1、第4课时 极坐标和直角坐标的互化极坐标与直角坐标的互化平面内任意一点 P 的直角坐标与极坐标分别为(x，y)和(，)，则xcos，ysin 2x2y2，tan yxx0.直角坐标化为极坐标时，通常有不同的表示方法，极角可取_，即(，2k)(kZ)一般确定 时，根据点所在象限取最小正角，即 0，02相差2的整数倍1在满足直角坐标与极坐标互化的条件下，点 P2，3 的直角坐标是()A(3，1)B(1，3)C(2，2)D(1，2)【答案】B【解析】利用互化公式xcos 2cos31，ysin 2sin3 3.2在满足直角坐标与极坐标互化的条件下，点 P(1，1)的极坐标是()A2，4 B2，34C2
2、，54 D2，74【答案】D【解析】利用互化公式2x2y22，tan yx1得 2.又点 P在第四象限，故 可取74 3.在满足直角坐标与极坐标互化的条件下，点 P4，4 关于极点对称的点的直角坐标为_【答案】(2 2，2 2)【解析】点 P4，4 关于极点对称的点为 P4，4，代入公式 xcos，ysin，得直角坐标为2 2，2 2 4已知 P5，23，O 为极点，求使POP是正三角形的P点坐标【解析】设 P(，)，因为是正三角形，所以 5.又POP3，利用图象可得 3或，如图P5，3 或P(5，)【例 1】已知点的极坐标分别为 A3，4，B2，23，C(4，)，求这些点的直角坐标【解题探究
3、】已知点的极坐标实际上就是知道了，的值，代入公式xcos，ysin 求出x，y的值极坐标化为直角坐标【解析】对于 A 点，3，4，得xcos 3cos43 22，ysin 3sin43 22.A 点的直角坐标为3 22，3 22对于 B 点，2，23，得xcos 2cos23 1，ysin 2sin23 3.B 点的直角坐标为(1，3)对于 C 点，4，得xcos 4cos4，ysin 4sin0.C 点的直角坐标为(4,0)极坐标化为直角坐标较为简单，只需直接代入公式求出x，y的值即可1已知点的极坐标分别为 M4，2，N(2，)，求它们的直角坐标【解析】对于 M 点，4，2，得xcos 4c
4、os20，ysin 4sin24，M 点的直角坐标为(0,4)对于 N 点，2，得xcos 2cos 2，ysin 2sin 0，N 点的直角坐标为(2,0)【例 2】已知直角坐标系中的点分别为 A(3，3)，B(2，2 3)，C0，53，求这些点的极坐标直角坐标化为极坐标【解题探究】已知点的直角坐标实际上就是知道了 x，y的值，代入公式 2x2y2，tan yx求出，的值【解析】对于 A 点，x3，y 3，代入公式 2x2y212，得 2 3，tan yx 33，又点 A 在第一象限，6.A 点的极坐标为2 3，6 对于 B 点，x2，y2 3，代入公式 2x2y216，得 4，tan yx
5、 3，又点 A 在第三象限，43.B 点的极坐标为4，43 对于 C 点，x0，y 53，代入公式 2x2y259，得 53，x0，y0，点 A 在 y 轴负半轴32.C 点的极坐标为53，32 已知点的直角坐标求极坐标时，一般取0，关键是确定的值，此时要注意点在哪一个象限或坐标轴上，以及022已知直角坐标系中的点 E32，0，求 E 的极坐标【解析】对于 E 点，x32，y0，代入公式 2x2y294，得 32，tan 0，点 E 在 x 正半轴0.E 点的极坐标为32，0【例 3】在极坐标系中，ABC 的顶点坐标分别为A5，2，B8，56，C3，76，判断ABC 的形状【解题探究】由极坐标
6、和直角坐标互化公式求出三个顶点的直角坐标，求出其边长即可极坐标下的几何问题【解析】利用极坐标与直角坐标互化公式可得 A，B，C 的直角坐标分别为 A(0,5)，B(4 3，4)，C3 32，32，利用两点间距离公式可得AB 7，BC 7，AC 7，ABC 为等边三角形也可不用转化为直角坐标，直接利用极坐标系中两点间距离公式，求出三边长即可3在极坐标系中，已知 A2，6，B4，56，求 A，B 两点之间的距离【解析】对于2，6，x2cos6 3，y2sin61，A(3，1)对于4，56，x4cos562 3，y4sin562，B(2 3，2)由两点间的距离公式可得|AB|32 321222 7A，B 两点之间的距离为 2 71极坐标与直角坐标的互化的前提条件：(1)极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；(2)极轴与x轴的正半轴重合；(3)两坐标系中取相同的长度单位2极坐标与直角坐标互化的常用方法：代入法，平方法，两边同乘以或除以等3当 x0 时，角才能由 tan yx确定当 x0 时，tan 没有意义可分三种情况：(1)当 x0，y0 时，可取任何值；(2)当 x0，y0 时，可取 2；(3)当 x0，y0 时，可取 32 点击进入WORD链接