1、第五章 数列第28讲 数列的概念与通项公式【学习目标】1理解数列的概念，能用函数的观点认识数列，了解数列的通项公式和递推关系式的意义2理解数列前 n 项和的含义，掌握 an 与 Sn的基本关系，并能准确运用3培养学生的观察能力与归纳思想C【基础检测】1数列 0，23，45，67，的一个通项公式为()Aann1n1(nN*)Ban n12n1(nN*)Can2（n1）2n1(nN*)Dan2n12n1(nN*)【解析】将 0 写成01，观察数列中每一项的分子、分母可知，分子为偶数列，可表示为 2(n1)，nN*；分母为奇数列，可表示为 2n1，nN*，故选 C.2若数列an满足 a11，a22，
2、anan1an2(n3且 nN*)，则 a17()A1 B2 C.12 D2987【解析】由已知得 a11，a22，a32，a41，a512，a612，a71，a82，a92，a101，a1112，a1212，即数列an是以 6 为周期的周期数列，故 a17a26512.C3已知数列an的前 n 项和 Snn29n，第 k项满足 5ak8，则 k 等于()A 9 B8 C7 D 6 B4设 an3n28n1，则数列an中的最大项的值是()A.133 B4 C3 D.163【解析】an3n432133，且 nZ，当 n1 时，an 取最大值，即最大值为 a14.B5已知数列an 的前 n 项和
3、Snn210n1(n1，2，3，)，则此数列的通项公式为_6数列an满足 an111an，a82，则 a1_an8，n12n11，n212【知识要点】1通项公式如果数列an的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的_ _2递推公式如果已知数列an的第一项(或前几项)，且任何一项an 与它的前一项 an1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即 anf(an1)或 anf(an1，an2)，那么这个式子叫做数列an的通项公式递推公式3数列通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系(1)Sna1a2a3anai.(2)an4数列的两个性质(1)单调性若 a
4、n1an，则an为；若 an1bn 对 nN*恒成立，且 nN*时，(n1)2n1(n)2n 恒成立，得 n2 对 nN*恒成立，即 bn 恒成立；nN*，已知bn是递减数列，则 bn11，都存在 mN*，使得a1，an，am 成等比数列【解析】(1)由 Sn3n2n2，得 a1S11，当 n2 时，anSnSn13n2，当 n1时也适合，所以数列an的通项公式为 an3n2.(2)要使得 a1，an，am 成等比数列，只需要 a2na1am，即(3n2)21(3m2)，即 m3n24n2，而此时 mN*，且 mn，所以对任意的 n1，都存在 mN*，使得 a1，an，am 成等比数列【点评】
5、考查由数列求和公式求数列的通项公式1数列an中，a11，an 1an11，则 a4 等于()A.53B.43 C1 D.23A【解析】a11，a22，a332，a453，选 A.2两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且仅有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如表格所示，则下列座位号码符合要求的是()123456789101112131415窗口过道窗口 A.48，49 B62，63C84，85 D75，76【解析】个位是 5 或 0 或 1 或 6 靠窗，选 C.C3已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2an2，则 a2 等于()A4 B2 C1 D2A【解析】由 S12a12a1a1
6、2，又 S22a22a1a2，a24，选 A.4数列 2，5，11，20，x，47，中的 x 等于()A28 B32 C33 D27B【解析】5231，11532，201133，x203432，故选 B.5已知数列 3，7，11，15，则 5 3是数列的()A第 18 项B第 19 项C第 17 项D第 20 项B【解析】7311715114，即 a2na2n14，a2n3(n1)44n1，令 4n175，则 n19，故选 B.6在计算机语言中有一种函数 yint(x)叫做取整函数(也叫高斯函数)，它表示不超过 x 的最大整数，如 int(0.9)0，int(3.14)3，已知170.142
7、857.令 anint10n7，b1a1，令当 n1 时，bnan10an1(nN*)，则 b2 015()A2 014 B4 C2 015 D5D【解析】由题意可知，n，an，bn 的对应情况如下表：观察上表可知：bn是一个周期为 6 的周期函数，所以 b2 015b33565b55，故选 D.n123456789an1141421 42814 285142 8571 428 57114 285 714142 857 142bn1428571427设各项均为正数的数列an的前 n 项和为Sn，满足 4Sna2n14n1，nN*，且 a2，a5，a14 构成等比数列(1)证明：a2 4a15；
8、(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数 n，有 1a1a2 1a2a31anan10，anan1 m1m(n2)数列an是首项为 1，公比为 m1m的等比数列(2)由(1)知 b12a12.bn bn11bn1，1bn 1bn11，即 1bn 1bn11(n2)1bn 是首项为12，公差为 1 的等差数列 1bn12(n1)12n12，即 bn22n1(nN)9如果连续自然数列 a1，a2，an，满足lg 2lg1 1a1 lg1 1a2 lg1 1an lg n，那么这个数列最多有几项？并求数列的和 Sn.【解析】由已知得 21 1a1 1 1a2 1 1an n，即 2a11a1 a21a2 a31a3 an1an n.a1，a2，an，为连续自然数列，上式可化简为 2an1a1 n，即 2a1na1 n，2n2a1na1，即(n2)(a12)4.若要 n 最大，且 nN*，则只能有n24，a121，n6，a13，该数列最多有 6 项，首项为 3，S634567833.