1、第3课时空间点、直线、平面之间的位置关系1理解空间直线、平面位置关系的定义2了解可以作为推理依据的公理和定理3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题对应学生用书P116【梳理自测】一、平面的基本性质1长方体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()A3B4C5 D62平面，相交，在，内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定_个平面答案：1.C2.1或4以上题目主要考查了以下内容：图形文字语言符号语言公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内l公理2过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线有且只
2、有一个平面，使A，B，C.公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线若P且P，则a，且Pa.二、空间中两直线的位置关系1如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB， BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角为()A45 B60C90D1202和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()A异面 B相交C平行 D异面或相交3空间两个角，的两边分别对应平行，且60，则为()A60 B120C30 D60或120答案：1.B2.D3.D以上题目主要考查了以下内容：(1)空间两直线的位置关系图形语言符号语言公共点平行直线ab
3、0个相交直线abA1个异面直线a，b是异面直线0个(2)平行公理和等角定理平行公理平行于同一条直线的两条直线平行用符号表示：设a，b，c为三条直线，若ab，bc，则ac.等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补(3)异面直线所成的角定义：已知两条异面直线a，b，经过空间中任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角(或夹角)范围：三、空间中直线与平面、平面与平面的位置关系1如果a，b，laA，lbB，那么下列关系成立的是()Al BlClA DlB2若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成_个部分答案：1.A2.7以上题
4、目主要考查了以下内容：图形语言符号语言公共点直线与平面相交aA1个平行a0个在平面内a无数个平面与平面平行0个相交l无数个【指点迷津】1两种方法异面直线的判定方法：(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面2三个推论公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面3三个作用(1)公理1的作用：检验平面；判断直线在平面内；由直线在平面内判断直线上的点在平面内(2)公理2的作用：
5、公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法(3)公理3的作用：判定两平面相交；作两平面相交的交线；证明多点共线对应学生用书P117考向一平面的基本性质及应用如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BCAD且BCAD，BEAF且BEAF，G，H分别为FA，FD的中点证明：四边形BCHG是平行四边形；C，D，F，E四点是否共面？为什么？【审题视点】线GHADBC及等量关系判定平行四边形利用EFCH构造平面【典例精讲】由题设知，FGGA，FHHD，所以GHAD且GHAD，又BCAD且BCAD，故GHBC且GHBC，所以四边形BCHG是平行
6、四边形C，D，F，E四点共面理由如下：由BEAF且BEAF，G是FA的中点知，BEGF且BEGF，所以四边形EFGB是平行四边形，所以EFBG.由知BGCH，所以EFCH，故EC，FH共面又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面【类题通法】证明点或线共面问题，一般有两种途径：首先由所给条件中的部分线 (或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合1(2014台州模拟)以下四个命题中：不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；若直线a、b共面，直线a、c共
7、面，则直线b、c共面；依次首尾相接的四条线段必共面正确命题的个数是()A0B1C2 D3解析：选B.中显然是正确的；中若A、B、C三点共线则A、B、C、D、E五点不一定共面构造长方体或正方体，如图显然b、c异面故不正确中空间四边形中四条线段不共面，故只有正确考向二空间中两直线的位置关系(2014江南十校联考)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点MAB1，NBC1，且AMBN，有以下四个结论：AA1MN；A1C1MN；MN平面A1B1C1D1；MN与A1C1是异面直线其中正确结论的序号是_(注：把你认为正确命题的序号都填上)【审题视点】过M、N作某些垂直于棱的直线找平行关系或者构造
8、平面判定【典例精讲】过N作NPBB1于点P，连接MP，可证AA1平面MNP，AA1MN，正确过M、N分别作MRA1B1、NSB1C1于点R、S，则当M不是AB1的中点、N不是BC1的中点时，直线A1C1与直线RS相交；当M、N分别是AB1、BC1的中点时，A1C1RS，A1C1与MN可以异面，也可以平行，故错误由正确知，AA1平面MNP，而AA1平面A1B1C1D1，平面MNP平面A1B1C1D1，故对综上所述，其中正确命题的序号是.【答案】【类题通法】空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、
9、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决2如图是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_解析：如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60角，DEMN.答案：考向三异面直线所成的角(2014宁波调研)正方体ABCDA1B1C1D1中(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小【审题视点】(1)平移A1D到B1C，找出AC
10、与A1D所成的角，再计算(2)可证A1C1与EF垂直【典例精讲】(1)如图所示，连接AB1，B1C，由ABCDA1B1C1D1是正方体，易知A1DB1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角AB1ACB1C，B1CA60.即A1D与AC所成的角为60.(2)如图所示，连接AC、BD，在正方体ABCDA1B1C1D1中，ACBD，ACA1C1，E、F分别为AB、AD的中点，EFBD，EFAC.EFA1C1.即A1C1与EF所成的角为90.【类题通法】求异面直线所成角的一般步骤为：(1)平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点，如线段的中
11、点或端点，也可以是异面直线中某一条直线上的特殊点(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角(3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之3(2014天津和平模拟)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E是AA1的中点，则异面直线D1C与BE所成角的余弦值为()A.B.C. D.解析：选B.连结A1B.由题意知A1D1綊BC，所以四边形A1D1CB为平行四边形，故D1CA1B.所以A1BE为异面直线D1C与BE所成的角不妨设AA12AB2，则A1E1，BE，A1B，在A1BE中，cosA1BE，故选B.对应学生用书P118 平面直线所成的角与三角形内角混淆已知三棱锥
12、ABCD中，ABCD，且直线AB与CD成60角，点M、N分别是BC、AD的中点，求直线AB和MN所成的角【正解】如图，取AC的中点P.连接PM、PN.则PMAB，且PMAB.PNCD，且PNCD，所以MPN为AB与CD所成的角(或所成角的补角)则MPN60或MPN120，若MPN60，因PMAB，所以PMN是AB与MN所成的角(或所成角的补角)又因ABCD，所以PMPN，则PMN是等边三角形，所以PMN60，即AB与MN所成的角为60.若MPN120，则易知PMN是等腰三角形所以PMN30，即AB与MN所成的角为30.故直线AB和MN所成的角为60或30.【易错点】在MPN中，找不清AB与CD
13、、AB与MN所成的角只得出MPN60一种情况，而忽略另一种情况MPN120，即混淆了异面直线所成的角与三角形内角【警示】(1)在用平行平移将异面直线所成的角转化为三角形的内角时，不要忽视对三角形的内角“即为两异面直线所成的角(或其补角)”的叙述；也就是平移线段后形成的三角形的内角为钝角时，其对应的异面直线所成的角为它的补角求异面直线所成的角务必注意范围0，90(2)解三角形时要注意分析三角形是否为特殊三角形，可使解答简单：如本题的等腰三角形1(2013高考浙江卷)设m、n是两条不同的直线，是两个不同的平面()A若m，n，则mnB若m，m，则 C若mn，m，则n D若m，则m解析：选C.可以借助
14、正方体模型对四个选项分别剖析，得出正确结论A项，当m，n时，m，n可能平行，可能相交，也可能异面，故错误；B项，当m，m时，可能平行也可能相交，故错误；C项，当mn，m时，n，故正确；D项，当m，时，m可能与平行，可能在内，也可能与相交，故错误故选C.2(2013高考全国新课标卷)已知m，n为异面直线，m平面，n平面.直线l满足lm，ln，l，l，则()A且lB且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l解析：选D.结合给出的已知条件，画出符合条件的图形，然后判断得出根据所给的已知条件作图，如图所示由图可知与相交，且交线平行于l，故选D.3(2012高考重庆卷)设四面体的六条棱的长分别
15、为1，1，1，1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是()A(0，)B(0，)C(1，) D(1，)解析：选A.根据题意构造四面体ABCD，ABa，CD，ACADBCBD1，取CD中点E，连结BE，AE，则AEBE.又a，0a.故选A.4(2013高考江西卷)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且ABCD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_解析：取CD的中点为G，由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行，从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.答案：4