引切线PT，T
12、为切点，且|PT|PO|(O为坐标原点)，则(1)|PT|的最小值为_；(2)|PT|取得最小值时点P的坐标为_【方法分析】题目条件：已知圆的一般方程，动点P满足|PT|PO|，T为切点解题目标：|PT|切线长的最小值及对应的P点关系探究：切线长|PT|2|PC|21，由|PT|2|PO|2，推导P点的轨迹方程，要使|PT|最小，则就需|PO|最小，转化圆上的点到P点轨迹上的点的距离最小，可求P点坐标【解答过程】圆C的标准方程为：(x3)2(y4)21，设P(x，y)，由|PT|PO|得(x3)2(y4)21x2y2，得3x4y120，P的轨迹为直线：3x4y120，当圆心C到直线的距离最小时
13、，切线PT取最小值，为d，|PT|min此时，由得，P.【答案】(1)(2)【回归反思】(1)P点为动点，要求|PT|最小，必求P点轨迹(2)利用直接法把|PT|PO|转化P(x，y)的表达式，即为P点轨迹方程(3)当|PT|最小时，即C点向轨迹线3x4y120作垂线，垂足即为P，此是O、C、P共线，故利用直线OC和3x4y120求交点即为P点1(2012高考辽宁卷)将圆x2y22x4y10平分的直线是()Axy10Bxy30Cxy10 Dxy30解析：选C.圆的圆心为(1，2)直线xy10过圆心故选C.2(2012高考江西卷)过直线xy20上点P作圆x2y21的两条切线，若两条切线的夹角是6
14、0，则点P的坐标是_解析：如图所示，|OP|2，设P(x，y)，则故P(，)答案：(，)3(2013高考江西卷)若圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y1相切，则圆C的方程是_解析：根据圆的弦的性质和直线与圆的位置关系求解因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0，0)和(4，0)，所以设圆心为(2，m)又因为圆与直线y1相切，所以|1m|，所以m24m22m1，解得m，所以圆C的方程为(x2)2.答案：(x2)24(2013高考全国新课标卷)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线yx的距离为，求圆P的方程解析：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题设y22r2，x23r2，从而y22x23.故P点的轨迹方程为y2x21.(2)设P(x0，y0)由已知得.又P点在双曲线y2x21上，从而得由得此时，圆P的半径r.由得此时，圆P的半径r.故圆P的方程为x2(y1)23或x2(y1)23.
