1、第2章 参数方程2.2 直线的参数方程 学习目标重点难点1.理解直线的参数方程中参数的意义2.掌握直线的参数方程的应用.1.重点是直线的参数方程及参数的意义2.难点是直线参数方程的应用.1过点 P0(x0，y0)，倾斜角为 的直线的参数方程(t 为参数)是xx0tcos，y_.参数 t 的几何意义：t 表示有向线段_，P(x，y)为直线上任意一点y0tsin P0P 的长度已知直线l过点P(2,1)，倾斜角为45，则l的参数方程可以写成_.解 析：由 题意，得 直线 l 的参数 方程(t 为参数)为x2tcos 45，y1tsin 45，即x2 22 t，y1 22 t.答案：x2 22 t，
2、y1 22 t2过点 P0(x0，y0)，斜率为 kba的直线的参数方程是_(t 为参数)xx0at，yy0bt若直线的参数方程为x12t，y23t，其中 t 为参数，则这条直线的斜率是多少？提示：该直线的斜率为32.已知直线l过(3,4)，且它的倾斜角120.(1)写出直线l的参数方程(2)求直线l与直线xy10的交点直线的参数方程解：(1)直线 l 的参数方程为x3tcos 120，y4tsin 120，即x312t，y4 32 t.(2)把x312t，y4 32 t代入 xy10，得312t4 32 t10.解得 t0.把 t0 代入x312t，y4 32 t，得两直线的交点为(3,4)
3、【点评】(1)已知直线经过的定点及直线的倾斜角，求参数方程可利用xx0tcos，yy0tsin，t 为参数(2)已知直线经过的定点与其方向向量 a(a，b)或斜率ba，则其参数方程可为xx0ta，yy0tb，t 为参数1一直线过点 P0(3,4)，倾斜角 4，求此直线与直线 3x2y6 的交点 M 与点 P0 之间的距离解：设直线的参数方程为x3 22 t，y4 22 t，将它代入已知直线 3x2y60，得 33 22 t 24 22 t 6.解得 t11 25.|MP0|t|11 25.直线的参数方程与普通方程的互化若直线x12t，y23t(t 为参数)与直线 4xky1 垂直，则常数 k_
4、.解析：将直线x12t，y23t化为普通方程，得 y32x72.故直线的斜率 k132.当 k0 时，直线 4xky1 的斜率 k24k.由 k1k232 4k 1，得 k6.当 k0 时，直线 y32x72与直线 4x1 不垂直综上可知，k6.答案：6【点评】求直线4xky1的斜率时注意对k分情况讨论2设直线 l1 的参数方程为x1t，ya3t(t 为参数)，直线 l2的方程为 y3x4，若直线 l1 与 l2 间的距离为 10，则实数 a的值为_.解析：将直线 l1 的方程化为普通方程，得 3xya30，而直线 l2 方程即 3xy40，由两平行线的距离公式，得|a34|10 10，即|a
5、1|10.解得 a9 或 a11.答案：9 或11直线参数方程的应用已知过点 P(2,0)，斜率为43的直线 l 和抛物线 y22x相交于 A，B 两点，设线段 AB 的中点为 M.(1)求 P，M 两点间的距离(2)求点 M 的坐标(3)求线段 AB 的长解：(1)设直线 l 的倾斜角为，则 tan 43.为锐角cos 11tan235，sin cos tan 45.直线 l 的参数方程为x235t，y45t(t 为参数)代入抛物线 y22x，得45t 22235t.整理，得 8t215t500.设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2，则 t1t2158，t1t2254.设点 M 对应
6、的参数为 t0.由 M 是线段 AB 的中点，得点 M 对应的参数 t0t1t221516.|PM|t1t221516，即 P，M 两点间的距离为1516.(2)由点 M 对应的参数 t01516，得x23515164116，y45151634.点 M 的坐标为4116，34.(3)|AB|t1t2|15824254 5 738.【点评】直线 l 的参数方程xx0tcos，yy0tsin 中参数 t 的几何意义，在解决直线 l 上两点间的距离、直线 l 上某两点的中点以及圆锥曲线的弦长等问题时，显得更加灵活和简捷3已知直线 l 过点 P(1,0)，倾斜角为3，直线 l 与椭圆x23y21 相交
7、于 A，B 两点，设线段 AB 的中点为 M.(1)求 P，M 两点间的距离(2)求线段 AB 的长|AB|.解：(1)直线 l 过点 P(1,0)，倾斜角为3，cos 12，sin 32.直线 l 的参数方程为x112t，y 32 t(t 为参数)直线 l 和椭圆相交，将直线的参数方程代入椭圆方程并整理，得 5t22t40.44540.设这个二次方程的两个实根为 t1，t2.由根与系数的关系，得 t1t225，t1t245.由 M 为 AB 的中点，根据参数 t 的几何意义，得|PM|t1t2215.(2)|AB|t2t1|t1t224t1t284252 215.1过定点 P(x0，y0)，
8、倾斜角为 的直线的参数方程为xx0tcos，yy0tsin(t 为参数)，|t|的几何意义是有向线段PM 的长度，即 P 与 M 两点间的距离，M 为直线上任意一点2过定点 M0(x0，y0)，斜率为ba的直线的参数方程是xx0at，yy0bt(a，b 为常数，t 为参数)当 a2b21 时，|t|的几何意义是有向线段M0M 的长度；当 a2b21 时，|t|的几何意义是有向线段M0M 的长度的1a2b2，M 为直线上任意一点3在解决直线与圆锥曲线相交关系的问题时，若涉及线段中点、弦长、交点坐标等问题，利用直线参数方程中参数t的几何意义求解，比利用直线l的普通方程来解决更为方便4在求直线 l 与曲线 C：f(x，y)0 的交点间的距离时，把直线 l 的参数方程xx0tcos，yy0tsin 代入 f(x，y)0，可以得到一个关于 t 的方程 f(x0tcos，y0tsin)0.假设该方程的解为 t1，t2，对应的直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，那么由参数 t 的几何意义，可得|AB|t1t2|.(1)弦 AB 的长|AB|t1t2|.(2)线段 AB 的中点 M 对应的参数 tt1t22(解题时可以作为基本结论使用)点击进入WORD链接点击进入WORD链接谢谢观看！